2025届河南省济源市第四中学数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2025届河南省济源市第四中学数学高一第二学期期末学业水平测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．同时掷两个骰子，向上的点数之和是的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．如果圆上总存在点到原点的距离为，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
3．将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．设，则
A．-1 B．1 C．l n2 D．-ln2
5．已知是偶函数，且时.若时，的最大值为，最小值为，则（）
A．2 B．1 C．3 D．
6．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（）

A．640 B．520 C．280 D．240
7．若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，，则（ ）
A．或 B． C． D．
9．数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角所对的对边分别为，若，，，则的面积等于_____
12．已知正三角形的边长是2，点为边上的高所在直线上的任意一点，为射线上一点，且.则的取值范围是____
13．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: ,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数，满足,，，则_______.
14．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是__________．

15．已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数的值域，则该函数的值域是______.
16．某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为001,002,003，…，800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第行到第行： 若从表中第6行第6列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号是_______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．等差数列，等比数列，，，如果，
（1）求的通项公式
（2），求的最大项的值
（3）将化简，表示为关于的函数解析式
18．在中，已知，其中角所对的边分别为．求
（1）求角的大小；
（2）若， 的面积为，求的值．
19．已知关于的不等式．
（1）若不等式的解集为，求；
（2）当时，解此不等式．
20．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是.

（1）求图中m的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）和中位数（四舍五入取整数）；
（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求英语成绩在的人数.
分数段
[70，80）
[80，90）
[90，100）
[100，110）
[110，120）
x：y
1:2
2:1
6:5
1:2
1:1

21．某百货公司1～6月份的销售量与利润的统计数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
销售量x（万件）
10
11
13
12
8
6
利润y（万元）
22
25
29
26
16
12
附：
（1）根据2～5月份的统计数据，求出关于的回归直线方程
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？（参考公式：，）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
分别计算出所有可能的结果和点数之和为的所有结果，根据古典概型概率公式求得结果.
【详解】
同时掷两个骰子，共有种结果
其中点数之和是的共有：，共种结果
点数之和是的概率为：
本题正确选项：
本题考查古典概型问题中的概率的计算，关键是能够准确计算出总体基本事件个数和符合题意的基本事件个数，属于基础题.
2、B
【解析】
将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案.
【详解】
，圆心为 半径为1
圆心到原点的距离为：
如果圆上总存在点到原点的距离为
即圆心到原点的距离
即
故答案选B
本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键.
3、A
【解析】
由题意利用函数的图象变换法则，即可得出结论。
【详解】
将函数的图象向右平移个的单位长度，可得的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为，故选．
本题主要考查函数的图象变换法则，注意对的影响。
4、C
【解析】
先把化为，再根据公式和求解.
【详解】

故选C.
本题考查对数、指数的运算，注意观察题目之间的联系.
5、B
【解析】
根据函数的对称性得到原题转化为直接求的最大和最小值即可.
【详解】
因为函数是偶函数，函数图像关于y轴对称，故得到时，的最大值和最小值，与时的最大值和最小值是相同的，故直接求的最大和最小值即可；
根据对勾函数的单调性得到函数的最小值为，，故最大值为，此时
故答案为：B.
这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题。对于函数的奇偶性，主要是体现函数的对称性，这样可以根据对称性得到函数在对称区间上的函数值的关系，使得问题简化.
6、B
【解析】
由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率，由此能求出获得复赛资格的人数．
【详解】
初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，
所有学生的成绩均在区间（30，150]内，
由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率为：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.1．
∴获得复赛资格的人数为：0.1×800＝2．
故选：B．
本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，是基础题．
7、B
【解析】
根据任意角的三角函数的定义，可以直接求到本题答案.
【详解】
因为点在角的终边上，所以.
故选：B
本题主要考查利用任意角的三角函数的定义求值.
8、C
【解析】
由三角形面积公式可得，进而可得解.
【详解】
在中，，，,
，可得，所以，
所以
本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题.
9、C
【解析】
利用特殊值,将代入四个选项即可排除错误选项.
【详解】
将代入四个选项,可得A中B中D中
只有C中
所以排除ABD选项
故选：C
本题考查了根据几个项选择数列的通项公式,特殊值法是解决此类问题的简单方法,属于基础题.
10、D
【解析】
由可求得所处的范围，进而得到函数最大值.
【详解】

的最大值为
故选：
本题考查函数最值的求解，关键是明确余弦型函数的值域，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】
由余弦定理求出，再利用面积公式即可得到答案。
【详解】
由于在中，，，，根据余弦定理可得：，即，解得：或，经检验都满足题意；
所以当时，的面积，当时，的面积；
故的面积等于或
本题考查余弦定理与面积公式在三角形中的应用，属于中档题。
12、
【解析】
以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求出A.C,P,Q的坐标，运用平面向量的坐标表示和性质，求出的表达式，
利用判别式法求出的取值范围.
【详解】
以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：

，设，，设，可得，由
，可得即，
，
令，可得，
当时，成立，
当时，，即，
，即，
所以的取值范围是.
本题考查了平面向量数量积的性质和运算，考查了平面向量模的取值范围，构造函数，利用判别式法求函数的最值是解题的关键.
13、
【解析】
设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值.
【详解】
设的角、、的对边分别为、、，
在内取点，使得，
设，，，
由余弦定理得，，
同理可得，，，则，
的面积为，
另一方面，解得，故答案为.
本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.
14、
【解析】
分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到，然后算出函数的周期，利用周期的公式，得到，最后将点
代入，得： 结合，可得
所以的解析式是．
详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得，又∵函数的周期 ，利用周期的公式，可得，
将点 代入，得： 结合，可得
所以的解析式是．
点睛：本题给出了函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题．
15、
【解析】
根据题意，可令，结合，再进行整体代换即可求解
【详解】
令，则，
，，
则，，，则函数值域为
故答案为：
本题考查3倍角公式的使用，函数的转化思想，属于中档题
16、1
【解析】
根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．
【详解】
第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，1合适
则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，1，
则第6个编号为1，
故答案为1．
本题考查了简单随机抽样中的随机数表法，主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．本题属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）（3）
【解析】
（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求；
（2）判断的单调性，可得所求最大值；
（3）讨论当时，当时，由分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，，，
由，，可得，，
解得：，
数列的通项公式：.
（2）由题意得，
，
当时，递增；当时，递减；
由，可得的最大项的值为.
（3）由题意得，
当时，；

当时，

综上函数解析式
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题.
18、（1）；（2）1.
【解析】
试题分析：
(1)利用正弦定理角化边，结合三角函数的性质可得；
(2)由△ABC的面积可得，由余弦定理可得，结合正弦定理可得：的值是1.
试题解析：
（1） 由正弦定理，得，
∵， ∴. 即，而
∴， 则
（2）由，得，
由及余弦定理得，
即，所以．
19、（1）2（2）时，，时，，时，不等式的解集为空集，时，，时，.
【解析】
（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a的方程组，解得a；（2）不等式化为，讨论a的取值，从而求得不等式的解集。
【详解】
（1）由题得，，解集为，则有，解得；（2）由题，：当时，不等式化为，解得；当时，不等式等价于，若，解得；若，解得，若，解得；当时，不等式等价于，解得或.综上，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为空集，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.
本题考查一元二次不等式的解法与应用，以及通过讨论参数取值求不等式的解集，有一定的难度。
20、（1）（2）平均分为，中位数为（3）140人
【解析】
（1）由题得，解方程即得解；（2）利用频率分布直方图中平均数和中位数的计算公式估计这200名学生的平均分和中位数；（3）分别计算每一段的人数即得解.
【详解】
（1）由，解得.
（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即估计平均数为．
设中位数为,则解得
（3）由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在，，的分别有60人，40人，10人，按照表中给的比例，则英语成绩在，，的分别有50人，80人，10人，
所以英语成绩在的有140人．
本题主要考查频率分布直方图的性质，考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21、 (1) ；（2）见解析.
【解析】
（1）求出，由公式，得的值，从而求出的值，从而得到关于的线性回归方程；
（2）将月份和月份的销售量值代入回归直线方程，求出预测值，并计算预测值与实际值之间的误差，结合题意来判断（1）中所得回归直线方程是否理想。
【详解】
（1）计算得，
，
，
则 ，
；
故关于的回归直线方程为．
（2）当时，，此时；
当时，，此时．
故所得的回归直线方程是理想的．
本题考查回归直线方程的应用，解题的关键就是弄清楚最小二乘法公式，并准确代入数据计算，着重考察计算能力，属于中等题。