广东省七校联合体2024-2025学年高一下数学期末考试试题含解析.doc

广东省七校联合体2024-2025学年高一下数学期末考试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将函数的图象上各点沿轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
2．已知某数列的前项和（为非零实数），则此数列为（ ）
A．等比数列 B．从第二项起成等比数列
C．当时为等比数列 D．从第二项起的等比数列或等差数列
3．设，是平面内一组基底，若，，，则以下不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，函数与坐标轴的三个交点P，Q，R满足，，M为QR的中点，，则A的值为（ ）

A． B． C． D．
6．如果且，那么的大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．
7．正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成的角是( )
A． B． C． D．
8．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个白球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是白球
9．直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
10．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若点关于直线的对称点在函数的图像上，则称点、直线及函数组成系统，已知函数的反函数图像过点，且第一象限内的点、直线及函数组成系统，则代数式的最小值为________.
12．已知数列的通项公式为，则该数列的前1025项的和___________.
13．公比为的无穷等比数列满足：，，则实数的取值范围为________.
14．在中角所对的边分别为，若则___________
15．如图，正方体中，的中点为，的中点为，为棱上一点，则异面直线与所成角的大小为__________．

16．已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，则的前9项和_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角；
（2）若，，求的周长.
18．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量关于投产持续时间（单位：小时）的关系均近似地满足函数.

（1）根据图象，求函数的解析式；
（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟小时投产，求的最小值.
19．已知的三个顶点分别为，，，求：
（1）边上的高所在直线的方程；
（2）的外接圆的方程．
20．已知三角形ABC的顶点为，，，M为AB的中点．
（1）求CM所在直线的方程；
（2）求的面积．
21．已知是等差数列的前项和，且，.
（1）求通项公式；
（2）若，求正整数的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
先求得图象变换后的解析式，再根据正弦函数对称中心，求出正确选项.
【详解】
向右平移的单位长度，得到，由解得，当时，对称中心为，故选A.
本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数对称中心的求法，属于基础题.
2、D
【解析】
设数列的前项和为，运用数列的递推式：当时，，当时，，结合等差数列和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求结论．
【详解】
设数列的前项和为，对任意的，（为非零实数）.
当时，；
当时，.
若，则，此时，该数列是从第二项起的等差数列；
若且，不满足，当时，，
此时，该数列是从第二项起的等比数列.
综上所述，此数列为从第二项起的等比数列或等差数列.
故选：D.
本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
3、D
【解析】
由已知及平面向量基本定理可得：，问题得解.
【详解】
因为，是平面内一组基底，且，
由平面向量基本定理可得：，
所以，所以D不正确
故选D
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，还考查了同角三角函数的基本关系，属于较易题．
4、A
【解析】
根据向量的数量积结合基本不等式即可．
【详解】
由题意得，因为，为正实数，则

当且仅当时取等．所以选择A
本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足一正二定三相等．属于中等题
5、D
【解析】
用周期表示出点坐标，从而又可得点坐标，再求出点坐标后利用求得，得．
【详解】
记函数的周期，则，因为，∴，是中点，则，
∴，解得，∴，
由得，∵，∴，，
，∴，
故选：D.
本题考查求三角函数的解析式，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．
6、B
【解析】
取 ，故选B.
7、D
【解析】
首先根据得到异面直线与所成的角就是直线与所成角，再根据即可求出答案.
【详解】

由图知：取的中点，连接.
因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成角.
因为，
所以，.
因为，
所以，.
所以异面直线与所成的角为.
故选：D
本题主要考查异面直线所成角，平移找角为解题的关键，属于简单题.
8、C
【解析】
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
【详解】
对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确
对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
∴这两个事件是对立事件，∴D不正确
故选C．
本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题
9、A
【解析】
根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于直线与直线垂直，所以，解得.
故选：A
本小题主要考查两条直线垂直的条件，属于基础题.
10、A
【解析】
先利用韦达定理得到关于a,b的方程组，解方程组即得a,b的值，即得解.
【详解】
由题得，
所以a+b=7.
故选：A
本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据函数的反函数图像过点可求出,由、直线及函数组成系统可知在的图象上，且， 代入化简为，换元则，利用单调性求解.
【详解】
因为函数的反函数图像过点，
所以，即，
由、直线及函数组成系统知在上，
所以，
代入化简得
，
令由知 ，故
则在上单调递减，
所以当即时，，故填.
本题主要考查了对称问题，反函数概念，根据条件求最值，函数的单调性，换元法，综合性大，难度大，属于难题.
12、2039
【解析】
根据所给分段函数,依次列举出当时的值,即可求得的值.
【详解】
当时,,
当时, ,,共1个2.
当时, ,,共3个2.
当时, ,,共7个2.
当时, ,,共15个2.
当时, ,,共31个2.
当时, ,,共63个2.
当时, ,,共127个2.
当时, ,,共255个2.
当时, ,,共511个2.
当时, ,,共1个2.
所以由以上可知

故答案为:2039
本题考查了分段函数的应用,由所给式子列举出各个项,即可求和,属于中档题.
13、
【解析】
依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式，列出方程，即可求出的表达式，再利用求值域的方法求出其范围。
【详解】
由题意有，即，因为，
所以。
本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用以及基本函数求值域的方法。
14、
【解析】
,；由正弦定理，得，解得.
考点：正弦定理.
15、
【解析】
根据题意得到直线MP运动起来构成平面，可得到面，进而得到结果.
【详解】
取的中点O连接，，

根据题意可得到直线MP是一条动直线，当点P变动时直线就构成了平面，
因为MO均为线段的中点，故得到，四边形 为平行四边形， 面，故得到，又 面，
进而得到 .故夹角为.
故答案为.
这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.
16、117
【解析】
由成等比数列求出公差，由前项公式求和．
【详解】
设数列是公差为，则，
由成等比数列得，解得，
∴．
故答案为：117.
本题考查等差数列的前项和公式，考查等比数列的性质．解题关键是求出数列的公差．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）直接利用余弦定理得到答案.
（2）根据面积公式得到，利用余弦定理得到，计算得到答案.
【详解】
解：（1）由得.
∴.
又∵，∴.
（2）∵，
∴，则.
把代入得即.
∴，则.
∴的周长为.
本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.
18、（1）；（2）4
【解析】
（1）由，得，由，得A，b，代入，求得，从而即可得到本题答案；
（2）由题，得恒成立，等价于恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案.
【详解】
（1）解：由图知，
又，可得
，代入，得，
又，
所求为
（2）设乙投产持续时间为小时，则甲的投产持续时间为小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间变化的关系式为：
同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：

两企业用电负荷量之和
，
依题意，有恒成立
即恒成立
展开有恒成立

其中，，，

整理得：
解得
即
取得：
的最小值为4.
本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.
19、（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0
【解析】
（1）根据高与底边所在直线垂直确定斜率，再由其经过点，从而由点斜式得到高所在直线方程，再写成一般式.
（2）设出的外接圆的一般方程，将三个顶点坐标代入得到关于的方程组，从而求出外接圆的方程.
【详解】
（1）直线AB的斜率为，AB边上的高所在直线的斜率为-2，则AB边上的高所在直线的方程为y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0由，解之可得故△ABC的外接圆的方程为x2+y2+2x+2y-8=0
主要考查了直线方程与圆的方程的求解，属于基础题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）先求出点M的坐标，再写出直线的两点式方程化简即得解；（2）求出和点A到直线CM的距离即得解.
【详解】
（1）AB中点M的坐标是，
所以中线CM所在直线的方程是，即．
（2），
因为直线CM的方程是，
所以点A到直线CM的距离是，
又，
所以．
本题主要考查直线方程的求法，考查两点间的距离的计算和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21、（1）（2）41
【解析】
（1）根据通项公式先求出公差，再求即可；
（2）先表示出，求出的具体值，根据求即可
【详解】
（1）由，，可得，
则
（2），，则，解得
本题考查等差数列通项公式和前项和公式的用法，属于基础题