2025届湖北省华师一附中数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025届湖北省华师一附中数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的最小正周期是　　
A． B． C． D．
2．若存在正实数，使得，则（ ）
A．实数的最大值为 B．实数的最小值为
C．实数的最大值为 D．实数的最小值为
3．圆，那么与圆有相同的圆心，且经过点的圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数(首项)按照上述规则施行变换后的第6项为1（注：1可以多次出现)，则的所有不同值的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．32
5．在△ABC中，D是边BC的中点，则＝
A． B． C． D．
6．已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是圆的直径，点是半圆弧的两个三等分点，，，则（ ）

A． B． C． D．
8．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ）
A． B． C． D．
9．在中，如果，，，则此三角形有（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．无穷多解
10．在三棱柱中，已知,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知两个数k＋9和6－k的等比中项是2k，则k＝________．
12．函数的反函数为__________.
13．在公差为的等差数列中，有性质：，根据上述性质，相应地在公比为等比数列中，有性质：____________.
14．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则________.
15．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
16．长时间的低头,对人的身体如颈椎、眼睛等会造成定的损害，为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的人中采用分层抽样的方法抽取人进行调查，已知这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里青年人人数为_____

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量（），向量，，
且.
（Ⅰ）求向量；
（Ⅱ）若，，求.
18．已知是等差数列，为其前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
19．已知函数.
（1）求的单调增区间；
（2）当时，求的最大值、最小值.
20．已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）若，且，求的值.
21．已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产该款手机万部且并全部销售完，每万部的收入为万元，且．
写出年利润万元关于年产量（万部）的函数关系式；
当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
的最小正周期为，求解得到结果.
【详解】
由解析式可知，最小正周期
本题正确选项：
本题考查的性质，属于基础题.
2、C
【解析】
将题目所给方程转化为关于的一元二次方程，根据此方程在上有解列不等式组，解不等式组求得的取值范围，进而求出正确选项.
【详解】
由得，当时，方程为不和题意，故这是关于的一元二次方程，依题意可知，该方程在上有解，注意到，所以由解得，故实数的最大值为，所以选C.
本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
3、B
【解析】
圆的标准方程为，圆心，故排除、，
代入点，只有项经过此点，也可以设出要求的圆的方程：，再代入点，可以求得圆的半径为 ．
故选．
点睛：这个题目主要考查圆的标准方程，因为这是一道选择题，故根据与条件中的圆的方程可以得到圆心坐标，进而可以排除几个选项，如果正规方法，就可以按照已知圆心，写出标准方程，代入已知点求出标准方程即可．
4、A
【解析】
由题意：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，我们可以从第六项为1出发，逐项求出各项的取值，可得的所有不同值的个数.
【详解】
解：由题意：如果对正整数(首项)按照上述规则施行变换后的第6项为1，
则变换中的第5项一定是2，
变换中的第4项一定是4，
变换中的第3项可能是1，也可能是8，
变换中的第2项可能是2，也可能是16，
则的可能是4，也可能是5，也可能是32，
故的所有可能的取值为，
故选：A.
本题主要考查数列的应用及简单的逻辑推理，属于中档题.
5、C
【解析】
分析：利用平面向量的减法法则及共线向量的性质求解即可.
详解：因为是的中点，所以，
所以，故选C.
点睛：本题主要考查共线向量的性质，平面向量的减法法则，属于简单题.
6、D
【解析】
根据甲、乙的到达时间，作出可行域，然后考虑甲、乙能同乘一辆公交车对应的区域面积，根据几何概型的概率求解方法即可求解出对应概率.
【详解】
设甲到起点站的时间为：时分，乙到起点站的时间为时分，
所以，
记事件为甲乙搭乘同一辆公交车，
所以，
作出可行域以及目标区域如图所示：

由几何概型的概率计算可知：.
故选：D.
本题考查利用线性规划的可行域解决几何概型中的面积模型问题，对于分析和转化的能力要求较高，注意几何概型中面积模型的概率计算方法，难度较难.
7、A
【解析】
连接，证得，结合向量减法运算，求得.
【详解】
连接，由于是半圆弧的两个三等分点，所以，所以是等边三角形，所以，所以四边形是菱形，所以，所以.
故选：A

本小题主要考查圆的几何性质，考查向量相等的概念，考查向量减法的运算，属于基础题.
8、A
【解析】
设甲到达时刻为，乙到达时刻为，依题意列不等式组为，画出可行域如下图阴影部分，故概率为.

9、C
【解析】
计算出的值，然后比较、、三者的大小关系，可得出此三角形解的个数.
【详解】
由题意得，则，因此，该三角形有两解，故选C.
本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形解的个数的判断条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10、A
【解析】
试题分析：直三棱柱的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以中，，所以下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以平面，再取的中点，可得点到的距离相等，
所以点是三棱柱的为接球的球心，因为直角中，，所以，即外接球的半径，因此三棱柱外接球的体积为，故选A.

考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】
由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.
12、
【解析】
由得，即，把与互换即可得出
【详解】
由得
所以
把与互换，可得
故答案为：
本题考查的是反函数的求法，较简单.
13、
【解析】
根据题中条件，类比等差数列的性质，可直接得出结果.
【详解】
因为在公差为的等差数列中，有性质：，
类比等差数列的性质，可得：
在公比为等比数列中，
故答案为：
本题主要考查类比推理，只需根据题中条件，结合等差数列与等比数列的特征，即可得出结果，属于常考题型.
14、
【解析】
讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，分别计算得到答案.
【详解】
抛物线的焦点F为，
当斜率不存在时，易知，故；
当斜率存在时，设，故，即，
故，.
综上所述：.
故答案为：.
本题考查了抛物线中线段长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
15、
【解析】
以A,B,C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求,

∴P==.
16、
【解析】
根据饼状图得到青年人的分配比例；利用总数乘以比例即可得到青年人的人数.
【详解】
由饼状图可知青年人的分配比例为：
这个群体里青年人的人数为：人
本题正确结果：
本题考查分层抽样知识的应用，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）∵,，
∵，∴，即，①
又，②
由①②联立方程解得，，．
∴；
（Ⅱ）∵，即，，
∴，，
又∵，
，
∴
.
18、（1）
（2）
【解析】
（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式,利用已知条件求出首项和公差,由此能求出an=2n+3
（2）由得,由此能求出数列的前项和.
【详解】
解：（1）是等差数列,为其前项和
解得：.

（2）,
,
,又.
是以3为首项2为公比的等比数列.

本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前项和的求法解题时要认真审题注意等差数列和等比数列的性质的灵活运用.
19、（1）， （2）
【解析】
（1）首先利用三角函数恒等变换将化简为，再求其单调增区间即可.
（2）根据，求出，再求的最值即可.
【详解】
（1）

，.
的单调增区间为.
（2）因为，所以.
所以.
当时，，
当时，.
本题主要考查三角函数恒等变换的应用，同时考查三角函数的单调区间和最值，熟练掌握三角函数的公式为解题的关键，属于中档题.
20、（1）最小正周期为，单调递减区间为（2）.
【解析】
（1）利用二倍角降幂公式和辅助角公式将函数的解析式化为，利用周期公式可得出函数的最小正周期，然后解不等式可得出函数的单调递减区间；
（2）由可得出角的值，再利用两角和的正切公式可计算出的值.
【详解】
（1）．
函数的最小正周期为，
令，解得.
所以，函数的单调递减区间为；
（2），即，，.
，故，因此.
本题考查三角函数基本性质，考查两角和的正切公式求值，解题时要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，利用正弦、余弦函数的性质求解，考查运算求解能力，属于中等题.
21、（1）， ;（2）当时，y取得最大值57600万元．
【解析】
根据题意，即可求解利润关于产量的关系式为，化简即可求出；
由（1）的关系式，利用基本不等式求得最大值，即可求解最大利润．
【详解】
（1）由题意，可得利润关于年产量的函数关系式为

，.
由可得
，
当且仅当，即时取等号，所以当时，y取得最大值57600万元．
本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用基本不等式求最值，其中解答中认真审题，得出利润关于年产量的函数关系式，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．