2025年陕西省渭南区解放路中学数学高一第二学期期末质量检测试题含解析.doc

2025年陕西省渭南区解放路中学数学高一第二学期期末质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列结论中错误的是（ ）
A．若，则 B．函数的最小值为2
C．函数的最小值为2 D．若，则函数
2．已知等差数列中，若，则取最小值时的（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．已知向量，，若向量与的夹角为，则实数（　　）
A． B． C． D．
4．已知是所在平面内一点，且满足，则为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒

A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．若不等式对实数恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．或 B．
C． D．
8．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设 是锐角的一边上的两定点，点是边边上的一动点，则当且仅当的外接圆与边相切时，最大．若，点在轴上，则当最大时，点的坐标为（ ）

A． B．
C． D．
9．设，若3是与的等比中项，则的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
10．在四边形中，，且·＝0，则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若a、b、c正数依次成等差数列，则的最小值为_______.
12．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1~200编号，分为40组，分别为1~5，6~10，…，196~200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．

13．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积为______；
14．已知数列的前4项依次为，，，，试写出数列的一个通项公式______.
15．已知球的表面积为4，则该球的体积为________．
16．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，
（1）求的解析式，并求出的最大值；
（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值时的值.
18．已知函数，为实数．
（1）若对任意，都有成立，求实数的值；
（2）若，求函数的最小值．
19．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
20．在中，分别是角的对边，且．
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
21．如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，平面．

（）求证：平面；
（）若，，，求三棱锥的体积；
（）设平面平面直线，试判断与的位置关系，并证明．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据均值不等式成立的条件逐项分析即可.
【详解】
对于A，由知，，所以，故选项A本身正确；对于B，，但由于在时不可能成立，所以不等式中的“”实际上取不到，故选项B本身错误；对于C，因为，当且仅当，即时，等号成立，故选项C本身正确；对于D，由知，，所以lnx+=-2，故选项D本身正确. 故选B.
本题主要考查了均值不等式及不等式取等号的条件，属于中档题.
2、C
【解析】
是等差数列，先根据已知求出首项和公差，再表示出，由的最小值确定n。
【详解】
由题得，，解得，那么，当n=7时，取到最小值-49.
故选：C
本题考查等差数列前n项和，是基础题。
3、B
【解析】
根据坐标运算可求得与，从而得到与；利用向量夹角计算公式可构造方程求得结果.
【详解】
由题意得：，
，
，解得：
本题正确选项：
本题考查利用向量数量积、模长和夹角求解参数值的问题，关键是能够通过坐标运算表示出向量和模长，进而利用向量夹角公式构造方程.
4、B
【解析】
由向量的减法法则，将题中等式化简得，进而得到，由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，得的形状是直角三角形。
【详解】

因为，，
因为，所以，
因为，所以，
由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，所以，得的形状是直角三角形。
本题给出向量等式，判断三角形的形状，着重考查平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识。
5、C
【解析】
根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC选项，由面面垂直的判定可判断D.
【详解】
对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，
又由圆的性质可知，且，
则平面PAC.所以A正确；
对于B，由A可知，由题意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正确；
对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C错误.
对于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确；
综上可知，C为错误选项.
故选：C.
本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.
6、D
【解析】
根据函数的性质以及特殊位置即可利用排除法选出正确答案．
【详解】
因为函数定义域为，关于原点对称，而，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，C；又因为，故排除B．
故选：D．
本题主要考查函数图象的识别，涉及余弦函数性质的应用，属于基础题．
7、C
【解析】
对m分m≠0和m=0两种情况讨论分析得解.
【详解】
由题得时，x＜0，与已知不符，所以m≠0.
当m≠0时，，
所以.
综合得m的取值范围为.
故选C
本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8、A
【解析】
设点的坐标为，求出线段的中垂线与线段的中垂线交点的横坐标，即可得到的外接圆圆心的横坐标，由的外接圆与边相切于点，可知的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等，即可得到点的坐标．
【详解】
由于点是边边上的一动点，且点在轴上，故设点的坐标为；
由于，则直线的方程为：，点为直线与轴的交点，故点的坐标为；由于为锐角，点是边边上的一动点，故；
所以线段的中垂线方程为： ；线段的中垂线方程为： ；
故的外接圆的圆心为直线与直线的交点，联立 ，解得： ；即的外接圆圆心的横坐标为
的外接圆与边相切于点，边在轴上，则的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等，即，解得：或（舍）
所以点的坐标为；
故答案选A
本题考查直线方程、三角形外接圆圆心的求解，属于中档题
9、C
【解析】
由3是与的等比中项，可得，再利用不等式知识可得的最小值.
【详解】
解：3是与的等比中项，，
，
=，
故选C.
本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力.
10、A
【解析】
由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．
【详解】
∵，
∴与平行且相等，
∴四边形为平行四边形．
又，
∴，
即平行四边形的对角线互相垂直，
∴平行四边形为菱形．
故选A．
本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
由正数a、b、c依次成等差数列，则，则，再结合基本不等式求最值即可.
【详解】
解：由正数a、b、c依次成等差数列，
则，
则，当且仅当，即时取等号，
故答案为：1.
本题考查了等差中项的运算，重点考查了基本不等式的应用，属基础题.
12、37 1
【解析】
由系统抽样，编号是等距出现的规律可得，分层抽样是按比例抽取人数．
【详解】
第8组编号是22+5+5+5＝37，
分层抽样，40岁以下抽取的人数为50%×40＝1（人）．
故答案为：37；1．
本题考查系统抽样和分层抽样，属于基础题．
13、
【解析】
先根据以及余弦定理计算出的值，再由面积公式即可求解出的面积.
【详解】
因为，所以，所以，
所以.
故答案为：.
本题考查解三角形中利用余弦定理求角以及面积公式的运用，难度较易.
三角形中，已知两边的乘积和第三边所对的角即可利用面积公式求解出三角形面积.
14、
【解析】
首先写出分子的通项公式，再写出分母的通项公式，合并即可.
【详解】
，，，，的通项公式为，
，，，，的通项公式为，
正负交替的通项公式为，
所以数列的通项公式.
故答案为：
本题主要考查根据数列中的项求出通项公式，找到数列中每一项的规律为解题的关键，属于简单题.
15、
【解析】
先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解.
【详解】
设球半径为，则，解得，所以
本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.
16、
【解析】
空间直角坐标系中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数.
【详解】
空间直角坐标系中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数.
点关于原点的对称点的坐标为
故答案为：
本题考查了空间直角坐标系关于原点对称，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），最大值为.（2）时，最小值0.时，最大值.
【解析】
（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简，再利用三角函数的有界性，即可得答案；
（2）利用整体法求出，再利用三角函数线，即可得答案.
【详解】
（1）
∴，
的最大值为.
（2）由（1）得，
∵，.
，
当时，即时，取最小值0.
当，即时，取最大值.
本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据二次函数的解析式写出对称轴即可；（2）根据对称轴是否在定义域内进行分类讨论，由二次函数的图象可分别得出函数的最小值．
【详解】
（1）对任意，都有成立，
则函数的对称轴为，即，
解得实数的值为．
（2）二次函数，开口向上，对称轴为
①若，即时，函数在上单调递增，
的最小值为；
②若，即时，函数在上单调递减，
的最小值为；
③若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，的最小值为；
综上可得:
本题考查二次函数的图象与性质，应用了分类讨论的思想，属于中档题．
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）解方程组即得，即得数列的通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列的前项和．
【详解】
（Ⅰ）由题意： ,
化简得，因为数列的公差不为零，，
故数列的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
故数列的前项和．
本题主要考查等差数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、（1）
（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）由

又所以.
（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得，所以
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
.
21、（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析.
【解析】
（1）根据题意得到，，面从而得到线线垂直；（2）由图形特点得到面，代入数据可得到体积值；（3）证明平面，利用平面平面，可得．.
【详解】
（）证明：∵面，
面，
∴，
又∵，
面，
面，，
∴面，
（）∵底面为平行四边形，
面，
∴面，
∴．
（）．
证明：∵底面为平行四边形，
∴，
∵面，面，
∴面，
又∵面面，
面，
∴．