2025届云南省昆明市官渡区高一下数学期末监测试题含解析.doc

2025届云南省昆明市官渡区高一下数学期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知扇形圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于（）
A． B． C． D．
2．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
3．若，均为锐角，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．某班由50个编号为01，02，03，…50的学生组成，现在要选取8名学生参加合唱团，选取方法是从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字，则该样本中选出的第8名同学的编号为（ ）
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 30 35 20 96 23 84 26 34 91 64 50 25 83 92 12 06 76
57 23 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 49 54 43 54 82 74 47
A．20 B．25 C．26 D．34
5．已知两个非零向量,满足,则( )
A． B．
C． D．
6．如果存在实数，使成立，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
7．若满足约束条件，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．3
8．已知数列，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则=
A． B． C． D．
9．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
10．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为( )
A．（−3，4，5） B．（−3，−4，5）
C．（3，−4，−5） D．（−3，4，−5）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列的前4项依次为，，，，试写出数列的一个通项公式______.
12．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
13．已知：，则的取值范围是__________．
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
15．已知数列、都是公差为1的等差数列，且，，设，则数列的前项和________
16．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若的最大值为，则实数__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程
（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM面积的最大值．
18．已知向量，，其中为坐标原点.
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.
19．中，D是边BC上的点，满足，，.
（1）求；
（2）若，求BD的长.
20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求角C；
（2）若，，求的面积.
21．已知，，．
(1)求关于的表达式，并求的最小正周期；
(2)若当时，的最小值为，求的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据扇形面积公式得到半径，再计算扇形弧长.
【详解】

扇形弧长
故答案选C
本题考查了扇形的面积和弧长公式，解出扇形半径是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
2、B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
3、B
【解析】
先利用两角和的余弦公式求出，通过条件可求得，进而可得.
【详解】
解：，
因为，则，
故，
故选：B.
本题考查两角和的正切公式，注意角的范围的确定，是基础题.
4、D
【解析】
利用随机数表依次选出8名学生的二位数的编号，超出范围的、重复的要舍去.
【详解】
从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字，
选出来的8名学生的编号分别为：
17，37，（93舍去）23，（78舍去）30，35，20，（96舍去）（23舍去）（84舍去）26，1；
∴样本选出来的第8名同学的编号为1．
故选：D
本题考查了利用随机数表法求抽样编号的问题，属于基础题．
5、C
【解析】
根据向量的模的计算公式，由逐步转化为，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，即，，则，
所以.
故选：C.
本题主要考查平面向量垂直的等价条件以及向量的模，化简变形是关键，考查计算能力，属于基础题.
6、A
【解析】
根据，可得，再根据基本不等式取等的条件可得答案.
【详解】
因为，
所以，
即，即，
又（当且仅当时等号成立）
所以，所以.
故选：A
本题考查了余弦函数的值域，考查了基本不等式取等的条件，属于中档题.
7、A
【解析】
可行域为一个三角形及其内部,其中，所以直线过点时取最小值，选B.
8、A
【解析】
分析：累加法求解。
详解：，，
解得
点睛：形如的模型，求通项公式，用累加法。
9、B
【解析】
此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样．
【详解】
依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法．
故选B．
本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查．
10、A
【解析】
由关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解.
【详解】
关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为（−3，4，5）．故选A．
本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先写出分子的通项公式，再写出分母的通项公式，合并即可.
【详解】
，，，，的通项公式为，
，，，，的通项公式为，
正负交替的通项公式为，
所以数列的通项公式.
故答案为：
本题主要考查根据数列中的项求出通项公式，找到数列中每一项的规律为解题的关键，属于简单题.
12、分层抽样.
【解析】
分析：由题可知满足分层抽样特点
详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样
故答案为分层抽样．
点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．
13、
【解析】
由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.
【详解】
由已知得，
所以，
又因为 ，所以，
解得，所以，
故填 .
本题考查三角函数的值域，属于基础题.
14、1．98.
【解析】
本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【详解】
由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为11+21+11=41，所以该站所有高铁平均正点率约为．
本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
15、
【解析】
根据等差数列的通项公式把转化到，再把转化，然后由已知和等差数列的前项和可求结果．
【详解】

．
故答案为：．
本题主要考查等差数列通项公式和前项和的应用，利用分组求和法是解决本题的关键．
16、1或；
【解析】
要使最大，则最小．
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为．
∵若的最大值为，
∴，解得或．
故答案为1或．
本题考查直线与圆的位置关系，解题思路是平面上对圆的张角问题，显然在点固定时，圆外的点作圆的两条切线，这两条切线间的夹角是最大角，而当点离圆越近时，这个又越大．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）2
【解析】
（1）设点，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程；
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，求得到直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求．
【详解】
（1）设点，,即，
，即，
曲线的方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，
由（1）可知，点是圆的圆心，
点到直线的距离为，由得，即，
又，
所以，
令，所以，，
则，
所以，
当，即，此时，符合题意，
即时取等号，所以面积的最大值为.
本题主要考查了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的距离公式的运用，考查推理与运算能力，试题综合性强，属于中档题．
18、（1）或；（2）或.
【解析】
（1）按向量数量积的定义先求夹角余弦，再求得夹角；
（2）不等式化为恒成立，令取1和－1代入解不等式组即可得．
【详解】
（1）由题意，，
记向量与的夹角为，又，
则，
当时，，，当时，，．
（2）
，
由得，
∵，∴，
∴，解得或．
本题考查向量模与夹角，考查不等式恒成立问题，不等式中把作为一个整体，它是关于的一次不等式，因此要使它恒成立，只要取1和－1时均成立即可．
19、（1）（2）
【解析】
（1）由中，D是边BC上的点，根据面积关系求得，再结合正弦定理，即可求解.
（2）由，化简得到，再结合，解得，进而利用勾股定理求得的长.
【详解】
（1）由题意，在中，D是边BC上的点，
可得，所以
又由正弦定理，可得.
（2）由，
可得，
所以，即，
由（1）知，解得，
又由，所以.
本题主要考查了三角形的正弦定理和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记解三角形的正弦定理，以及熟练应用三角的面积关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理进行边化角，然后得到的值，从而得到；
（2）根据余弦定理，得到关于的方程，从而得到，再根据面积公式，得到答案.
【详解】
（1）在中，根据正弦定理，
由，
可得，
所以，
因为为内角，所以，
所以
因为为内角，所以，
（2）在中，，，
由余弦定理得

解得，
所以.
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.
21、（1）,；（2）.
【解析】
（1）根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式得：，并求出最小正周期为；
（2）由，得到，从而，再根据的最小值为，求得.
【详解】
（1），
所以.
（2）当时，则，所以，
所以，解得：.
本题考查向量与三角函数的交会，求函数的最值时，要注意整体思想的运用，即先求出，再得到.