2024-2025学年江苏省南通市南通第一中学数学高一下期末学业质量监测试题含解析.doc

2024-2025学年江苏省南通市南通第一中学数学高一下期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，一个边长为的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）

A． B． C． D．
2．若函数，则（ ）
A．9 B．1 C． D．0
3．变量满足，目标函数，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．-1
4．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（ ）
A．1或3 B．4 C．1 D．1或4
5．已知点，点是圆上任意一点，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，且，则等于()
A． B． C． D．
7．某林区改变植树计划，第一年植树增长率，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的，若成活率为，经过年后，林区的树木量是原来的树木量的多少倍？（ ）
A． B． C． D．
8．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知不等式的解集为，则________.
12．已知数列满足，则__________.
13．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是______.

14．在等差数列中，，，则公差______.
15．已知直线平分圆的周长，则实数________．
16．方程在区间内解的个数是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． 已知函数f(x)＝.
(1) 若不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，求实数k的取值范围；
(2) 当x∈ (m>0，n>0)时，函数g(x)＝tf(x)＋1(t≥0)的值域为[2－3m，2－3n]，求实数t的取值范围．
18．已知点，圆.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.
19．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)请确定是否是数列中的项?
20．已知圆的圆心在线段上，圆经过点，且与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于，两点，当最小时，求直线的方程及的最小值.
21．在△ABC中，中线长AM＝2.

（1）若＝－2，求证：＋＋＝0；
（2）若P为中线AM上的一个动点，求·(＋)的最小值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据几何概型直接进行计算即可.
【详解】
月牙形图案的面积约为：
本题正确选项：
本题考查几何概型的应用，属于基础题.
2、B
【解析】
根据的解析式即可求出，进而求出的值．
【详解】
∵，∴，
故，故选B.
本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题.
3、D
【解析】
先画出满足条件的平面区域，将变形为：，平移直线得直线过点时，取得最小值，求出即可．
【详解】
解：画出满足条件的平面区域，如图示：

由得：，
平移直线，显然直线过点时，最小，
由，解得：
∴最小值，
故选：D．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．
4、C
【解析】
试题分析：利用直线的斜率公式求解．
解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，
∴k==1，
解得m=1．
故选C．
考点：直线的斜率．
5、B
【解析】
求出直线的方程，计算出圆心到直线的距离，可知的最大高度为，并计算出，最后利用三角形的面积公式可得出结果.
【详解】
直线的方程，且，
圆的圆心坐标为，半径长为，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最大值为，
因此，面积的最大值为，故选B.
本题考查三角形面积的最值问题，考查圆的几何性质，当直线与圆相离时，若圆的半径为，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线距离的最大值为，距离的最小值为，要熟悉相关结论的应用.
6、A
【解析】
在△ABC中，利用正弦定理与两角和的正弦化简已知可得，sin（A+C）＝sinB，结合a＞b，即可求得答案．
【详解】
在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosAb，
∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，sinB≠0，
∴sinAcosC+sinCcosA，
∴sin（A+C），
又A+B+C＝π，
∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，又a＞b，
∴B．
故选A．
本题考查两角和与差的正弦函数与正弦定理的应用，考查了大角对大边的性质，属于中档题．
7、B
【解析】
由题意知增长率形成以首项为，公比为的等比数列，从而第年的增长率为，则第年的林区的树木数量为，求解即可.
【详解】
由题意知增长率形成以首项为，公比为的等比数列，从而第年的增长率为，
则第年的林区的树木数量为，
，，，，
因此，经过年后，林区的树木量是原来的树木量的倍，故选：B.
本题考查数列的性质和应用，解题的关键在于建立数列的递推关系式，然后逐项进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8、C
【解析】
利用诱导公式,的图象变换规律,得出结论.
【详解】
为了得到函数的图象, 
只需将函数图象上所有的点向左平移个单位长度, 
故选C.
9、B
【解析】
利用余弦定理化简后可得，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.
【详解】

，
因为为锐角三角形，所以，
，
，故,选B.
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
10、D
【解析】
对于A，利用线面平行的判定可得A正确.对于B，利用线面垂直的性质可得B正确.对于C，利用面面垂直的判定可得C正确.根据平面与平面的位置关系即可判断D不正确.
【详解】
对于A，根据平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，
则这条直线平行于这个平面，可判定A正确.
对于B，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，判定B正确.
对于C，根据一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，
可判定C正确.
对于D，若，则或相交，所以D不正确.
故选：D
本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，同时考查了线面垂直的性质，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-7
【解析】
结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由不等式的解集为，可得 ，解得，
所以.
故答案为：.
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、
【解析】
数列为以 为首项，1为公差的等差数列。
【详解】
因为所以
又
所以数列为以 为首项，1为公差的等差数列。
所以
所以
故填
本题考查等差数列，属于基础题。
13、
【解析】
将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角.
【详解】
连接，根据三角形中位线得到，所以是异面直线与所成角.在三角形中，,所以三角形是等边三角形，故.
故填：.

本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
14、3
【解析】
根据等差数列公差性质列式得结果.
【详解】
因为，，所以.
本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.
15、1
【解析】
由题得圆心在直线上，解方程即得解.
【详解】
由题得圆心（1，a）在直线上，
所以.
故答案为1
本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
16、4.
【解析】
分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果.
详解：，所以或，
因为，所以或或或，
故解的个数是4.
点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) k≤1;(2) (0，1)．
【解析】
试题分析：（1）把f(x)＝代入，化简得k≤x在[1，3]上恒成立，所以k≤1．（2）g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，又x∈ (m>0，n>0)，所以g(x)在单调递增，所以即，即m，n是关于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的两个不等的正根．由根的分布，可得，解得0<t<1．
试题解析：(1) ∵ xf(x)＋＝＋＝x，
∴ 不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，即为k≤x在[1，3]上恒成立．
∴ k≤1.
(2) ∵ g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，
若t＝0，则g(x)＝1，不合题意，∴ t>0.
又当t>0时，g(x)＝－＋t＋1在上显然是单调增函数，
∴即
∴ m，n是关于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的两个不等的正根．
令h(x)＝tx2－3x＋1－t，则
解得0<t<1.
∴ 实数t的取值范围是(0，1)．
18、（1）或；（2）.
【解析】
（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可．
（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可．
【详解】
（1）由圆的方程得到圆心，半径.
当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，
由题意得：，解得，
∴ 方程为，即.
故过点且与圆相切的直线方程为或.
（2）∵ 弦长为，半径为2.
圆心到直线的距离，
∴，
解得.
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．
19、（1）（2）是数列中的第项
【解析】
(1)直接利用等差数列的公式计算得到通项公式.
(2)将3998代入通项公式，是否有整数解.
【详解】
(1)设数列的公差为，
由题意有，解得
则数列的通项公式为，
(2)假设是数列中的项，有，得，故是数列中的第项
本题考查了等差数列的公式，属于简单题.
20、（1）（2）的方程为，最小为
【解析】
（1）设圆的方程为，由题意可得，求解即可得到圆的方程；（2）过定点，当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最小，求解即可.
【详解】
解：（1）设圆的方程为，
所以，解得
所以圆的方程为.
（2）直线的方程可化为点斜式，所以过定点．
又点在圆内，当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦最小．
因为，所以的斜率，
所以的方程为，即，
因为，，所以．
求圆的弦长的常用方法
几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
②代数方法：运用韦达定理及弦长公式：＝＝.
21、（1）见解析；（2）最小值－2.
【解析】
试题分析：（1） ∵M是BC的中点，∴＝(＋)．代入＝－2，得＝－－，即＋＋＝0
（2）若P为中线AM上的一个动点，若AM＝2，我们易将·(＋),转化为－2||||=2(x－1)2－2的形式，然后根据二次函数在定区间上的最值的求法，得到答案．
试题解析：（1）证明：∵M是BC的中点，
∴＝(＋)
代入＝－2，得＝－－，
即＋＋＝0
（2）设||＝x，则||＝2－x(0≤x≤2)
∵M是BC的中点，∴＋＝2
∴·(＋)＝2·＝－2||||
＝－2x(2－x)＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2，
当x＝1时，取最小值－2
考点：平面向量数量积的运算.
【详解】
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