2025年辽宁省沈阳市郊联体数学高一第二学期期末达标检测试题含解析.doc

2025年辽宁省沈阳市郊联体数学高一第二学期期末达标检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，.且，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知数列为等差数列，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．盒中装有除颜色以外，形状大小完全相同的3个红球、2个白球、1个黑球，从中任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；至少有一个红球 B．至少有一个白球；红、黑球各一个
C．恰有一个白球：一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；都是白球
4．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，已知tan＝sinC，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．下列各角中，与126°角终边相同的角是（　　）
A． B． C． D．
7．某林区改变植树计划，第一年植树增长率，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的，若成活率为，经过年后，林区的树木量是原来的树木量的多少倍？（ ）
A． B． C． D．
8．过点且与直线垂直的直线方程是 ．
A． B． C． D．
9．已知是偶函数，且时.若时，的最大值为，最小值为，则（）
A．2 B．1 C．3 D．
10．己知关于的不等式解集为，则突数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．给出下列四个命题：
①在中，若，则；
②已知点，则函数的图象上存在一点，使得；
③函数是周期函数，且周期与有关，与无关；
④设方程的解是，方程的解是，则.
其中真命题的序号是______.（把你认为是真命题的序号都填上）
12．在中，若，，，则________．
13．己知为数列的前项和，且，则_____．
14．若，，，则M与N的大小关系为___________．
15．用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是___________.
16．已知直线，圆O：上到直线的距离等于2的点有________个。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足.
（1）求值；
（2）已知若的最小值为，求的最大值.
19．已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列.
20．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）试估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入（单位：万元）
1
2
3
4
5
销售收益（单位：万元）
2
3
3

7
由表中的数据显示，与之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出关于的回归直线方程.（参考公式：）
21．已知数列中，，点在直线上，其中.
（1）令，求证数列是等比数列；
（2）求数列的通项；
（3）设、分别为数列、的前项和是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在，则说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
通过得到，再利用和差公式得到答案.
【详解】
向量，.且

故答案为B
本题考查了向量平行，正切值的计算，意在考查学生的计算能力.
2、D
【解析】
由等差数列的性质可得a7=，而tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得．
【详解】
∵数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，
∴a1+a7+a13=3a7=4π，解得a7=，
∴tan（a2+a12）=tan（2a7）
=tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣
故选D．
本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题．
3、B
【解析】
根据对立事件和互斥事件的定义，对每个选项进行逐一分析即可.
【详解】
从6个小球中任取2个小球，共有15个基本事件，
因为存在事件：取出的两个球为1个白球和1个红球，
故至少有一个白球；至少有一个红球，这两个事件不互斥，故A错误；
因为存在事件：取出的两个球为1个白球和1个黑球，
故恰有一个白球：一个白球一个黑球，这两个事件不互斥，故C错误；
因为存在事件：取出的两个球都是白球，
故至少有一个白球；都是白球，这两个事件不互斥，故D错误；
因为至少有一个白球，包括：1个白球和1个红球，1个白球和1个黑球，
2个白球这3个基本事件；红、黑球各一个只包括1个红球1个白球这1个基本事件，
故两个事件互斥，因还有其它基本事件未包括，故不对立.故B正确.
故选：B.
本题考查互斥事件和对立事件的辨析，属基础题.
4、D
【解析】
利用排除法，取，，可排除错误选项，再结合函数的单调性，可证明D正确.
【详解】
取，，可排除A，B，C，
由函数是上的增函数，又，所以，即选项D正确.
故选：D.
本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
5、C
【解析】
解：因为

选C
6、B
【解析】
写出与126°的角终边相同的角的集合，取k=1得答案．
【详解】
解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k∈Z}．
取k=1，可得α=486°．
∴与126°的角终边相同的角是486°．
故选B．
本题考查终边相同角的计算，是基础题．
7、B
【解析】
由题意知增长率形成以首项为，公比为的等比数列，从而第年的增长率为，则第年的林区的树木数量为，求解即可.
【详解】
由题意知增长率形成以首项为，公比为的等比数列，从而第年的增长率为，
则第年的林区的树木数量为，
，，，，
因此，经过年后，林区的树木量是原来的树木量的倍，故选：B.
本题考查数列的性质和应用，解题的关键在于建立数列的递推关系式，然后逐项进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8、A
【解析】
根据与已知直线垂直的直线系方程可假设直线为，代入点解得直线方程.
【详解】
设与直线垂直的直线为：
代入可得：，解得：
所求直线方程为：，即
本题正确选项：
本题考查利用两条直线的垂直关系求解直线方程的问题，属于基础题.
9、B
【解析】
根据函数的对称性得到原题转化为直接求的最大和最小值即可.
【详解】
因为函数是偶函数，函数图像关于y轴对称，故得到时，的最大值和最小值，与时的最大值和最小值是相同的，故直接求的最大和最小值即可；
根据对勾函数的单调性得到函数的最小值为，，故最大值为，此时
故答案为：B.
这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题。对于函数的奇偶性，主要是体现函数的对称性，这样可以根据对称性得到函数在对称区间上的函数值的关系，使得问题简化.
10、C
【解析】
利用绝对值的几何意义求解，即表示数轴上与和－2的距离之和，其最小值为．
【详解】
∵，∴由解集为，得，解得．
故选C．
本题考查绝对值不等式，考查绝对值的性质，解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解，也可应用绝对值的几何意义求解．不等式解集为，可转化为的最小值不小于1，这是解题关键．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①③
【解析】
①利用三角形的内角和定理以及正弦函数的单调性进行判断；
②根据余弦函数的有界性可进行判断；
③利用周期函数的定义，结合余弦函数的周期性进行判断；
④根据互为反函数图象的对称性进行判断.
【详解】
①在中，若，则，则，由于正弦函数在区间上为增函数，所以，故命题①正确；
②已知点，则函数，所以该函数图象上不存在一点，使得，故命题②错误；
③函数的是周期函数，
当时，，该函数的周期为.
当时，，该函数的周期为.
所以，函数的周期与有关，与无关，命题③正确；
④设方程的解是，方程的解是，
由，可得，由，可得，
则可视为函数与直线交点的横坐标，
可视为函数与直线交点的横坐标，如下图所示：

联立，得，可得点，
由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，
则直线与函数和函数图象的两个交点关于点对称，
所以，命题④错误.
故答案为：①③.
本题考查三角函数的周期、正弦函数单调性的应用、互为反函数图象的对称性的应用以及余弦函数有界性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12、2；
【解析】
利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果.
【详解】
由余弦定理得：
解得：或（舍）
本题正确结果：
本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.
13、
【解析】
根据可知，得到数列为等差数列；利用等差数列前项和公式构造方程可求得；利用等差数列通项公式求得结果.
【详解】
由得：，即：
数列是公差为的等差数列
又 ，解得：

本题正确结果：
本题考查等差数列通项公式、前项和公式的应用，关键是能够利用判断出数列为等差数列，进而利用等差数列中的相关公式来进行求解.
14、
【解析】
根据自变量的取值范围，利用作差法即可比较大小.
【详解】
，，，
所以

当时，
所以，
即，
故答案为：.
本题考查了作差法比较整式的大小，属于基础题.
15、.
【解析】
从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．
【详解】
假设时命题成立，则，
当时，
从到时左边需增乘的代数式是．
故答案为：.
本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
16、3；
【解析】
根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可通过图形确定所求点的个数.
【详解】
由圆的方程可知，圆心坐标为，半径
圆心到直线的距离：

如上图所示，此时，
则到直线距离为的点有：，共个
本题正确结果：
本题考查根据圆与直线的位置关系求解圆上点到直线距离为定值的点的个数，关键是能够根据圆心到直线的距离确定直线的大致位置，从而根据半径长度确定点的个数.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；
(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
18、（1）（2）1
【解析】
（1）由，得，化简得，即可得到答案；
（2）化简函数，对实数分类讨论求得函数的最小值，得到关于的分段函数，进而求得函数的最大值.
【详解】
（1）由题意知三点满足，
可得，所以，即
即，则，所以.
（2）由题意，函数

因为，所以，
当时，取得最小值，
当时，当时，取得最小值，
当时，当时，取得最小值，
综上所述，，可得函数的最大值为1，
即的最大值为1.
本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的坐标性质，以及三角函数和二次函数的性质的综合应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
19、（1）（2）（3）见解析
【解析】
（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明.
【详解】
（1），所以，
由得时，，
两式相减得，，，
数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以.
（2）若数列是常数列，

为常数.
只有，解得，
此时.
（3）①
，，其中，所以，
当时，②
②式两边同时乘以得，③
①式减去③得，，所以，
因为，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列.
本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分析论证与求解能力，属中档题
20、（1）2；（2）5；（3）空白栏中填5，
【解析】
（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为，得到关于的等式，求解出即可；
（2）根据各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值；
（3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出，即可求解出回归直线方程.
【详解】
（1）设各小长方形的宽度为.
由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知
，
解得.故图中各小长方形的宽度为2.
（2）由（1）知各小组依次是，
其中点分别为对应的频率分别为
故可估计平均值为.
（3）由（2）可知空白栏中填5.
由题意可知，
，，
根据公式，可求得，.
所以所求的回归直线方程为.
本题考查频率分布直方图的实际应用以及回归直线方程的求法，难度一般.（1）频率分布直方图中，小矩形的面积代表该组数据的频率，所有小矩形面积之和为；（2）求解回归直线方程时，先求解出，然后根据回归直线方程过样本点的中心再求解出.
21、（1）证明过程见详解；（2）；（3）存在实数，使得数列为等差数列.
【解析】
（1）先由题意得到，再由，得到，即可证明结论成立；
（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出数列的通项；
（3）把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．
【详解】
（1）因为点在直线上，所以，因此
由得

所以数列是以为公比的等比数列；
（2）因为，由得，故，
由（1）得，
所以，即，
所以，，…，，
以上各式相加得：

所以；
（3）存在λ＝2，使数列是等差数列．
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2
∴
又=
∴，
∴当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型.