2025年江苏省苏州市数学高一第二学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025年江苏省苏州市数学高一第二学期期末调研模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是(　 　)
A． B．
C． D．
3．在△ABC中角ABC的对边分别为A．B．c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为（）
A． B． C． D．
4．在等差数列中，若，则的值为( )
A．15 B．21 C．24 D．18
5．已知a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，若，，，则下列三个结论：①、②、③．其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在中，角所对的边分边为，已知，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
7．某几何体的直观图如图所示，是的直径，垂直所在的平面，且，为上从出发绕圆心逆时针方向运动的一动点.若设弧的长为，的长度为关于的函数，则的图像大致为（ ）

A． B．
C． D．
8．已知是函数的两个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的零点有两个，求实数的取值范围（ ）
A． B．或 C．或 D．
10．若向量，，则在方向上的投影为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．
12．在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，则当3a2+a4取得最小值时，＝_____．
13．已知数列的前项和为，若，则______.
14．若，则函数的值域为________.
15．已知，，若，则实数的值为__________．
16．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项和．
（1）求数列通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
18．某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表.
组号
分组
频率
第1组
[160，165）
0.05
第2组

0.35
第3组

0.3
第4组

0.2
第5组

0.1
合计
1.00
（Ⅰ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试，问第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进行测试；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第3组中至少有一名学生被抽中的概率；
（Ⅲ）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由.
19．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．
（1）求楼房每平方米的平均综合费用f(x)的解析式.
（2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝）
20．已知圆A：，圆B：.
（Ⅰ）求经过圆A与圆B的圆心的直线方程；
（Ⅱ）已知直线l：，设圆心A关于直线l的对称点为，点C在直线l上，当的面积为14时，求点C的坐标.
21．若直线与轴，轴的交点分别为，圆以线段为直径.
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线过点，与圆交于点，且，求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
由，代入运算即可得解.
【详解】
解：因为，，
所以.
故选：A.
本题考查了两角差的正切公式，属基础题.
2、B
【解析】
先求出直线的倾斜角，进而得出所求直线的倾斜角和斜率，再根据点斜式写直线的方程.
【详解】
已知直线的斜率为，则倾斜角为，
故所求直线的倾斜角为，斜率为，
由直线的点斜式得，
即。
故选B.
本题考查直线的性质与方程，属于基础题.
3、D
【解析】
首先利用同角三角函数的关系式求出sinC的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果．
【详解】
△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，
利用同角三角函数的关系式sin1C+cos1C＝1，
解得sinC，
由于acosB+bcosA＝1，
利用余弦定理，
解得c＝1．
所以c1＝a1+b1﹣1abcosC，
整理得4，
由于a1+b1≥1ab，
故，
所以．
则，
△ABC面积的最大值为，
故选D．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
4、D
【解析】
利用等差数列的性质，将等式全部化为的形式，再计算。
【详解】
因为，且，
则，所以．
故选D
本题考查等差数列的性质，属于基础题。
5、C
【解析】
根据题意，，，，则有，因此，，不难判断.
【详解】
因为，，，则有，所以，，
所以①正确，②不正确，③正确，
则其中正确命题的个数为2.
故选C
本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.
6、C
【解析】
由三角形正弦定理可知无解，所以三角形无解，选C.
7、A
【解析】

如图所示，设，则弧长，线段，作 于 当在半圆弧上运动时，，，即，由余弦函数的性质知当时，即运动到点时有最小值，只有选项适合，又由对称性知选，故选A.
8、A
【解析】
在同一直角坐标系中作出与的图象，设两函数图象的交点，依题意可得，利用对数的运算性质结合图象即可得答案．
【详解】
解：，在同一直角坐标系中作出与的图象，

设两函数图象的交点，
则，即，
又，
所以，，即，
所以①；
又，故，即②，
由①②得：，
故选：A．
本题考查根的存在性及根的个数判断，依题意可得是关键，考查作图能力与运算求解能力，属于难题．
9、B
【解析】
由题意可得，的图象（红色部分）和直线有2个交点，数形结合求得的范围．
【详解】
由题意可得的图象(红色部分)和直线有2个交点，如图所示：

故有或，
故选：B.
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的图象的交点个数问题 .
10、A
【解析】
向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为 =-2
故选A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
如图所示，

由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=b，
∴|OP|=．
设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．
又tan θ=，
∴，解得a2=3b2，
∴e=．
答案：
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．
12、
【解析】
利用等比数列的性质，结合基本不等式等号成立的条件，求得公比，由此求得的值.
【详解】
∵在公比为q的正项等比数列{an}中，a3＝9，根据等比数列的性质和基本不等式得，当且仅当，即，即q时，3a2+a4取得最小值，∴log3q＝log3．
故答案为：
本小题主要考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.
13、
【解析】
利用和的关系计算得到答案.
【详解】

当时， 满足通项公式
故答案为
本题考查了和的关系，忽略的情况是容易发生的错误.
14、
【解析】
令，结合可得，本题转化为求二次函数在的值域，求解即可.
【详解】
，.
令，，则，
由二次函数的性质可知，当时，；
当时，.
故所求值域为.
本题考查了函数的值域，利用换元法是解决本题的一个方法.
15、
【解析】
利用共线向量等价条件列等式求出实数的值.
【详解】
，，且，，因此，，故答案为.
本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
联立直线的方程和圆的方程，求得两点的坐标，根据点斜式求得直线的方程，进而求得两点的坐标，由此求得的长.
【详解】
由解得，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以，令，得，所以.
故答案为4
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查相互垂直的两条直线斜率的关系，考查直线的点斜式方程，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2） .
【解析】
（1）根据和关系得到答案.
（2）首先计算数列通项，再根据裂项求和得到答案.
【详解】
解：（1）当时，
当时，
（2）

本题考查了和关系，裂项求和，是数列的常考题型.
18、（1）3人，2人，1人.（2）0.8.（3）第3组
【解析】
分析：（Ⅰ）由分层抽样方法可得第组：＝人；第组：＝人；第组：＝人；（Ⅱ）利用列举法可得个人抽取两人共有中不同的结果，其中第组的两位同学至少有一位同学被选中的情况有种，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅲ）由前两组频率和为，中位数可得在第组.
详解：（Ⅰ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组学生人数分别为：
第3组：＝3人；第4组：＝2人；第5组：＝1人.
所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人.
（Ⅱ）设第3组3位同学为A1，A2，A3，第4组2位同学为B1，B2，第5组1位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学的情况分别为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.共有15种.
其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种可能.
所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8.
答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8.
（Ⅲ）第3组
点睛：本题主要考查分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
19、（1）；（2）该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．
【解析】
【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用函数，再应基本不等式求其最小值及取得极小值时：
解：设楼房每平方米的平均综合费用，，当且仅当时，等号取到.所以，当时，最小值为5000元.
20、（I）（Ⅱ）或
【解析】
（Ⅰ）由已知求得，的坐标，再由直线方程的两点式得答案；
（Ⅱ）求出的坐标，再求出以及所在直线方程，设，利用点到直线的距离公式求出到所在直线的距离，代入三角形面积公式解得值，进而可得的坐标.
【详解】
（Ⅰ）将圆：化为：，所以，
圆：化为：，所以，
所以经过圆与圆的圆心的直线方程为：，即.
（Ⅱ）如图，

设，由题意可得，解得，即，
∴，
所在直线方程为，即，
设，则到所在直线的距离，
由，解得或，
∴点的坐标为或.
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点关于直线的对称点的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】
(1)本题首先根据直线方程确定、两点坐标，然后根据线段为直径确定圆心与半径，即可得出圆的标准方程；
(2)首先可根据题意得出圆心到直线的距离为，然后根据直线的斜率是否存在分别设出直线方程，最后根据圆心到直线距离公式即可得出结果。
【详解】
(1)令方程中的，得，令，得.
所以点的坐标分别为.
所以圆的圆心是，半径是，
所以圆的标准方程为.
(2)因为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为.
若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意.
若直线的斜率存在，设其直线方程为，即.
圆的圆心到直线的距离，解得.
则直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
本题考查圆的标准方程与几何性质，考查直线和圆的位置关系，当直线与圆相交时，半径、弦长的一半以及圆心到直线距离可构成直角三角形，考查计算能力，在计算过程中要注意讨论直线的斜率是否存在，是中档题。