云南省玉溪市峨山彝族自治县第一中学2025届高一下数学期末监测模拟试题含解析.doc

云南省玉溪市峨山彝族自治县第一中学2025届高一下数学期末监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，满足且，若向量在向量方向上的投影为，则（ ）
A． B． C． D．
2．设满足约束条件则的最大值为（ ）.
A．10 B．8 C．3 D．2
3．数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为
A． B． C． D．
4．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）
A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶
5．设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若点共线,则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知变量和满足关系，变量与正相关． 下列结论中正确的是（ ）
A．与负相关，与负相关
B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关
D．与负相关，与正相关
8．已知,当取得最小值时（ ）
A． B． C． D．
9．对变量有观测数据，得散点图(1)；对变量有观测数据（，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )

A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关
10．已知的三个内角之比为，那么对应的三边之比等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在数列中，若，（），则________
12．已知数列中，，当时，，数列的前项和为_____．
13．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.
14．已知直线l过定点,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为______.
15．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．
16．已知数列，其前项和为，若，则在，，…，中，满足的的个数为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，与的夹角是
（1）计算：①，②；
（2）当为何值时，与垂直？
18．设二次函数.
（1）若对任意实数，恒成立，求实数x的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.
19．已知等比数列的前项和为，且成等差数列，
（1）求数列的公比；
（2）若，求数列的通项公式.
20．已知向量，，函数.
（1）若且，求；
（2）求函数的最小正周期T及单调递增区间.
21．在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
由，即，
所以，
由向量在向量方向上的投影为，则，
即，所以，故选A．
2、B
【解析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.
【详解】
作出可行域如图：

化目标函数为，
联立，解得.
由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，有最大值.
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
3、C
【解析】
数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．
【详解】
数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n1+n．
∴a＜1．
故选C．
本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4、D
【解析】
解：因为在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，那么分为的两个锥体的体积比为1：，因此锥体被截面所分成的两部分的体积之比为．1∶
5、B
【解析】
先求出长方体的对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积得解.
【详解】
由题得长方体外接球的直径.
故选：B
本题主要考查长方体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
6、A
【解析】
通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.
【详解】
由题意，可知，又，点共线，则，即，所以，故选A.
本题主要考查三点共线的条件，难度较小.
7、A
【解析】
因为变量和满足关系，一次项系数为，所以与负相关；变量与正相关，设，所以，得到 ，一次项系数小于零，所以与负相关，故选A.
8、D
【解析】
可用导函数解决最小值问题，即可得到答案.
【详解】
根据题意，令，则，而当时，，当时，，则在处取得极小值，故选D.
本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等.
9、C
【解析】
根据增大时的变化趋势可确定结果.
【详解】
图（1）中，随着的增大，的变化趋势是逐渐在减小，因此变量与负相关；
图（2）中，随着的增大，的变化趋势是逐渐在增大，因此变量与正相关.
故选：
本题考查根据散点图判断相关关系的问题，属于基础题.
10、D
【解析】
∵已知△ABC的三个内角之比为,∴有,再由,可得，
故三内角分别为.
再由正弦定理可得三边之比，
故答案为
点睛：本题考查正弦定理的应用，结合三角形内角和等于，很容易得出三个角的大小，利用正弦定理即出结果

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意，得到数列表示首项为1，公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】
由题意，数列中，满足，（），即（），
所以数列表示首项为1，公差为2的等差数列，
所以.
故答案为：
本题主要考查了等差数列的定义和通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，合理利用数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、．
【解析】
首先利用数列的关系式的变换求出数列为等差数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．
【详解】
解：数列中，，当时，，
整理得，
即，
∴数列是以为首项，6为公差的等差数列，
故，
所以，
故答案为：．
本题主要考查定义法判断等差数列，考查等差数列的前项和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
13、.
【解析】
设时针转过的角的弧度数为，可知分针转过的角为，于此得出，由此可计算出的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值的值.
【详解】
设时针转过的角的弧度数的绝对值为，
由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，
由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，
故答案为.
本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
14、或.
【解析】
设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程
【详解】
设直线的方程为.
因为点在直线上，
所以①.
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,
所以②.
由①②可知或
解得或
故直线的方程为或，
即或.
本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题
15、
【解析】
根据侧面积求出正四棱锥的棱长，画出组合体的截面图，根据三角形的相似求得四棱锥内切球的半径，于是可得内切球的表面积．
【详解】
设正四棱锥的棱长为，则，
解得．
于是该正四棱锥内切球的大圆是如图△PMN的内切圆，

其中，．
∴．
设内切圆的半径为，
由∽，得，即，
解得，
∴内切球的表面积为．
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球 的直径．
16、1
【解析】
运用周期公式，求得，运用诱导公式及三角恒等变换，化简可得，即可得到满足条件的的值．
【详解】
解：，
可得周期，

，
则满足的的个数为
．
故答案为：1．
本题考查三角函数的周期性及应用，考查三角函数的化简和求值，以及运算能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）①；②；（2）.
【解析】
利用数量积的定义求解出的值；（1）将所求模长平方，从而得到关于模长和数量积的式子，代入求得模长的平方，再开平方得到结果；（2）向量互相垂直得到数量积等于零，由此建立方程，解方程求得结果.
【详解】
由已知得：
（1）①
②
（2）若与垂直，则

即：，解得：
本题考查利用数量积求解向量的模长、利用数量积与向量垂直的关系求解参数的问题.求解向量的模长关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和数量积运算的形式，从而使问题得以求解.
18、（1）（2）
【解析】
（1）是关于m的一次函数，计算得到答案.
（2）易知，讨论和两种情况计算得到答案.
【详解】
（1）对任意实数，恒成立，
即对任意实数恒成立，
是关于m的一次函数， ，
解得或，所以实数x的取值范围是.
（2）存在，使得成立，即，显然.
（i）当时，要使成立，即需成立，
即需成立. ，
(当且仅当时等号成立) ，
，.
（ii）当时，要使成立，即需成立，
即需成立，，
（当且仅当时等号成立）
，.
综上得实数m的取值范围是.
本题考查了恒成立问题和存在性问题，意在考查学生的综合应用能力.
19、（1）（2）
【解析】
（1）由等差数列的中项性质，以及等比数列的求和公式，解方程可得；
（2）由等比数列的通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式．
【详解】
解：（1）等比数列的前项和为，且，，成等差数列，
可得，显然不成立，即有，
则，
化为，解得；
（2），即，
可得，
数列的通项公式为．
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
20、（1）
（2）最小正周期，的单调递增区间为：.
【解析】
（1）计算平面向量的数量积得出函数的解析式，求出时的值；
（2）根据的解析式，求出它的最小正周期T及单调递增区间.
【详解】
函数

时，，解得
又；
（2）函数
它的最小正周期：
令

故：的单调递增区间为：
本题考查了正弦型函数的性质，考查了学生综合分析，转化与划归，数形结合的能力，属于中档题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；
（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.
【详解】
（1），所以，
所以，即
因为，所以，所以，即.
（2）因为，所以.
由余弦定理可得，
因为，所以，解得.
故的面积为.
本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.