2025届辽宁省本溪市高级中学、盘锦市高级中学高一下数学期末达标检测试题含解析.doc

2025届辽宁省本溪市高级中学、盘锦市高级中学高一下数学期末达标检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，“”是“”的 ( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．如右图所示的直观图，其表示的平面图形是
（A）正三角形 （B）锐角三角形
（C）钝角三角形 （D）直角三角形

3．如直线与平行但不重合，则的值为（）．
A．或2 B．2 C． D．
4．已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，函数与坐标轴的三个交点P，Q，R满足，，M为QR的中点，，则A的值为（ ）

A． B． C． D．
6．已知直线是函数的一条对称轴，则的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，若为等边三角形（两点在两侧），则当四边形的面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
8．同时具有性质：“① 最小正周期是；② 图象关于直线对称；③ 在上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，且的图象向左平移个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域为___________.
12．设集合，它共有个二元子集，如、、等等．记这个二元子集为、、、、，设，定义，则_____．（结果用数字作答）
13．设的内角，，所对的边分别为，，.已知，，如果解此三角形有且只有两个解，则的取值范围是_____．
14．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.

15．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．
16．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆的圆心在轴上，且经过点，．
（Ⅰ）求线段AB的垂直平分线方程；
（Ⅱ）求圆的标准方程；
（Ⅲ）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程．
18．已知，.
（1）求；（2）求.
19．已知为第三象限角，．
(1)化简
(2)若，求的值
20．设向量．
（Ⅰ）若与垂直，求的值；
（Ⅱ）求的最小值.
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的周长.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
余弦函数在上单调递减
【详解】
因为A,B是的内角，所以,在上余弦函数单调递减, 在中，“” “”
充要条件的判断，是高考常考知识点，充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。
2、D
【解析】略
3、C
【解析】
两直线斜率相等，且截距不相等。
【详解】
解析：由题意得，，解得或2，经检验时两直线重合，故.
故选C.
本题考查两直线平行，属于基础题.
4、C
【解析】
设与的夹角为，计算出、、的值，再利用公式结合角的取值范围可求出的值.
【详解】
设与的夹角为，则，
，，另一方面，
，，，
因此，，，因此，，故选C.
本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，解题的关键就是计算出、、的值，考查计算能力，属于中等题.
5、D
【解析】
用周期表示出点坐标，从而又可得点坐标，再求出点坐标后利用求得，得．
【详解】
记函数的周期，则，因为，∴，是中点，则，
∴，解得，∴，
由得，∵，∴，，
，∴，
故选：D.
本题考查求三角函数的解析式，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．
6、B
【解析】
利用周期公式计算出周期，根据对称轴对应的是最值，然后分析单调减区间.
【详解】
因为，
若取到最大值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，故B符合；
若取到最小值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，此时无符合答案；
故选：B.
对于正弦型函数，对称轴对应的是函数的最值，这一点值得注意.
7、A
【解析】
求出三角形的面积，求出四边形的面积，运用三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，求出满足条件的角的值即可．
【详解】
设，，，
是正三角形，
，
由余弦定理得：，

，
时，四边形的面积最大，
此时．
故选A．

本题考查余弦定理和三角形的面积公式，考查两角的和差公式和正弦函数的值域，考查化简运算能力，属于中档题．
8、D
【解析】
利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，逐一检验，可得结论．
【详解】
A,对于y＝cos（），它的周期为4π，故不满足条件．
B,对于y＝sin（2x），在区间上，2x∈[，]，故该函数在区间上不是单调递增函数，故不满足条件．
C,对于y＝cos（2x），当x时，函数y，不是最值，故不满足②它的图象关于直线x对称，故不满足条件．
D,对于y＝sin（2x），它的周期为π，当x时，函数y＝1，是函数的最大值，满足它的图象关于直线x对称；且在区间上，2x∈[，]，故该函数在区间上是单调递增函数，满足条件．
故选：D．
本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．
9、C
【解析】
由函数图像的平移变换得的图象向左平移个单位，得到，再结合三角函数的性质运算即可得解.
【详解】
解：，
将的图象向左平移个单位，得到，
因为平移后图象关于对称，所以，
可得，，，，
因为，
所以的最小值为，
故选C.
本题考查了函数图像的平移变换及三角函数的性质，属基础题.
10、C
【解析】
由正弦定理边角互化思想得，由可得出的三边长，可判断出三角形的形状，由此可得出的值，再利用平面向量数量积的定义可计算出的值.
【详解】
，，
，，，，为等腰直角三角形，.
因此，，故选C.
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了平面向量数量积定义的计算，在求平面向量数量积的计算时，要注意向量的起点要一致，考查运算求解能力，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.
考点：函数定义域的求法及运用．
12、1835028
【解析】
分别分析中二元子集中较大元素分别为、、、时，对应的二元子集中较小的元素，再利用题中的定义结合数列求和思想求出结果.
【详解】
当二元子集较大的数为，则较小的数为；
当二元子集较大的数为，则较小的数为、；
当二元子集较大的数为，则较小的数为、 、；

当二元子集较大的数为，则较小的数为、、、、.
由题意可得
，
令，
得，
上式下式得，
化简得，
因此，，
故答案为：.
本题考查新定义，同时也考查了数列求和，解题的关键就是找出相应的规律，列出代数式进行计算，考查运算求解能力，属于难题.
13、
【解析】
由余弦定理写出c与x的等式，再由有两个正解，解出x的取值范围
【详解】
根据余弦定理： 代入数据并整理有，有且仅有两个解，记为 则：

本题主要考查余弦定理以及韦达定理，属于中档题．
14、
【解析】
试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个正方形，边长是2，
四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且这条侧棱长是2，
这样在所有的棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与相对的底面的顶点的侧棱是最长的长度是，
考点：三视图
点评：本题考查由三视图还原几何体，所给的是一个典型的四棱锥，注意观察三视图，看出四棱锥的一条侧棱与底面垂直．
15、.
【解析】
分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.
详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种，
其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，
田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，
结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
16、.
【解析】
由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.
【详解】
由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.
【解析】
（Ⅰ）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；
（Ⅱ）设圆的标准方程为，结合第一问可得结果；
（Ⅲ）由题意可知：圆心到直线的距离为1，分类讨论可得结果.
【详解】
解：（Ⅰ） 设的中点为，则．
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
(II) 设圆的标准方程为，其中，半径为（）.
由圆的性质，圆心在直线上，化简得．
所以 圆心，
，
所以 圆的标准方程为．
(III) 由(I)设为中点，则，得．
圆心到直线的距离.
(1) 当的斜率不存在时，，此时，符合题意.
(2) 当的斜率存在时，设，即，
由题意得，解得：．
故直线的方程为，即．
综上直线的方程或．
圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系。
18、（1），（2）
【解析】
（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得和的值，可得的值
（2）由题意利用二倍角公式，求得原式子的值．
【详解】
（1）∵已知，，，
∴
则
（2）

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
19、 (1)见解析;(2).
【解析】
利用指数运算、指对互化、对数运算求解
试题分析：
（1）

（2）由，得．又已知为第三象限角，
所以，所以，
所以=………………10分
考点：本题主要考查了诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符号的判定．
点评：解决此类问题的关键是掌握诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符好的判定方法．诱导公式的记忆应结合图形记忆较好，难度一般．
20、 (Ⅰ)2；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为．
试题解析：
（Ⅰ）由条件可得
，
因为与垂直，
所以，
即，
所以，
所以.
（Ⅱ）由得
，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）根据三角形面积公式,结合平面向量数量积定义,分别表示出,联立即可求得,进而得的值.
（2）由,结合余弦定理即可表示出,由（1）可得.即可联立表示出,进而求得周长.
【详解】
（1）因为,
所以,则
而,可得,所以
即
化简可得
所以；
（2）因为,所以由余弦定理可得,
即,由（1）知,
则,所以,
所以的周长为.
本题考查了三角形面积公式的应用,余弦定理解三角形,平面向量数量积的定义及应用,属于中档题.