2025年广东省汕头市达濠华侨中学东厦中学高一下数学期末联考模拟试题含解析.doc

2025年广东省汕头市达濠华侨中学，东厦中学高一下数学期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知实数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz等于
A．-4 B． C． D．
2．若两个球的半径之比为，则这两球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）

A． B． C． D．
4．已知，，若对任意的，恒成立，则角的取值范围是
A．
B．
C．
D．
5．等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是中的最大值 B．是中的最小值
C． D．
6．已知m ，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，，则 D．若，，则
7．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列和的前项和分别为和，．若，则的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
9．若正数满足，则的最小值为
A． B．
C． D．3
10．设为两条不同的直线，为三个不重合平面，则下列结论正确的是( )
A．若，，则 B．若， 则
C．若，，则 D．若，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝(－1)nan－，n∈N，则a3＝________．
12．某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是
13．已知一个三角形的三边长分别为3,5,7，则该三角形的最大内角为_________
14．已知直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，则等于________.
15．若，则______（用表示）.
16．一组样本数据8，10，18，12的方差为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列{an}中，a1＝1且an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2（n≥2，n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式：
（2）若对任意的n∈N*，不等式1≤man≤5恒成立，求实数m的取值范围.
18．如图，在处有一港口，两艘海轮同时从港口处出发向正北方向匀速航行，海轮的航行速度为20海里/小时，海轮的航行速度大于海轮．在港口北偏东60°方向上的处有一观测站，1小时后在处测得与海轮的距离为30海里，且处对两艘海轮，的视角为30°．

（1）求观测站到港口的距离；
（2）求海轮的航行速度．
19．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）求和的值；
（2）当时，求函数的最大值和最小值；
（3）设，若的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间，求c的取值范围.
20．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.
21．某校高二年级共有800名学生参加2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩（单位：分），并列成如下表所示的频数分布表：
分组

频数

⑴试估计该年级成绩不低于90分的学生人数；
⑵成绩在的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
.
2、C
【解析】
根据球的体积公式可知两球体积比为，进而得到结果.
【详解】
由球的体积公式知：两球的体积之比
故选：
本题考查球的体积公式的应用，属于基础题.
3、D
【解析】
易得该几何体为三棱锥,再根据三视图在长方体中画出该三棱锥,再根据此三棱锥与长方体的外接球相同求解即可.
【详解】
在长方体中画出该几何体,易得为三棱锥,且三棱锥与该长方体外接球相同.
又长方体体对角线等于外接球直径,故.
故外接球体积

故选：D
本题主要考查了三视图还原几何体以及求外接球体积的问题,属于基础题.
4、B
【解析】
由向量的数量积得，对任任意的，恒成立，转化成关于的一次函数，保证在和的函数值同时小于0即可.
【详解】
，
因为对任意的恒成立，则，
，
解得：，故选B.
本题考查向量数量积的坐标运算、三角恒等变换及不等式恒成立问题，求解的关键是变换主元的思想，即把不等式看成是关于变量的一次函数，问题则变得简单.
5、D
【解析】
本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，二次函数的性质.
设公差为则由等差数列前n项和公式知：是的二次函数；又知对应二次函数图像的对称轴为于是对应二次函数为无法确定所以根据条件无法确定有没有最值；但是根据二次函数图像的对称性，必有即故选D
6、C
【解析】
利用线面垂直、线面平行、面面垂直的性质定理分别对选项分析选择．
【详解】
对于A，若，，则或者；故A错误；
对于B，若，则可能在内或者平行于；故B错误；
对于C，若，，，过分作平面于，作平面,则根据线面平行的性质定理得，，∴，根据线面平行的判定定理，可得，
又，，根据线面平行的性质定理可得，又，
∴；故C正确；
对于D．若，，则与可能垂直，如墙角；故D错误；
故选：C．
本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理及应用，涉及空间线线平行的传递性，考查了空间想象能力，熟练运用定理是关键．
7、A
【解析】
根据条件可求出，，从而可求出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
【详解】
由题得；
，
，
所以；
；
又；
的夹角为．
故选．
考查向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．
8、D
【解析】
首先根据即可得出，再根据前n项的公式计算出即可。
【详解】

，选D.
本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：
（1）通项公式的推广： 
（2）若 为等差数列， ；
（3）若是等差数列，公差为， ，则是公差 的等差数列；
9、A
【解析】
由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A.
本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10、D
【解析】
根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，若，，则可能平行、相交或异面；故A错；
B选项，若， ，则或，故B错；
C选项，若，，因为为三个不重合平面，所以或，故C错；
D选项，若，，则，故D正确；
故选D
本主要考查命题真假的判定，熟记空间中线线、线面、面面位置关系，即可得出结果.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、－
【解析】当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝－a3－，则a1＋a2＋2a3＝－，当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，两式相减得a3＝－.
12、3
【解析】
试题分析：，解得.
考点：球的体积和表面积
13、
【解析】
由题意可得三角形的最大内角即边7对的角，设为θ，由余弦定理可得 cosθ 的值，即可求得θ的值．
【详解】
根据三角形中，大边对大角，故边长分别为3，5，7的三角形的最大内角即边7对的角，设为θ，
则由余弦定理可得 cosθ，∴θ＝，
故答案为：C．
本题主要考查余弦定理的应用，大边对大角，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
14、5
【解析】
分别求得A，B的坐标，再用两点间的距离公式求解.
【详解】
根据题意
令得所以
令得所以
所以
故答案为：5
本题主要考查点坐标的求法和两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15、
【解析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】
解：，则，
故答案为：．
本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力，属于基础题．
16、14
【解析】
直接利用平均数和方差的公式，即可得到本题答案.
【详解】
平均数，
方差.
故答案为：14
本题主要考查平均数公式与方差公式的应用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）an＝3﹣2×（）n﹣1（2）{m|1≤m}
【解析】
（1）由已知，根据递推公式可得，，……，，所有式子累加可得；
（2）在（1）得出的基础之上解不等式可得实数的取值范围.
【详解】
（1）由已知，根据递推公式可得an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2，an﹣1﹣an﹣2＝3×（）n﹣3，…，a2﹣a1＝3×（）0，
由累加法得，当n≥2时，an﹣a1＝3×（）0+3×（）1+…+3×（）n﹣2，
代入a1＝1得，n≥2时，an＝11+2×（1﹣（）n﹣1），
又a1＝1也满足上式，故an＝3﹣2×（）n﹣1.
（2）由1≤man≤5，得1≤man＝m（3﹣2（）n﹣1）≤5.
因为3﹣2（）n﹣1＞0，
所以，
当n为奇数时，3﹣2（）n﹣1∈[1，3）；
当n为偶数时，3﹣2（）n﹣1∈（3，4]，
所以3﹣2（）n﹣1最大值为4，最小值为1.
对于任意的正整数n都有成立，
所以1≤m.
即所求实数m的取值范围是{m|1≤m}.
本题主要考查数列的递推公式知识和不等式的相关知识，式子繁琐，易错，属于中档题.
18、（1）海里；（2）速度为海里/小时
【解析】
（1）由已知可知,所以在中，运用余弦定理易得OA的长．（2）因为C航行1小时到达C，所以知道OC的长即可，即求BC的长．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．
【详解】
（1）因为海伦的速度为20海里/小时，所以1小时后，海里
又海里，，所以中，由余弦定理知：

即
即，解得：海里
（2）中，由正弦定理知：

解得：
中，，，所以
所以
在中，
由正弦定理知：
，解得：
所以
答：船的速度为海里/小时
三角形中一般已知三个条件可求其他条件，用到的工具一般是余弦定理或者正弦定理．
19、（1），（2）；.（3）
【解析】
（1）由相邻最高点距离得周期，从而可得，由对称性可求得；
（2）结合正弦函数性质可得最值．
（3），先由半个周期大于得出的一个范围，在此范围内再寻找，求出对称轴，由对称轴且得的范围．
【详解】
（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，
所以的最小正周期，而，
又因为的图象关于直线对称，
所以，即，
又，所以.
综上，，.
（2）由（1）知，
当时，，
所以，当即时，；
当，即时，.
（3），
的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间，
，即，
令，得，
且，
得，
当时，，
当时，，
当时，，
故所求范围.
本题考查由三角函数性质求函数解析式，考查正弦函数的最值，考查函数的对称性．掌握正弦函数性质是解题关键．
20、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由勾股定理可证得为直角三角形即可证得，由直棱柱可知面，
可证得，根据线面垂直的判定定理可证得面，从而可得．（2）设与的交点为，连结，由中位线可证得，根据线面平行的判定定理可证得平面．
试题解析：证明：（1）证明：，
，
为直角三角形且，即．
又∵三棱柱为直棱柱，面，面，，
，
面，面，．
（2）设与的交点为，连结，
是的中点，是的中点，．面，面，
平面．

考点：1线线垂直，线面垂直；2线面平行．
21、 (1) 300人；(2)
【解析】
（1）由频数分布表可得40人中成绩不低于90分的学生人数为15人，由此可计算出该年级成绩不低于90分的学生人数；
（2）根据题意写出所有的基本事件，确定基本事件的个数，即可计算出恰好选中一名男生一名女生的概率．
【详解】
⑴40名学生中成绩不低于90分的学生人数为15人；
所以估计该年级成绩不低于90分的学生人数为
⑵分别记男生为1,2,3号，女生为4,5号，从中选出2名学生，有如下基本事件
（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）
因此，共有10个基本事件，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有6个基本事件是选中一名男生一名女生（记为事件），
即（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5）
∴
本题考查频率分布表以及古典概型的概率计算，，考查学生的运算能力，属于基础题．