北京市达标名校2025年数学高一第二学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

北京市达标名校2025年数学高一第二学期期末复习检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）
A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶
2．若函数只有一个零点，则实数的取值范围是
A．或 B．
C．或 D．
3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
4．关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
6．已知三角形为等边三角形，，设点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知网格纸的各个小格均是边长为一个单位的正方形，一个几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
8．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
9．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．最大角为锐角的等腰三角形 D．最大角为钝角的等腰三角形
10．在等差数列中，，则等于()
A．2 B．18 C．4 D．9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，，，则______．
12．如图1，动点在以为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止.设点的纵坐标（米）关于时间（分）的函数为，则该函数的图像大致为________.（请注明关键点）

13． 两等差数列{an}和{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且，则=__________．
14．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为　 　.
15．当时，不等式成立，则实数k的取值范围是______________.
16．当实数a变化时，点到直线的距离的最大值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中点，

求证：（1）平面ABC；
（2）平面EDB.
（3）求几何体的体积.
18．如下图，长方体中，，，点是棱上一点.

（1）当点在上移动时，三棱锥的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积.
（2）当点在上移动时，是否始终有，证明你的结论.
19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为.

（1）设总造价（元）表示为长度的函数；
（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
20．已知数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数，的部分图像如图所示，点，，都在的图象上.

（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
解：因为在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，那么分为的两个锥体的体积比为1：，因此锥体被截面所分成的两部分的体积之比为．1∶
2、A
【解析】
根据题意，原题等价于，再讨论即可得到结论．
【详解】
由题 ，故函数有一个零点
等价于即
当时，，,符合题意；
当，时，令，满足解得,
综上的取值范围是或
故选：A．
本题考查函数的零点，对数函数的性质，二次函数根的分布问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．
3、A
【解析】
利用正弦定理，可直接求出的值.
【详解】
在中，由正弦定理得，所以，
故选：A.
本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。
4、D
【解析】
特值,利用排除法求解即可.
【详解】
因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D
不等式恒成立问题有两个思路：
求最值，说明恒成立
参变分离，再求最值。
5、D
【解析】
如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，
平移，当经过A时，
的最小值为-8，故选D.

6、D
【解析】
用三角形的三边表示出，再根据已知的边的关系可得到关于的方程，解方程即得。
【详解】
由题得，，，整理得，化简得，解得.

故选：D
本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理，是常考题型。
7、B
【解析】
根据三视图还原几何体即可．
【详解】
由三视图可知，该几何体为一个圆柱内切了一个圆锥，圆锥侧面积为，圆柱上底面积为，圆柱侧面积为，．所以选择B
本题主要考查了三视图，根据三视图还原几何体常用的方法有：在正方体或者长方体中切割．属于中等题．
8、C
【解析】
根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】
由，，得，则，．故选C．
本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
9、D
【解析】
先由余弦定理，结合题中条件，求出，再由，求出，进而可得出三角形的形状.
【详解】
因为，
所以，，
所以.
又，所以，则的形状为最大角为钝角的等腰三角形.
故选D
本题主要考查三角形的形状的判定，熟记余弦定理即可，属于常考题型.
10、D
【解析】
利用等差数列性质得到，，计算得到答案.
【详解】
等差数列中，

故选：D
本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先求出的平方值，再开方得到所求结果．
【详解】

本题考查求解复合向量模长的问题，求解此类问题的关键是先求模长的平方，将其转化为已知向量运算的问题．
12、
【解析】
根据题意先得出，再画图．
【详解】
解：设，，
，，，
则
当时，处于最低点，则，
，
可画图为：
故答案为：
本题考查了三角模型的实际应用，关键是根据题意建立函数模型，属中档题．
13、
【解析】
数列{an}和{bn}为等差数列，所以.
点睛：等差数列的常考性质：{an}是等差数列，若m+n=p+q,则.
14、70
【解析】
设高一、高二抽取的人数分别为，则，解得.
【考点】分层抽样.
15、k∈（﹣∞，1]
【解析】
此题先把常数k分离出来，再构造成再利用导数求函数的最小值，使其最小值大于等于k即可．
【详解】
由题意知：
∵当0≤x≤1时
（1）当x＝0时，不等式恒成立 k∈R
（2）当0＜x≤1时，不等式可化为

要使不等式恒成立，则k成立
令f（x） x∈（0，1]
即 f '（x）
再令g（x）
g'（x）
∵当0＜x≤1时，g'（x）＜0
∴g（x）为单调递减函数
∴g（x）＜g（0）＝0
∴f '（x）＜0
即函数f（x）为单调递减函数
所以 f（x）min＝f（1）＝1 即k≤1
综上所述，由（1）（2）得 k≤1
故答案为： k∈（﹣∞，1]．
本题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题型．
16、
【解析】
由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．
【详解】
由直线，得，
联立，解得．
直线恒过定点，
到直线的最大距离．
故答案为：．
本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
（1）如图：证明得到答案.
（2）证明得到答案.
（3）几何体转化为，利用体积公式得到答案.
【详解】

（1）∵F分别是BE的中点，取BA的中点M，
∴FM∥EA，FMEA＝1
∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，
∴CD∥FM，又CD＝FM
∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，
FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC
∴FD∥平面ABC．
（2）因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB
又 EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE，
又 AE∩AB＝A，所以CM⊥面EAB，∵AF⊂面EAB
∴CM⊥AF，又CM∥FD，从而FD⊥AF，
因F是BE的中点，EA＝AB所以AF⊥EB．
EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB．
（3）几何体的体积等于
为中点，连接
平面

本题考查了线面平行，线面垂直，等体积法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
18、（1）；（2）详见解析.
【解析】（ I）三棱锥的体积不变，

.
（ II）当点在上移动时，始终有，
证明：连接，∵四边形是正方形，
∴，
∵平面，平面，
∴．
又，平面，
∴平面，
又平面，
∴．
19、（1），（2）当时，总造价最低为元
【解析】
（1）根据题意得矩形的长为，则矩形的宽为，中间区域的长为，宽为列出函数即可．
（2）根据（1）的结果利用基本不等式即可．
【详解】
（1）由矩形的长为，则矩形的宽为，
则中间区域的长为，宽为，则定义域为
则
整理得，
（2）
当且仅当时取等号，即
所以当时，总造价最低为元
本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用．在利用基本不等式时保证一正二定三相等，属于中等题．
20、（1）（2）
【解析】
试题分析：解：（1）当时，，解得；
当时，，
∴，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
故． 4分
（2）由（1）得，，
∴5分
令，
则，
两式相减得
∴， 7分
故， 8分
又由（1）得，， 9分
不等式即为，
即为对任意恒成立， 10分
设，则，
∵，∴，
故实数t的取值范围是． 12分
考点：等比数列
点评：主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用，属于基础题．
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由三角函数图像，求出即可；
（2）求出函数的值域，再列不等式组求解即可.
【详解】
解：（1）由的图象可知，则，
因为，，所以，故.
因为在函数的图象上，所以，
所以，即，因为，所以.
因为点在函数的图象上，所以，
解得，
故.
（2）因为，所以，
所以，则.
因为，所以，
所以，解得.
故的取值范围为.
本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.