2025届北京市昌平区实验中学数学高一下期末考试试题含解析.doc

2025届北京市昌平区实验中学数学高一下期末考试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．如图，，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点且，，则图中阴影区域面积的最大值为（ )

A． B． C． D．
3．直线过点，且与以为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列大小关系正确的是 ( )
A. B.
C. D.
5．若实数，满足不等式组则的最大值为（ ）
A． B．2 C．5 D．7
6．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
9．如图所示：在正方体中，设直线与平面所成角为，二面角的大小为，则为（ ）

A． B． C． D．
10．某班由50个编号为01，02，03，…50的学生组成，现在要选取8名学生参加合唱团，选取方法是从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字，则该样本中选出的第8名同学的编号为（ ）
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 30 35 20 96 23 84 26 34 91 64 50 25 83 92 12 06 76
57 23 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 49 54 43 54 82 74 47
A．20 B．25 C．26 D．34
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．给出下列四个命题：
①在中，若，则；
②已知点，则函数的图象上存在一点，使得；
③函数是周期函数，且周期与有关，与无关；
④设方程的解是，方程的解是，则.
其中真命题的序号是______.（把你认为是真命题的序号都填上）
12．竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式为.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中取的近似值为______.
13．已知向量，，若，则______；若，则______.
14．已知，，，则的最小值为__________．
15．已知数列满足，若，则数列的通项______.
16．在数列中，按此规律，是该数列的第 ______项
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求倾斜角为且分别满足下列条件的直线方程：
（1）经过点；
（2）在轴上的截距是-5.
18．已知集合，数列的首项，且当时，点，数列满足.
（1）试判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（2）若，求的值.
19．为了了解当下高二男生的身高状况,某地区对高二年级男生的身高(单位: )进行了抽样调查,得到的频率分布直方图如图所示.已知身高在之间的男生人数比身高在之间的人数少1人.

(1)若身高在以内的定义为身高正常,而该地区共有高二男生18000人,则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人?
(2)从所抽取的样本中身高在和的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响,则所选出的2人中至少有一人身高大于185的概率是多少?
20．如图，在平面四边形中，已知，，在上取点，使得，连接，若， 。

（1）求 的值；
（2）求的长。
21．的内角，，的对边分别为，，，为边上一点，为的角平分线，，．
（1）求的值：
（2）求面积的最大值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用等比数列的前项和公式列出方程组，能求出首项．
【详解】
等比数列的前项和为，，，
，
解得，．
故选：．
本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2、D
【解析】
由题意可得，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．
【详解】
由题意可得，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线，
即有，到线段的距离为，
，
扇形的面积为，
的面积为，
，
即有阴影区域的面积的最大值为．
故选．
本题考查扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．
3、C
【解析】
求出 ,判断当斜率不存在时是否满足题意，满足两数之外；不满足两数之间．
【详解】
，当斜率不存在时满足题意，即
本题主要考查斜率公式的应用，属于基础题.
4、C
【解析】
试题分析：因为，，，所以
。故选C。
考点：不等式的性质
点评：对于指数函数和对数函数，若，则函数都为增函数；若，则函数都为减函数。
5、C
【解析】
利用线性规划数形结合分析解答.
【详解】
由约束条件，作出可行域如图：

由得A(3,-2).
由，化为，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为5.
故选C.
本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
6、C
【解析】
利用正弦定理求出的值，由得出，可得出角的值，再利用三角形的内角和定理求出角的大小.
【详解】
由正弦定理得，则，
，则，所以，，由三角形的内角和定理得，
故选：C.
本题考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形内角和定理的应用，在解题时要注意正弦值所对的角有可能有两角，可以利用大边对大角定理或两角之和小于进行验证，另外就是要熟悉正弦定理解三角形所适用的基本情形，考查计算能力，属于中等题.
7、A
【解析】
先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.
【详解】
由题得正方体的对角线长为，
所以.
故选A
本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8、A
【解析】
将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.
【详解】
因为在三角形中，变形为
由内角和定理可得
化简可得：
所以
所以三角形为钝角三角形
故选A
本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.
9、A
【解析】
连结BC1，交B1C于O，连结A1O，则∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出结果．
【详解】
连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，
∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，
∵BO＝A1B，∴θ1＝30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，
∵BB1＝BC，且BB1⊥BC，∴θ2＝45°．
故选A．

本题考查线面角、二面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
10、D
【解析】
利用随机数表依次选出8名学生的二位数的编号，超出范围的、重复的要舍去.
【详解】
从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字，
选出来的8名学生的编号分别为：
17，37，（93舍去）23，（78舍去）30，35，20，（96舍去）（23舍去）（84舍去）26，1；
∴样本选出来的第8名同学的编号为1．
故选：D
本题考查了利用随机数表法求抽样编号的问题，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①③
【解析】
①利用三角形的内角和定理以及正弦函数的单调性进行判断；
②根据余弦函数的有界性可进行判断；
③利用周期函数的定义，结合余弦函数的周期性进行判断；
④根据互为反函数图象的对称性进行判断.
【详解】
①在中，若，则，则，由于正弦函数在区间上为增函数，所以，故命题①正确；
②已知点，则函数，所以该函数图象上不存在一点，使得，故命题②错误；
③函数的是周期函数，
当时，，该函数的周期为.
当时，，该函数的周期为.
所以，函数的周期与有关，与无关，命题③正确；
④设方程的解是，方程的解是，
由，可得，由，可得，
则可视为函数与直线交点的横坐标，
可视为函数与直线交点的横坐标，如下图所示：

联立，得，可得点，
由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，
则直线与函数和函数图象的两个交点关于点对称，
所以，命题④错误.
故答案为：①③.
本题考查三角函数的周期、正弦函数单调性的应用、互为反函数图象的对称性的应用以及余弦函数有界性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12、3
【解析】
首先求出圆锥体的体积，然后与近似公式对比，即可求出公式中取的近似值.
【详解】
由题知圆锥体的体积，
因为圆锥的底面周长为，
所以圆锥的底面面积，
所以圆锥体的体积，
根据题意与近似公式对比发现，
公式中取的近似值为.
故答案为：.
本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题.
13、6
【解析】
由向量平行与垂直的性质，列出式子计算即可.
【详解】
若，可得，解得；
若，则，解得.
故答案为：6；.
本题考查平面向量平行、垂直的性质，考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
14、8
【解析】
由题意可得：

则的最小值为.
当且仅当时等号成立.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
15、
【解析】
直接利用数列的递推关系式和叠加法求出结果．
【详解】
因为，所以当时，

. 时也成立.
所以数列的通项.
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
16、
【解析】
分别求出，，，结果构成等比数列，进而推断数列是首相为2，公比为2的等比数列，进而求得数列的通项公式，再由求得答案．
【详解】
，，，依此类推可得，
，
，即.
，解得.
故答案为：7.
本题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，求解的关键在于推断是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
(1)利用倾斜角与斜率的关系与点斜式求解即可.
(2)利用点斜式求解即可.
【详解】
解：（1）∵所求直线的倾斜角为,斜率,
又∵经过,故方程为
∴即方程为.
（2）∵所求直线在轴上的截距是-5,又有斜率,故方程为
∴所求方程为
本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系以及直线方程的点斜式运用.属于基础题.
18、（1）是；（2）.
【解析】
（1）依据题意，写出递推式，由等差数列得定义即可判断；（2）求出，
利用极限知识，求出，即可求得的值。
【详解】
（1）当时，点，所以 ，
即
由得，当时，，
将代入，

，故数列是以为公差的等差数列。
（2）因为，所以，，
由得，， ，故 ，
。
本题主要考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列极限的运算。
19、 (1)12600；(2) .
【解析】
（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率，于是可得答案；
（2）先计算出样本容量，再找出样本中身高在中的人数，从而利用古典概型公式得到答案.
【详解】
（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率为0.7，所以估计总体，即该地区所有高二年级男生中身高正常的频率为0.7，所以该地区高二男生中身高正常的大约有人.
（2）由所抽取样本中身高在的频率为，可知身高在的频率为，所以样本容量为，则样本中身高在中的有3人，记为，身高在中的有2人，记为，从这5人中再选2人，共有，，，，，，，，，10种不同的选法，而且每种选法都是互斥且等可能的，所以，所选2人中至少有一人身高大于185的概率.
本题主要考查频率分布直方图，古典概型的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力和分析能力，难度中等.
20、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）在中，直接由正弦定理求出；（2）在中，，，可求出，在中，直接由余弦定理可求得.
试题解析：（1）在中，据正弦定理，有.
∵，，，
∴.
（2）由平面几何知识，可知，在中，∵，，
∴.
∴.
在中，据余弦定理，有

∴

点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
21、（1）（2）3
【解析】
（1）由，，根据三角形面积公式可知，，再根据角平分线的定义可知，到，的距离相等，所以，即可求出；
（2）先根据（1）可得，，由平方关系得，再根据三角形的面积公式，可化简得，然后根据基本不等式即可求出面积的最大值．
【详解】
（1）如图所示：
因为，所以．
又因为为的角平分线，所以到，的距离相等，所以
所以．
（2）由（1）及余弦定理得：
所以，
又因为所以，
所以

又因为且，故
所以，
当且仅当即时取等号．
所以面积的最大值为．
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，以及利用基本不等式求最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．