2024-2025学年江苏省姜堰区蒋垛中学数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年江苏省姜堰区蒋垛中学数学高一第二学期期末统考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（　　）
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
2．中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B．
C． D．
4．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
5．已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则（）
A．31 B．32 C． D．
6．已知函数，则
A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）为偶函数
C．f（x）的图象关于对称 D．为奇函数
7．已知向量，则与的夹角为（　）
A． B． C． D．
8．在中，已知，，则为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
10．已知，为直线，，为平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则与为异面直线
C．若，，，则
D．若，，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .

12．已知不等式的解集为，则________.
13．如图，圆锥形容器的高为圆锥内水面的高为，且，若将圆锥形容器倒置，水面高为，则等于__________．（用含有的代数式表示）

14．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.
15．已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的标准差为__________.
16．设为虚数单位，复数的模为______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，成等差数列，分别为的对边，并且，，求.
18．底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．

（1）设正四棱柱的底面边长为，试将棱柱的高表示成的函数；
（2）当取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．
19．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价元
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
销量件
100
94
93
90
85
78
（1）若销量与单价服从线性相关关系，求该回归方程；
（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润。
附：对于一组数据，，……，
其回归直线的斜率的最小二乘估计值为；
本题参考数值：．
20．设角，，其中：
（1）若，求角的值；
（2）求的值.
21．知两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，求当m为何值时，l1与l2：
（1）垂直；
（2）平行，并求出两平行线间的距离．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
设两人步行，跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.
【详解】
设两人步行、跑步的速度分别为，（）．图书馆到教室的路程为．
则甲所用的时间为：．
乙所用的时间，满足+，解得．
则＝＝＝1．∴．故乙先到教室．
故选：B．
本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题．
2、D
【解析】
根据正弦定理，得到，进而得到，再由两角和的正弦公式，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，所以，
即，所以，
又因此，
所以，即三角形为直角三角形.
故选D
本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
3、B
【解析】
绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.

【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
4、D
【解析】
先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.
【详解】
由题得直线的斜率.
故选：D
本题主要考查直线的斜率和倾斜角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5、A
【解析】
根据与的等差中项为，可得到一个等式，和，组成一个方程组，结合等比数列的性质，这个方程组转化为关于和公比的方程组，解这个方程组，求出和公比的值，再利用等比数列前项和公式，求出的值.
【详解】
因为与的等差中项为，所以，
因此有，故本题选A.
本题考查了等差中项的性质，等比数列的通项公式以及前项和公式，
6、C
【解析】
对于函数，它的最小正周期为=4π，故A选项错误；函数f（x）不满足f（–x）=f（x），故f（x）不是偶函数，故B选项错误；令x=，可得f（x）=sin0=0，故f（x）的图象关于对称，C正确；由于f（x–）=sin（x–）=–sin（x）=–cos（x）为偶函数，故D选项错误，故选C．
7、D
【解析】
根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．
【详解】
设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，
故， 所以.
故选D
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
8、A
【解析】
已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．
【详解】
将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，
﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选A．
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
9、D
【解析】
可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对，
故选D.
10、D
【解析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.
【详解】
由，为直线，，为平面，知：
在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；
在D中，若，，，则由线面垂直、面面平行的性质定理得，故D正确.
故选：D.
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
设球的半径为r,
则,
，
，
所以，
故答案为.
考点：圆柱，圆锥，球的体积公式.
点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为.
12、-7
【解析】
结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由不等式的解集为，可得 ，解得，
所以.
故答案为：.
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13、
【解析】
根据水的体积不变，列出方程，解出的值，即可得到答案.
【详解】
设圆锥形容器的底面面积为，则未倒置前液面的面积为，
所以水的体积为，
设倒置后液面面积为，则，所以，
所以水的体积为，所以，解得.
本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的体积的计算与应用，其中解答中熟练应用圆锥的结构特征，利用体积公式准确运算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
14、.
【解析】
设时针转过的角的弧度数为，可知分针转过的角为，于此得出，由此可计算出的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值的值.
【详解】
设时针转过的角的弧度数的绝对值为，
由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，
由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，
故答案为.
本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
15、11
【解析】
根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．
【详解】
根据题意，一组样本数据，且，
平均数，
则其方差
，
则其标准差，
故答案为：11.
本题主要考查平均数、方差与标准差，属于基础题. 样本方差，标准差.
16、5
【解析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案．
【详解】
由题意，复数，则复数的模为．
故答案为5
本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则，和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、或.
【解析】
先算出，从而得到，也就是，结合面积得到，再根据余弦定理可得，故可解得的大小.
【详解】
∵成等差数列，∴，
又 ，∴ ，
∴ .
所以，所以，①
又，∴.②
由①②，得 ，，
而由余弦定理可知
∴即.③
联立③与②解得或，
综上，或
.
三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.
18、 (1) ;(2) 正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为48.
【解析】
试题分析：（1）根据比例关系式求出关于的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为，得到关系式，根据二次函数的性质求出的最大值即可.
试题解析：（1）根据相似性可得：， 解得：；
（2）设该正四棱柱的表面积为．则有关系式
，
因为，所以当时，，
故当正四棱柱的底面边长为时，正四棱柱的表面积最大值为.
点睛：本题考查了数形结合思想，考查二次函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题；该题中的难点在于必须注意圆锥轴截面图时，三角形内的矩形的宽为正四棱柱的底面对角线的长度，除了二次函数求最值以外还有基本不等式法、转化法：如求的最小值，那么可以看成是数轴上的点到和的距离之和，易知最小值为2、求导法等.
19、（1）（2）为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.
【解析】
（1）先根据公式求，再根据求即可求解；（2）先求出利润的函数关系式，再求函数的最值.
【详解】
解: （1）=
…
又
所以

故回归方程为
（2）设该产品的售价为元，工厂利润为元，当时，利润，定价不合理。
由得，故

，
，
当且仅当，即时，取得最大值.
因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.
本题考查线性回归方程和二次函数的最值. 线性回归方程的计算要根据已知选择合适的公式.求二次函数的最值常用方法：1、根据函数单调性；2、配方法；3、基本不等式，注意等式成立的条件.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）由，可得出，进而得出，结合可求出角的值，可求出的值，再利用反余弦的定义即可求出角的值；
（2）由题意可得出，，可计算出，根据反三角的定义得出，，利用两角和的正弦公式求出的值，即可得出角的值.
【详解】
（1），，，
，则，可得，所以，可得.
因此，；
（2），则，所以，，
由（1）知，所以，，
，，，，
由同角三角函数的基本关系可得，，
由两角和的正弦公式可得，
因此，.
本题考查反三角函数的定义，同时也考查了利用两角和的正弦公式的应用，在求角时，不要忽略了求角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
21、 (1) m (2) m＝﹣7，距离为
【解析】
（1）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．
（2）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值，再利用两平行线间的距离公式，求出结果．
【详解】
（1）两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，
当（3+m ）•2+4（5+m）＝0时，即6m+26＝0时，l1与l2垂直，
即m时，l1与l2垂直．
（2）当 时，l1与l2平行，
即 m＝﹣7时，l1与l2平行，此时，两条直线l1：﹣2x+2y＝13，l2：﹣2x+2y＝﹣8，
此时，两平行线间的距离为 ．
本题主要考查两条直线垂直、平行的性质，两条平行线间的距离公式，属于基础题．