云南省建水县四校2025年高一下数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

云南省建水县四校2025年高一下数学期末学业质量监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是（　　）
A．若ac＞bc＞0，则a＞b B．若a＞b＞0，则ac＞bc
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2
2．不等式的解集为,则的值为(   )
A． B．
C． D．
3．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为等差数列，，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
5．如图，在中，若，，，用表示为（　　）

A． B．
C． D．
6．的直观图如图所示，其中，则在原图中边的长为（ ）

A． B． C．2 D．
7．如图所示，向量，则（ ）

A． B． C． D．
8．从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（ ）
A．至少有1个白球；都是红球 B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰好有1个白球；恰好有2个白球 D．至少有1个白球；都是白球
9．已知幂函数过点，令，，记数列的前项和为，则时，的值是（ ）
A．10 B．120 C．130 D．140
10．不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11． 若直线y＝x＋m与曲线x＝恰有一个公共点，则实数m的取值范围是______.
12．在平面直角坐标系中，点在第二象限，，，则向量的坐标为________.
13．已知两条直线, 将圆及其内部划分成三个部分, 则的取值范围是_______；若划分成的三个部分中有两部分的面积相等, 则的取值有_______种可能.
14．若向量与平行．则__．
15．在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，动点在直线：上（），过分别作圆，的切线，切点分别为，，若满足的点有且只有一个，则实数的值为______.
16．已知函数，关于此函数的说法：①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④；正确的序号是 _________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．平面直角坐标系中，圆M与y轴相切，并且经过点，．
（1）求圆M的方程;
（2）过点作圆M的两条互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最大值．
18．如图，在直三棱柱中，，，，点N为AB中点，点M在边AB上.

（1）当点M为AB中点时，求证：平面；
（2）试确定点M的位置，使得平面.
19．如图，在四棱锥中，，，，，，，分别为棱，的中点.

（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
20．某校团委会组织某班以小组为单位利用周末时间进行一次社会实践活动，每个小组有5名同学，在活动结束后，学校团委会对该班的所有同学进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学得分（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组同学的平均分高一分．

（1）若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过86分的概率；
（2）现从A、B两组学生中分别随机抽取1名同学，设其分数分别为m、n，求的概率．
21．已知
（1）求函数的单调递减区间：
（2）已知，求的值域
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
本题可根据不等式的性质以及运用特殊值法进行代入排除即可得到正确结果．
【详解】
由题意，可知：对于A中，可设，很明显满足，但，所以选项A不正确；
对于B中，因为不知道的正负情况，所以不能直接得出，所以选项B不正确；
对于C中，因为，所以，所以，所以选项C正确；
对于D中，若，则不能得到，所以选项D不正确．
故选：C．
本题主要考查了不等式性质的应用以及特殊值法的应用，着重考查了推理能力，属于基础题．
2、B
【解析】
根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得a，c的值.
【详解】
由题意得为方程两根，所以，选B.
一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.
3、B
【解析】
利用向量的数量积运算即可算出．
【详解】
解：

，，

又在上
，

故选：
本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．
4、D
【解析】
根据等差数列下标和性质，即可求解.
【详解】
因为为等差数列，故
解得.
故选：D.
本题考查等差数列下标和性质，属基础题.
5、C
【解析】
根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果.
【详解】

本题正确选项：
本题考查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；关键是能够熟练应用向量的加减法运算和数乘运算法则.
6、D
【解析】
由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度，然后计算．
【详解】
在原图形中，，，
∴．
故选：D.
本题考查直观图，考查由直观图还原原平面图形.掌握斜二测画法的规则是解题关键.
7、A
【解析】
根据平面向量的加法的几何意义、平面向量的基本定理、平面向量数乘运算的性质，结合
进行求解即可.
【详解】
.
故选：A
本题考查了平面向量基本定理及加法运算的几何意义，考查了平面向量数乘运算的性质，属于基础题.
8、A
【解析】
根据对立事件的定义判断．
【详解】
从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件.
故选：A.
9、B
【解析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得的表达式，利用裂项求和法求得的表达式，解方程求得的值.
【详解】
设幂函数为，将代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故选B.
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.
10、D
【解析】
画出可行域，根据边界点的坐标计算出平面区域的面积.
【详解】
画出可行域如下图所示，其中，故平面区域为三角形，且三角形面积为，故选D.

本小题主要考查线性规划可行域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、{m|－1＜m≤1或m＝－}
【解析】
由x=，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m的取值范围．
【详解】
由x=，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，
所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，
且其图象只在一、四象限．
画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，
从图上看出其三个极端情况分别是：
①直线在第四象限与曲线相切，
②交曲线于（0，﹣1）和另一个点，
③与曲线交于点（0，1）．
直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣，
当直线y=x+m经过点（0，1）时，m=1．
当直线y=x+m经过点（0，﹣1）时，m=﹣1，所以此时﹣1＜m≤1．
综上满足只有一个公共点的实数m的取值范围是：
﹣1＜m≤1或m=﹣．

故答案为：{m|－1＜m≤1或m＝－}．
本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
12、
【解析】
由三角函数的定义求出点的坐标，然后求向量的坐标.
【详解】
设点，由三角函数的定义有
，得，
，得，
所以，
所以
故答案为：
本题考查三角函数的定义的应用和已知点的坐标求向量坐标，属于基础题.
13、 3
【解析】
易知直线过定点，再结合图形求解.
【详解】
依题意得直线过定点，如图：

若两直线将圆分成三个部分，
则直线必须与圆相交于图中阴影部分.
又，
所以的取值范围是；
当直线位于时，
划分成的三个部分中有两部分的面积相等.
本题考查直线和圆的位置关系的应用，直线的斜率，结合图形是此题的关键.
14、
【解析】
由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的值．
【详解】
由题意，向量与平行，所以，解得．
故答案为．
本题主要考查了两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
15、.
【解析】
根据圆的切线的性质和三角形全等，得到，求得点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解．
【详解】
由题意得：，，设，如下图所示
∵PA、PB分别是圆O，O1的切线，∴∠PBO1=∠PAO=90°，
又∵PB=2PA，BO1=2AO，∴△PBO1∽△PAO，∴，
∴，∴，整理得，
∴点P（x，y）的轨迹是以为圆心、半径等于的圆，
∵动点P在直线：上（），满足PB=2PA的点P有且只有一个，
∴该直线l与圆相切，
∴圆心到直线l的距离d满足，即，解得或，
又因为，所以．

本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
16、①②④
【解析】
由三角函数的性质及，分别对各选项进行验证，即可得出结论.
【详解】
解：由函数，
可得①，可得为周期函数，故①正确；
②由，，
故，是偶函数，故有对称轴正确，故②正确；
③为偶数时，，为奇数时,
故不为的对称中心，故③不正确；
④由，可得正确，故④正确.
故答案为：①②④.
本题主要考查三角函数的值域、周期性、对称性等相关知识，综合性大，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；(2) 最大值为1．
【解析】
（1）通过分析题意，可设圆心坐标为，再通过待定系数法即可求得。
（2）若采用直线方程和圆的方程联立求解相对较为复杂，可采用将题设条件转化为圆心到直线距离问题，结合勾股定理可大大简化运算，最后再结合均值不等式进行求解。
【详解】
解：（1）由题意，M在线段PQ的垂直平分线（即x轴）上，设；
由圆M与y轴相切，所以圆M的半径为，
圆M的标准方程为，
代入，解得，所以圆M的方程为.
（2）设圆心M到直线AC，BD的距离分别为m，n，则，
且，，
四边形ABCD的面积
因为，且m，n均为非负数，所以，
当且仅当，等号成立；
综上，四边形ABCD面积的最大值为1．
圆的弦长问题转化为点到直线的距离问题往往化繁为简
18、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）推导出，由此能证明平面．
（2）当点是中点时，推导出，，从而平面，进而，推导出△，从而，由此能证明平面．
【详解】
（1）在直三棱柱中，
点为中点，为中点，
，
平面，平面，
平面．
（2）当点是中点时，使得平面．
证明如下：
在直三棱柱中，，，，
点为中点，点是中点，
，，
，平面，
平面，，
，，
，△，
，，
，
，平面．
本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）由勾股定理得，已知，故得证；（2）由题，E为AB中点，，故ABCD为平行四边形，，由F为PB中点，EF为三角形APB的中位线，故，AP和AD相交于A，EF和CE相交于E，故得证．
【详解】
证明：（1）因为，，，所以，由
所以.
因为，，所以平面.
（2）因为为棱的中点，所以，
因为，所以.
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.
因为，分别为棱，的中点，所以，所以平面.
因为，平面，平面，所以平面平面.
本题考查直线和平面垂直的判定，平面和平面平行的判断，比较基础．
20、（1）（2）
【解析】
（1）求出A组学生的平均分可得B组学生的平均分，设被污损的分数为X，列方程得X，从而得到B组学生的分数，其中有3人分数超过86分，由此能求出B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率．
（2）利用列举法写出在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．
【详解】
（1）A组学生的平均分为，所以B组学生的平均分为86分
设被污损的分数为，则，解得
所以B组学生的分数为91、93、83、88、75，其中有3人分数超过86分
在B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率为.
（2）A组学生的分数分别是94、80、86、88、77,B组学生的分数为91、93、83、88、75，
在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的基本事件（m，n），有
（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），
（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），
（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），
（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），
（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25个
随机各抽取1名同学的分数满足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10个
∴的概率为.
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、茎叶图等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．
21、（1）();（2）
【解析】
（1）将三角函数化简为，再求函数的单调减区间.
（2）根据得到，得到最后得到答案.
【详解】
（1），
令解得：
可得函数的单调递减区间为：();
（2）

的值域为
本题考查了三角函数的单调区间和值域，将三角函数化简为标准形式是解题的关键，意在考查学生的计算能力.