成都市树德实验中学2025年高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

成都市树德实验中学2025年高一数学第二学期期末学业水平测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）

A．3立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈
2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角对应的边分别是，已知，的面积为，则外接圆的直径为（ ）
A． B． C． D．
4．一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是（ ）
A．两个共底面的圆锥 B．半圆锥 C．圆锥 D．圆柱
5．在空间四边形中， ， ，，分别是， 的中点 ，，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图为A、B两名运动员五次比赛成绩的茎叶图，则他们的平均成绩和方差的关系是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
7．在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
8．的值（ ）
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不小于0
9．下图所示的几何体是由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为质点的圆锥面得到，现用一个垂直于底面的平面去截该几何体、则截面图形可能是（ ）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
10．已知数列的通项公式，前n项和为，若，则的最大值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则函数的值域为________.
12．若a、b、c正数依次成等差数列，则的最小值为_______.
13．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，成等比数列，且，则________.
14．已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an=______________．
15．若实数满足不等式组 则的最小值是_____.
16．已知数列，，且，则________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图,在直三棱柱中,,二面角为直角,为的中点.

(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成的角.
18．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近个季度的销售额数据统计如下表（其中表示年第一季度，以此类推）：
季度

季度编号x

销售额y（百万元）

（1）公司市场部从中任选个季度的数据进行对比分析，求这个季度的销售额都超过千万元的概率；
（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司的销售额.
附：线性回归方程：其中，
参考数据：.
19．设的内角为所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
20．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：
甲班：82　84　85　89　79　80　91　89　79　74
乙班：90　76　86　81　84　87　86　82　85　83
(1)求两个样本的平均数；
(2)求两个样本的方差和标准差；
(3)试分析比较两个班的学习情况．
21．某百货公司1～6月份的销售量与利润的统计数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
销售量x（万件）
10
11
13
12
8
6
利润y（万元）
22
25
29
26
16
12
附：
（1）根据2～5月份的统计数据，求出关于的回归直线方程
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？（参考公式：，）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
几何体如图：

体积为 ，选B.
点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
2、C
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得点的坐标．
【详解】
为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，
若将绕点顺时针旋转至，则点的横坐标为，
点的纵坐标为，故点的坐标为.
故选C.
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，考查基本的运算求解能力．
3、D
【解析】
根据三角形面积公式求得；利用余弦定理求得；根据正弦定理求得结果.
【详解】
由题意得：，解得：
由余弦定理得：
由正弦定理得外接圆的直径为：
本题正确选项：
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.
4、C
【解析】
根据旋转体的知识，结合等腰三角形的几何特征，得出正确的选项.
【详解】
由于等腰三角形三线合一，故等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是圆锥.故选C.
本小题主要考查旋转体的知识，考查等腰三角形的几何特征，属于基础题.
5、D
【解析】
平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解.
【详解】
如图所示：

设的中点为，连接，
所以，
则是所成的角或其补角，
又
根据余弦定理得：，
所以，
异面直线与所成角的为，
故选D.
本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是.
6、D
【解析】
根据题中数据，直接计算出平均值与方差，即可得出结果.
【详解】
由题中数据可得，，，
所以；
又，
，
所以.
故选D
本题主要考查平均数与方差的比较，熟记公式即可，属于基础题型.
7、C
【解析】
设，证明出，可判断出选项A、C的正误；由为等腰三角形结合可判断出B选项的正误；证明平面可判断出D选项的正误.
【详解】
如下图所示，设，则为的中点，

在正方体中，，则四边形为平行四边形，.
易知点、分别为、的中点，，
则四边形为平行四边形，则，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A选项中的命题错误；
，平面，平面，平面，C选项中的命题正确；
易知，则为等腰三角形，且为底，所以，与不垂直，由于，则与不垂直，B选项中的命题错误；
四边形为正方形，则，
在正方体中，平面，平面，
，，平面，
平面，，同理可证，且，
平面，则与平面不垂直，D选项中的命题错误.故选C.
本题考查线线、线面关系的判断，解题时应充分利用线面平行与垂直等判定定理证明线面平行、线面垂直，考查推理能力，属于中等题.
8、A
【解析】
确定各个角的范围，由三角函数定义可确定正负．
【详解】
∵，∴，，，
∴．
故选：A．
本题考查各象限角三角函数的符号，掌握三角函数定义是解题关键．
9、D
【解析】
根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】
根据题意，当截面过旋转轴时，
圆锥的轴截面为等腰三角形，此时（1）符合条件；
当截面不过旋转轴时，
圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（4）符合条件；
故截面图形可能是（1）（4）；
故选：D．
本题考查的知识点是旋转体，圆锥曲线的定义，关键是掌握圆柱与圆锥的几何特征.
10、B
【解析】
将的通项公式分解因式，判断正负分界处，进而推断的最大最小值得到答案.
【详解】
数列的通项公式
当时，当或是
最大值为或
最小值为或
的最大值为
故答案为B
本题考查了前n项和为的最值问题，将其转化为通项公式的正负问题是解题的关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
令，结合可得，本题转化为求二次函数在的值域，求解即可.
【详解】
，.
令，，则，
由二次函数的性质可知，当时，；
当时，.
故所求值域为.
本题考查了函数的值域，利用换元法是解决本题的一个方法.
12、1
【解析】
由正数a、b、c依次成等差数列，则，则，再结合基本不等式求最值即可.
【详解】
解：由正数a、b、c依次成等差数列，
则，
则，当且仅当，即时取等号，
故答案为：1.
本题考查了等差中项的运算，重点考查了基本不等式的应用，属基础题.
13、
【解析】
A,B,C是三角形内角，那么，代入等式中，进行化简可得角A,C的关系，再由，，成等比数列，根据正弦定理，将边的关系转化为角的关系，两式相减可得关于的方程，解方程即得．
【详解】
因为，所以，所以.因为，，成等比数列，所以，所以，则，整理得，解得.
本题考查正弦定理和等比数列运用，有一定的综合性．
14、
【解析】
设数列的首项为，公比为q，则，所以，由得解得，因为数列为递增数列，所以，，所以
考点定位：本题考查等比数列，意在考查考生对等比数列的通项公式的应用能力
15、4
【解析】
试题分析：由于根据题意x,y满足的关系式，作出可行域，

当目标函数z=2x+3y在边界点（2，0）处取到最小值z=2×2+3×0=4，故答案为4.
考点：本试题主要考查了线性规划的最优解的运用．
点评：解决该试题的关键是解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解.
16、
【解析】
由题意可得{}是以+1为首项，以2为公比的等比数列，再由已知求得首项，进一步求得即可．
【详解】
在数列中，满足得，
则数列是以+1为首项，以公比为2的等比数列，
得，由，则，得．
由，得，故．
故答案为：
本题考查了数列的递推式，利用构造等比数列方法求数列的通项公式，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)证明见详解；(2).
【解析】
（1）先证明平面，再推出面面垂直；
（2）由（1）可知即为所求，在三角形中求角即可.
【详解】
（1）证明：因为，所以；
又为的中点，所以.
在直三棱柱中，平面.
又因为平面中，所以，
因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知为在平面内的射影，
所以为直线与平面所成的角，
设，则，
在中，，
在中，，
又，得，
因此直线与平面所成的角为.
本题第一问考查由线面垂直证明面面垂直，第二问考查线面角的求解，属综合基础题.
18、（1）；（2）关于的线性回归方程为，预测该公司的销售额为百万元.
【解析】
（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“这个季度的销售额都超过千万元”然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；
（2）计算出和的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出和的值，可得出关于的线性回归方程，然后将代入回归直线方程即可得出该公司的销售额的估计值.
【详解】
（1）从个季度的数据中任选个季度，这个季度的销售额有种情况：、、、、、、、、、
设“这个季度的销售额都超过千万元”为事件，事件包含、、，种情况，所以；
（2），，
，.
所以关于的线性回归方程为，
令，得（百万元）
所以预测该公司的销售额为百万元．
本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了回归直线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.
19、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）已知，由余弦定理角化边得，再由余弦定理可得角的值；（2）根据与，由正弦定理求得，，结合代入到的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到的周长关于角的三角函数，再根据正弦函数的图象与性质，即可求解周长的取值范围.
试题解析：（1），由余弦定理，得，
，

∵
.
（2）.
由正弦定理，得，同理可得，
的周长

，
，
的周长，
故的周长的取值范围为.
点睛：在解三角形的范围问题时往往要运用正弦定理或余弦定理转化为角度的范围问题，这样可以利用辅助角公式进行化简，再根据角的范围求得最后的结果.
20、（1），；（2），，；（3）乙班的总体学习情况比甲班好
【解析】
试题分析：每组样本数据有10个，求样本的平均数利用平均数公式，10个数的平均数等于这10个数的和除以10；比较平均分的大小可以看出两个班学生平均水平的高低，求样本的方差只需使用方差公式，求这10个数与平均数的差的平方方和再除以10；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定 。
试题解析：
(1)＝×(82＋1＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83. 2，
＝×(90＋76＋86＋81＋1＋87＋86＋82＋85＋83)＝1．
(2)＝×[(82－83. 2)2＋(1－83. 2)2＋(85－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(80－83. 2)2＋(91－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(74－83. 2)2]＝26. 36，
＝ [(90－1)2＋(76－1)2＋(86－1)2＋(81－1)2＋(1－1)2＋(87－1)2＋(86－1)2＋(82－1)2＋(85－1)2＋(83－1)2]＝13. 2，
则s甲＝≈5. 13，s乙＝≈3. 2．
(3)由于，则甲班比乙班平均水平低．由于，则甲班没有乙班稳定．
所以乙班的总体学习情况比甲班好
【点睛】怎样求样本的平均数，n个数的平均数等于这n个数的和除以n；比较平均数的大小可以看出两个样本平均水平的高低，怎样求样本的方差，就是求这n个数与平均数的差的平方方和再除以n；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定 。
21、 (1) ；（2）见解析.
【解析】
（1）求出，由公式，得的值，从而求出的值，从而得到关于的线性回归方程；
（2）将月份和月份的销售量值代入回归直线方程，求出预测值，并计算预测值与实际值之间的误差，结合题意来判断（1）中所得回归直线方程是否理想。
【详解】
（1）计算得，
，
，
则 ，
；
故关于的回归直线方程为．
（2）当时，，此时；
当时，，此时．
故所得的回归直线方程是理想的．
本题考查回归直线方程的应用，解题的关键就是弄清楚最小二乘法公式，并准确代入数据计算，着重考察计算能力，属于中等题。