2024-2025学年江西省赣州市南康中学、平川中学、信丰中学高一数学第二学期期末联考试题含解析.doc

2024-2025学年江西省赣州市南康中学、平川中学、信丰中学高一数学第二学期期末联考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在等差数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l和平面，若直线l在空间中任意放置，则在平面内总有直线和
A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交
3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（ ）
A．“至少1名男生”与“全是女生”
B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
C．“至少1名男生”与“全是男生”
D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a4+a6＝12，则S7＝（　　）
A．20 B．28 C．36 D．4
5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（ ）

A． B． C． D．
6．为数列的前n项和,若,则的值为( )
A．-7 B．-4 C．-2 D．0
7．下图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：①日成交量的中位数是26；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月2日到10月6日认购量的分散程度比成交量的分散程度更大.则上述判断错误的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
8．若，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
9．等差数列的前项和为，若，且，则（　　）
A．10 B．7 C．12 D．3
10．某学校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为（ ）
A．193 B．192 C．191 D．190
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．

12．在中，角,,所对的边分别为，，，若的面积为，且,,成等差数列，则最小值为______．
13．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
14．已知数列的通项公式，那么使得其前项和大于7.999的的最小值为______.
15．在等差数列中，已知，，则________.
16．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数.
（1）当时，函数的图像经过点，试求的值，并写出（不必证明）的单调递减区间；
（2）设，，，若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
18．已知函数
（1）求的值；
（2）求的最大值和最小值.
19．已知分别是锐角三个内角的对边，且，且.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ)求面积的最大值；
20．已知数列的递推公式为．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式．
21．已知，
(1)求；
(2)求；
(3)求
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由等差数列的性质可得，则答案易求.
【详解】
在等差数列中，因为，所以.
所以.故选B.
本题考查等差数列性质的应用.在等差数列中，若，则.特别地，若，则.
2、A
【解析】
本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下再讨论平面中的直线与已知直线的关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直．
【详解】
当直线l与平面相交时，
平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B错．
当直线l与平面平行时，
平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D错．
当直线a在平面内时，
平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错．
不管直线l与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内，
都可以在平面内找到一条直线与直线垂直，
因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故A正确．
故选:A．
本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．
3、D
【解析】
从3名男生和2名女生中任选2名学生的所有结果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．
选项A中的两个事件为对立事件，故不正确；
选项B中的两个事件不是互斥事件，故不正确；
选项C中的两个事件不是互斥事件，故不正确；
选项D中的两个事件为互斥但不对立事件，故正确．选D．
4、B
【解析】
由等差数列的性质计算．
【详解】
由题意，，∴．
故选B．
本题考查等差数列的性质，灵活运用等差数列的性质可以很快速地求解等差数列的问题．
在等差数列中，正整数满足，则，特别地若，则；．
5、D
【解析】
在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.
【详解】
在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，
所以BC＝.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
故选：D
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于基础题.
6、A
【解析】
依次求得的值，进而求得的值.
【详解】
当时，；
当时，，；
当时，；
故.
故选：A.
本小题主要考查根据递推关系式求数列每一项，属于基础题.
7、B
【解析】
将国庆七天认购量和成交量从小到大排列,即可判断①;计算成交量的平均值,可由成交量数据判断②;由图可判断③;计算认购量的平均值与方差,成交量的平均值与方差,对方差比较即可判断④.
【详解】
国庆七天认购量从小到大依次为:91,100,105,107,112,223,276
成交量从小到大依次为:8,13,16,26,32,38,166
对于①,成交量的中为数为26,所以①正确;
对于②,成交量的平均值为,有1天成交量超过平均值,所以②错误;
对于③,由图可知认购量与日期没有正相关性,所以③错误;
对于④, 10月2日到10月6日认购量的平均值为
方差为

10月2日到10月6日成交量的平均值为
方差为

所以由方差性质可知, 10月2日到10月6日认购量的分散程度比成交量的分散程度更小,所以④错误;
综上可知,错误的为②③④
故选:B
本题考查了统计的基本内容,由图示分析计算各个量,利用方差比较数据集中程度,属于基础题.
8、C
【解析】
，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，
，，同时满足，则的终边在三象限．
9、C
【解析】
由等差数列的前项和公式解得，由，
得，由此能求出的值。
【详解】
解：差数列的前n项和为，，
，解得，

解得，故选：C。
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10、B
【解析】
按分层抽样的定义，按比例计算．
【详解】
由题意，解得．
故选：B.
本题考查分层抽样，属于简单题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为1．
考点：正弦定理的应用．
12、4
【解析】
先根据,,成等差数列得到，再根据余弦定理得到满足的等式关系，而由面积可得，利用基本不等式可求的最小值.
【详解】
因为,,成等差数列，，故.
由余弦定理可得.
由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立.
因为，所以，
所以即，当且仅当时等号成立.
故填4.
三角形中与边有关的最值问题，可根据题设条件找到各边的等式关系或角的等量关系，再根据边的关系式的结构特征选用合适的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把与边有关的目标代数式转化为与角有关的三角函数式后再求其最值.
13、
【解析】
分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.
详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，
因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为
因此圆锥的侧面积为
14、1
【解析】
直接利用数列的通项公式，建立不等式，解不等式求出结果．
【详解】
解：数列的通项公式，
则：，
所以：当时，
即：，
当时，成立，
即：的最小值为1．
故答案为：1
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
15、-16
【解析】
设等差数列的公差为，利用通项公式求出即可.
【详解】
设等差数列的公差为，得，则.
故答案为
本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.
16、
【解析】
试题分析：由题意可知，解得，所以.
考点：等差数列通项公式．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）递减区间为和；（2）.
【解析】
（1）将点代入函数即可求出,根据函数的解析式写出单调递减区间即可（2）
当时，写出函数，由题意知的值域是值域的子集,即可求出.
【详解】
（1）因为函数的图像经过点，且
所以，解得.

的单调递减区间为和.
（2）当时，，

时，
由对于任意的，总存在，使得知：
的值域是值域的子集.
因为的对称轴为,
①当时，即时，
只需满足
解得.
② 当，即时，
因为，与矛盾，故舍去.
③当时，即时，
与矛盾，故舍去.
综上，.
本题主要考查了函数的单调性，以及含参数二次函数值域的求法，涉及存在性问题，转化思想和分类讨论思想要求较高，属于难题.
18、（1）；（2），.
【解析】
（1）直接将值代入即可求得对应的函数值.
（2）将函数化简为的形式，并求出最大值，最小值
【详解】
（1）.
（2）

，
当时，取得最大值；
当时，取得最小值.
本题主要考查了求三角函数值、三角恒等变换以及三角函数的性质，属于基础题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理将角化为边得，利用余弦定理可得；（Ⅱ）由及基本不等式可得，故而可得面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理有，既有，由余弦定理得，.
（Ⅱ），即，当且仅当时等号成立，
当时，,
所以的最大值为.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）直接利用数列的递推关系式证明结论；
（2）由（1）可求出数列的通项公式，进而得到的通项公式．
【详解】
（1）∵数列{an}的首项a1＝2，且，
∴an+1+＝3（an+）， 即
∴是首项为，公比为3的等比数列；
（2）由（1）可得a1+＝，∴，
∴数列的通项公式.
本题考查等比数列的证明考查了等比数列的通项公式，属于中档题.
21、（1）；（2）；（3）
【解析】
利用正弦的二倍角公式，余弦和正切的两角和公式计算即可得到答案.
【详解】
因为，，所以.
（1）；
（2）；
（3）
本题考查正弦的二倍角公式，余弦和正切的两角和公式的应用，属于简单题.