江苏省姜堰区实验初中2025届高一数学第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

江苏省姜堰区实验初中2025届高一数学第二学期期末监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若直线与平行，则实数的值为（ ）
A．或 B． C． D．
2．已知数列的前项和为，令，记数列的前项为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列不等式中不正确的是（）.
A． B． C． D．
4．若直线y＝﹣x+1的倾斜角为，则
A． B．1 C． D．
5．已知，两条不同直线与的交点在直线上，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
6．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
7．若集合，集合，则
A． B． C． D．
8．设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是
A．
B．
C．
D．
9．设的内角所对边分别为．则该三角形（ ）
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定
10．在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设数列的通项公式，则数列的前20项和为____________．
12．把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.
13．设无穷等比数列的公比为，若，则__________________．
14．设不等式组所表示的平面区域为D.若直线与D有公共点，则实数a的取值范围是_____________.
15．已知直线与相互垂直，且垂足为，则的值为______.
16．等差数列，，存在正整数，使得，，若集合有4个不同元素，则的可能取值有______个.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程
（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM面积的最大值．
18．已知数列的前项和，满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；
19．已知所在平面内一点，满足：的中点为，的中点为，的中点为.设，，如图，试用，表示向量.

20．设公差不为0的等差数列中，，且构成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和满足：，求数列的前项和．
21．已知余切函数.
（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）
（2）求证：余切函数在区间上单调递减.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用直线与直线平行的性质求解．
【详解】
∵直线与平行，

解得a＝2或a＝﹣2．
∵当a＝﹣2时，两直线重合，
∴a＝2．
故选B．
本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理运用．
2、B
【解析】
由数列的前项和求通项，再由数列的周期性及等比数列的前项和求解．
【详解】
因为，
当时，得；
当，且 时，，不满足上式，
∴，所以，
当时，；
当是偶数时，为整数，则，所以；
故对于任意正整数，均有：

因为，
所以

．
因为为偶数，所以，
而，
所以.
故选：B．
本题考查数列的函数概念与表示、余弦函数的性质、正弦函数的诱导公式以及数列求和，解题的关键是当时，，和的推导，本题属于难题．
3、D
【解析】
先判断出的大小关系，然后根据不等式的性质以及基本不等式逐项判断.
【详解】
由，得，，，故D不正确，C正确；，，，故A正确；，，，取等号时，故B正确，故选D.
本题考查利用不等式性质以及基本不等式判断不等式是否成立，难度一般.注意使用基本不等式计算最值时，取等号的条件一定要记得添加.
4、D
【解析】
由题意利用直线的方程先求出它的斜率，可得它的倾斜角α，再利用特殊角的余弦值求得cosα．
【详解】
∵直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1，故它的倾斜角为α＝135°，
则cosα＝cos135°＝﹣cos45°，
故选：D．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，特殊角的余弦值，属于基础题．
5、C
【解析】
联立方程求交点，根据交点在在直线上，得到三角关系式，化简得到答案.
【详解】

交点在直线上

观察分母
和不是恒相等
故
故答案选C
本题考查了直线方程，三角函数运算，意在考查学生的计算能力.
6、A
【解析】
根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可.
【详解】
根据函数平移变换,由变换为,
只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.
7、B
【解析】
先化简集合A,B,再求A∩B.
【详解】
由题得，，
所以.
故选：B
本题主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题,
8、B
【解析】
根据对数运算的规律一一进行运算可得答案.
【详解】
解：由a, b,c≠1. 考察对数2个公式: ，,
对选项A: ,显然与第二个公式不符，所以为假.
对选项B: ,显然与第二个公式一致，所以为真.
对选项C: ,显然与第一个公式不符，所以为假.
对选项D: ,同样与第一个公式不符，所以为假.
所以选B.
本题主要考查对数运算的性质，熟练掌握对数运算的各公式是解题的关键.
9、C
【解析】
利用正弦定理以及大边对大角定理求出角，从而判断出该三角形解的个数．
【详解】
由正弦定理得，所以，，，，
或，因此，该三角形有两解，故选C.
本题考查三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在中，给定、、，该三角形解的个数判断如下：
（1）为直角或钝角，，一解；，无解；
（2）为锐角，或，一解；，两解；，无解.
10、A
【解析】
由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.

点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
对去绝对值，得，再求得的前项和，代入=20即可求解
【详解】
由题的前n项和为
的前20项和，代入可得.
故答案为：260
本题考查等差数列的前项和，去绝对值是关键，考查计算能力，是基础题
12、
【解析】
根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.
【详解】
由题意可得平移后的函数表达式为，
图象正好关于原点对称，
即，
又 ，的最小值为.
故答案为：.
本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.
13、
【解析】
由可知,算出用表示的极限,再利用性质计算得出即可.
【详解】
显然公比不为1,所以公比为的等比数列求和公式,
且,故.此时当时,求和极限为,所以,故,
所以,故,又,故.
故答案为：.
本题主要考查等比数列求和公式,当时.
14、
【解析】
画出不等式组所表示的平面区域，直线过定点，根据图像确定直线斜率的取值范围.
【详解】
画出不等式组所表示的平面区域如下图所示，直线过定点，由图可知，而，所以.
故填：.

本小题主要考查不等式表示区域的画法，考查直线过定点问题，考查直线斜率的取值范围的求法，属于基础题.
15、
【解析】
先由两直线垂直，可求出的值，将垂足点代入直线的方程可求出的点，再将垂足点代入直线的方程可求出的值，由此可计算出的值.
【详解】
，，解得，
直线的方程为，即，
由于点在直线上，，解得，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
因此，.
故答案为：.
本题考查了由两直线垂直求参数，以及由两直线的公共点求参数，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
16、4
【解析】
由题意得为周期数列，集合有4个不同元素，得，在分别对取值讨论即可.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，则，，
由题意，存在正整数，使得，又集合有4个不同元素，得，
当时，，即，
，或（舍），
，取，则，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，即集合可取4个不同元素；
当，，即，
，在单位圆上的5个等分点不可能取到4个不同的正弦值，故舍去；
同理可得：当，，，集合可取4个不同元素；
当时，，单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符合集合的元素互异性，故不可取应舍去.
故答案：4.
本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，理解分析问题能力，属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）2
【解析】
（1）设点，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程；
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，求得到直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求．
【详解】
（1）设点，,即，
，即，
曲线的方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，
由（1）可知，点是圆的圆心，
点到直线的距离为，由得，即，
又，
所以，
令，所以，，
则，
所以，
当，即，此时，符合题意，
即时取等号，所以面积的最大值为.
本题主要考查了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的距离公式的运用，考查推理与运算能力，试题综合性强，属于中档题．
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）已知求，利用即可求出；（2）根据数列
通项公式特征，采取分组求和法和错位相减法求出
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，所以；
当时， ，
即，，因为，所以，
，即，当时，也符合公式．
综上，数列的通项公式为．
（2）因为，所以

（ ）
由得，
两式作差得， ，
即 ，故．
本题主要考查求数列通项的方法——公式法和构造法的应用， 以及数列的求和方法——分组求和法和错位相减法的应用．
19、
【解析】
由为的中点，则可得,为的中点,则可得,从中可以求出向量,得到答案.
【详解】
由为的中点，则可得
.
又为的中点，

所以

本题考查向量的基本定理和向量的加减法的法则，属于中档题.
20、（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根据条件列方程解得公差，再根据等差数列通项公式得结果，（Ⅱ）先根据和项求通项，再根据错位相减法求和.
【详解】
（Ⅰ）因为构成等比数列，所以
（0舍去）
所以
（Ⅱ）当时，
当时，
，

相减得
所以

即
本题考查等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.
21、（1）奇函数；周期为，单调递减速区间： （2）证明见解析
【解析】
（1）直接利用函数的性质写出结果．
（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．
【详解】
（1）奇函数；周期为，单调递减区间：
（2）任取，，，有

因为，所以，
于是，，
从而，.
因此余切函数在区间上单调递减.
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．