2024-2025学年青海省西宁市示范名校高一下数学期末综合测试试题含解析.doc

2024-2025学年青海省西宁市示范名校高一下数学期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，则在中，正数的
个数是（ ）
A．16 B．72 C．86 D．100
2．把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积等于（ ）
A． B．480 C． D．
3．点是空间直角坐标系中的一点，过点作平面的垂线，垂足为，则点的坐标为（ ）
A．（1，0，0） B． C． D．
4．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知{an}是等差数列，且a2+ a5+ a8+ a11=48，则a6+ a7= ( )
A．12 B．16 C．20 D．24
6．若则一定有（ ）
A． B． C． D．
7．甲：（是常数）
乙：
丙：（、是常数）
丁：（、是常数），
以上能成为数列是等差数列的充要条件的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．若（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则的值为_____________
12．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．
13．函数的值域为_____________.
14．若为幂函数，则满足的的
值为________.
15．已知向量，则与的夹角是_________.
16．如图所示，已知，用表示.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长.

18．已知，是第四象限角，求和的值.
19．已知函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）.
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间：
（2）将f（x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，求实数m的取值范围.
20．已知：三点,其中.
（1）若三点在同一条直线上，求的值；
（2）当时，求．
21．已知函数，.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）在中，内角、、所对边的长分别是，若，，，求的面积的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
令，则，当1≤n≤14时，画出角序列终边如图，

其终边两两关于x轴对称，故有均为正数，
而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k时，Sn>0，
而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余
都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.
2、A
【解析】
由题意知，此球是棱长为6的正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为6，再由球的体积公式求解即可．
【详解】
解：由已知可得球的直径为6，故半径为3，
其体积是，
故选：．
本题考查长方体内切球的几何特征，以及球的体积公式，属于基础题．
3、B
【解析】
根据空间直角坐标系的坐标关系,即可求得点的坐标.
【详解】
空间直角坐标系中点
过点作平面的垂线,垂足为,可知
故选:B
本题考查了空间直角坐标系及坐标关系,属于基础题.
4、B
【解析】
由题意得出，由，得出，再利用累加法得出的值。
【详解】
，，
又，，
，，则，
于是得到，
上述所有等式全部相加得，
因此，，故选：B。
本题考查数列项的计算，考查累加法的应用，解题的关键就是根据题中条件构造出等式
，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。
5、D
【解析】
由等差数列的性质可得，则，故选D.
6、D
【解析】
本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选
7、D
【解析】
由等差数列的定义和求和公式、通项公式的关系，以及性质，即可得到结论.
【详解】
数列是等差数列，设公差为，
由定义可得（是常数），
且（是常数），
，
令，即（、是常数），
等差数列通项，
令，即（、是常数），
综上可得甲乙丙丁都对.
故选：D.
本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的关系，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题.
8、C
【解析】
纵竖坐标不变，横坐标变为相反数．
【详解】
点关于平面对称的点的坐标为．
故选C．
本题考查空间直角坐标系，属于基础题．
9、D
【解析】
故.
【考点定位】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题.
10、B
【解析】
根据椭圆可以知焦点为，离心率，故选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用和差化积公式将两式化简，然后两式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．
【详解】
由得，
，，
两式相除得，，则
．
本题主要考查和差化积公式以及二倍角公式的应用．
12、.
【解析】
分析：由，均为单位向量，它们的夹角为，求出数量积，先将平方，再开平方即可的结果.
详解：∵

，故答案为.
点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
13、
【解析】
分析函数在区间上的单调性，由此可求出该函数在区间上的值域.
【详解】
由于函数和函数在区间上均为增函数，
所以，函数在区间上也为增函数，
且，，
当时，，
因此，函数的值域为.
故答案为：.
本题考查函数值域的求解，解题的关键就是判断出函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14、
【解析】
根据幂函数定义知，又，由二倍角公式即可求解.
【详解】
因为为幂函数，
所以，即,
因为,
所以，即，
因为，
所以，.
故填.
本题主要考查了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.
15、
【解析】
利用向量的数量积直接求出向量的夹角即可.
【详解】
由题知，，
因为，
所以与的夹角为.
故答案为：.
本题考查了利用向量的数量积求解向量的夹角，属于基础题.
16、
【解析】
可采用向量加法和减法公式的线性运算进行求解
【详解】
由，整理得
本题考查向量的线性运算，解题关键在于将所有向量通过向量的加法和减法公式转化成基底向量，属于中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
连接，由题意，得米，米，，在△中，由余弦定理可得答案.
【详解】
设该扇形的半径为米，连接，如图所示：

由题意，得米，米，，
在△中，由余弦定理得，
即，
解得米.
答：该扇形的半径的长为米.
本题考查了利用余弦定理解三角形，将问题转化为在三角形中求解是解题关键，属于基础题.
18、，
【解析】
利用诱导公式可求的值，根据是第四象限角可求的值，最后根据三角函数的基本关系式可求的值，根据诱导公式及倍角公式可求的值.
【详解】
，
又是第四象限角，所以，
所以，
.
本题考查同角的三角函数的基本关系式、诱导公式以及二倍角公式，此题属于基础题.
19、（1）函数的最小正周期为π;函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z（2）m∈[﹣2，1]
【解析】
（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论；
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得的范围，进而可得的范围.
【详解】
（1）函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）sin2x﹣（1+cos2x）＝2sin（2x）﹣1，
故函数的最小正周期为π.
令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，可得函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z.
（2）将f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝2sin（2x）﹣1＝2sin（2x）﹣1的图象.
在区间[0，]上，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）∈[﹣2，1].
若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，则m∈[﹣2，1].
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.
20、 (1）（2）
【解析】
（1）利用共线向量的特点求解m；
（2）先利用求解m，再求解.
【详解】
（1）依题有：，
共线

.
（2）由得：
又

本题主要考查平面向量的应用，利用共线向量可以证明三点共线问题，利用向量可以解决长度问题.
21、（1），；（2）.
【解析】
（1）首先把化成的型式，再根据三角函的单调性即可解决
（2）根据（1）结果把代入可得A的大小，从而计算出B的大小，根据正弦定理以及面积公式即可解决。
【详解】
（1）因为

，
由，，
得，，
又，所以或，
所以函数在上的递增区间为：，；
（2）因为，∴，∴，
∴，，∴，，
∵，∴．∴，
在三角形中由正弦定理得，∴，
.
本题主要考查了三角函数问题以及解三角形问题。三角函数问题常考周期、单调性最值等，在解三角形中长考的有正弦定理、余弦定理以及面积公式。