2024-2025学年辽宁省营口开发区第一高级中学数学高一下期末监测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年辽宁省营口开发区第一高级中学数学高一下期末监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，是边上一点，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上为减函数的是( )
A． B． C． D．
3．函数是( ).
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为奇函数
4．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
6．若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．办公室装修一新，放些植物花草可以清除异味，公司提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4种植物供员工选择，每个员工任意选择2种，则员工甲和乙选择的植物全不同的概率为：
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的关系如下:
x

0
1
2
y
5

2
2
1
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程:； 但现在丢失了一个数据，该数据应为____________.
12．已知直线与直线互相平行，则______.
13．若函数是奇函数，其中，则__________．
14．已知是边长为的等边三角形，为边上（含端点）的动点，则的取值范围是_______.
15．设是等差数列的前项和，若，，则公差（___）．
16．在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．

（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：平面PCG∥平面AEF；
（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．
18．已知点，，曲线任意一点满足.
(1)求曲线的方程；
(2)设点，问是否存在过定点的直线与曲线相交于不同两点，无论直线如何运动，轴都平分，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
19．已知以点（a∈R，且a≠0）为圆心的圆过坐标原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求△OAB的面积；
（2）设直线l：y＝﹣2x+4与圆C交于点P、Q，若|OP|＝|OQ|，求圆心C到直线l的距离．
20．已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值.
21．已知数列前项和（），数列等差，且满足，前9项和为153.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；
（3）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据，用基向量表示，然后与题目条件对照，即可求出．
【详解】
由在中，是边上一点，，
则，
即，故选．
本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算．
2、B
【解析】
由条件利用三角函数的周期性和单调性,判断各个选项是否正确,即可求得答案.
【详解】
对于A,因为的周期为,故A错误;
对于B,因为|以为最小正周期,且在区间上为减函数,故B正确;
对于C,因为的周期为,故C错误;
对于D,因为区间上为增函数,故D错误.
故选:B.
本题主要考查了判断三角函数的周期和在指定区间上的单调性,解题关键是掌握三角函数的基础知识和函数图象,考查了分析能力,属于基础题.
3、B
【解析】
因，故是奇函数，且最小正周期是，即，应选答案B．
点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案．
4、B
【解析】
分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
详解：由题意,，
则，很明显
n⩾2时,，
两式作差可得：，
则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
则an−kn=(2−k)n+2，
则数列{an−kn}为等差数列，
故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：
a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；
即，解得：.
实数的取值范围为.
本题选择B选项.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
5、D
【解析】
由等比数列的公比为整数，得到，再由等比数列的性质得出，可求出、的值，于此得出和的值，进而可对四个选项进行验证.
【详解】
由等比数列的公比为整数，得到，
由等比数列的性质得出，解得，即，解得，
，则，数列是等比数列.
，，
所以，数列是以为公差的等差数列，A、B、C选项正确，D选项错误，
故选：D.
本题考查等比数列基本性质的应用，考查等比数列求和以及等比数列的定义，充分利用等比数列下标相关的性质，将项的积进行转化，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。
6、D
【解析】
对任意，不等式恒成立，即恒成立，代入计算得到答案.
【详解】
对任意，不等式恒成立
即恒成立

故答案为D
本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.
7、B
【解析】
根据向量平行得到，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】
向量，且，则.
.
故选：.
本题考查了向量平行求参数，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.
8、A
【解析】
将代数式与相乘，展开式利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.
【详解】
由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.
由题意可得，即，解得.
因此，实数的取值范围是，故选A.
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．
9、C
【解析】
根据扇形的面积公式即可求得.
【详解】
解：由题意：，
所以扇形的面积为：

故选：C
本题考查扇形的面积公式，考查运算求解能力，核心是记住公式.
10、A
【解析】
从公司提供的4中植物中任意选择2种，求得员工甲和乙共有种选法，再由任选2种有种，得到员工甲和乙选择的植物全不同有种选法，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．
【详解】
由题意，从公司提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4种植物每个员工任意选择2种，
则员工甲和乙共有种不同的选法，
又从公司提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4种植物中，任选2种，共有种选法，
则员工甲和乙选择的植物全不同，共有种不同的选法，
所以员工甲和乙选择的植物全不同的概率为，故选A．
本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合求得基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】
根据回归直线经过数据的中心点可求.
【详解】
设丢失的数据为，则，，
把代入回归方程可得，
故答案为：4.
本题主要考查回归直线的特征，明确回归直线一定经过样本数据的中心点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
12、
【解析】
由两直线平行得，，解出值.
【详解】
由直线与直线互相平行，得，
解得.
故答案为：.
本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题.
13、
【解析】
定义域上的奇函数，则
【详解】
函数是奇函数，所以,
又，则
所以填
定义域上的奇函数，我们可以直接搭建方程，若定义域中则不能直接代指.
14、
【解析】
取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，其中，利用数量积的坐标运算将转化为有关的一次函数的值域问题，可得出的取值范围.
【详解】
如下图所示：

取的中点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
则点、、，设点，其中，
，，，
因此，的取值范围是，故答案为.
本题考查平面向量数量积的取值范围，可以利用基底向量法以及坐标法求解，在建系时应充分利用对称性来建系，另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴，可简化运算，考查运算求解能力，属于中等题.
15、
【解析】
根据两个和的关系得到公差条件，解得结果.
【详解】
由题意可知，，即，
又，两式相减得，.
本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
16、2
【解析】
去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.
【详解】
去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26
平均值为：
方差为：
故答案为2
本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】
（1）证明，EF∥平面PAC即得证；（2）证明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得证；（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，证明N点为所找的H点．
【详解】
（1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，
∴，
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵E、G分别是BC、AD中点，
∴AE∥CG，
∵AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，
∴AE∥平面PCG，
又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG，
∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E点，AE，EF⊂平面AEF，
∴平面AEF∥平面PCG．
（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，易知F，N分别是BP，BM中点，
∴，
∵PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC，
∴FN∥平面PGC，
即N点为所找的H点．

本题主要考查空间平行位置关系的证明，考查立体几何的探究性问题的解决，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18、 (1) ；(2)
【解析】
(1)设,再根据化简求解方程即可.
(2)设过定点的直线方程为,根据轴平分可得.再联立直线与圆的方程,化简利用韦达定理求解中参数的关系,进而求得定点即可.
【详解】
(1)设,因为,故,
即,整理可得.
(2)当直线与轴垂直,且在圆内时,易得关于轴对称,故必有轴平分.
当直线斜率存在时,设过定点的直线方程为.设.
联立,
.
因为无论直线如何运动,轴都平分,故,
即,所以,.
所以
代入韦达定理有,化简得.
故,恒过定点.即.
本题主要考查了轨迹方程的求解方法以及联立直线与圆的方程,利用韦达定理代入题中所给的关系式,化简求直线中参数的关系求得定点的问题.属于难题.
19、 (1)4 (2)
【解析】
（1）求得圆的半径，设出圆的标准方程，由此求得两点坐标，进而求得三角形的面积.
（2）根据，判断出，由直线的斜率求得直线的斜率，以此列方程求得，根据直线和圆相交，圆心到直线的距离小于半径，确定，同时得到圆心到直线的距离.
【详解】
（1）根据题意，以点（a∈R，且a≠0）为圆心的圆过坐标原点O，设圆C的半径为r，
则r2＝a2，
圆C的方程为（x﹣a）2+（y）2＝a2，
令x＝0可得：y＝0或，则B（0，），
令y＝0可得：x＝0或2a，则A（2a，0），
△OAB的面积S|2a|×||＝4；
（2）根据题意，直线l：y＝﹣2x+4与圆C交于点P、Q，则|CP|＝|CQ|，
又由|OP|＝|OQ|，则直线OC与PQ垂直，
又由直线l即PQ的方程为y＝﹣2x+4，则KOC，
解可得a＝±2，
当a＝2时，圆心C的坐标为（2，1），
圆心到直线l的距离d，r，r＞d，此时直线l与圆相交，符合题意；
当a＝2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），
圆心到直线l的距离d，r，r＜d，
此时直线l与圆相离，不符合题意；
故圆心C到直线l的距离d．
本小题主要考查圆的标准方程，考查直线和圆的位置关系，考查两条直线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
20、（1）①当时，不等式的解集为；
②当时，由，则不等式的解集为；
③当时，由，则不等式的解集为；
（2）
【解析】
（1）不等式，可化为，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）不等可化为，根据1和4是方程的两根，利用韦达定理列方程求解即可.
【详解】
（1）不等式，可化为：.
①当时，不等式的解集为；
②当时，由，则不等式的解集为；
③当时，由，则不等式的解集为；
（2）不等可化为：.
由不等式的解集为可知，1和4是方程的两根.
故有，解得.
由时方程为的根为1或4，则实数的值为1.
本题主要考查一元二次不等式的解法以及分类讨论思想的应用，属于中档题. .分类讨论思想的常见类型 ,
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 
⑵问题中的条件是分类给出的； 
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
21、（1），；（2），；（3）11.
【解析】
（1）由数列的前项和结合求得数列的通项公式，再由，可得为等差数列，由已知求出公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列，的通项公式代入，然后利用裂项相消法求和，可得使不等式对一切都成立的最小正整数的值；
（3）分为偶数和奇数分类分析得答案．
【详解】
解：（1）由．
故当时，．
时，，而当时，，
，
又，即 ，
为等差数列，于是．
而，故，，
因此，，即；
（2）

．
．
易知单调递增，由，得，而，故，；
（3），
①当为奇数时，为偶数．
此时，，
，．
②当为偶数时，为奇数．
此时，．
，
（舍去）．
综上，存在唯一正整数，使得成立．
本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查数列的函数特性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．