2024-2025学年陕西省陕西师大附中数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年陕西省陕西师大附中数学高一第二学期期末监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，与的夹角，则在方向上的投影是（ ）
A． B． C．1 D．
2．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n ∈N＋)，那么a4的值为( )．
A．4 B．8 C．15 D．31
3．如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
4．已知数列共有项，满足，且对任意、，有仍是该数列的某一项，现给出下列个命题：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合中共有个元素．则其中真命题的个数是 （ ）
A． B． C． D．
5．设，且，则下列各不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．直线与直线平行，则（ ）
A． B．或 C． D．或
7．已知各项均不为零的数列，定义向量，，． 下列命题中真命题是 ( )
A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
8．直线与圆相交于M，N两点，若．则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的最大值是2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，，若，则__________．
12．如图，在中，，，点D为BC的中点，设，.的值为___________.

13．已知向量，，若，则______；若，则______.
14．已知是内的一点，，，则 _______；若，则_______.
15．弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是__________．
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，的部分图像如图所示，点，，都在的图象上.

（1）求的解析式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
18．某销售公司通过市场调查，得到某种商品的广告费（万元）与销售收入（万元）之间的数据如下：
广告费（万元）
1
2
4
5
销售收入（万元）
10
22
40
48
（1）求销售收入关于广告费的线性回归方程；
（2）若该商品的成本（除广告费之外的其他费用）为万元，利用（1）中的回归方程求该商品利润的最大值（利润=销售收入－成本－广告费）.参考公式：，.
19．已知等差数列的前n项和为，且，.
（1）求；
（2）求.
20．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，､､分别是､､的中点.

（1）证明:直线平面；
（2）求直线与面所成角的大小；
（3）求二面角的平面角的余弦值.
21．设数列的前项和.已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否对一切正整数，有？说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据向量投影公式计算即可
【详解】
在方向上的投影是：
故选：A
本题考查向量投影的概念及计算，属于基础题
2、C
【解析】
试题分析：，，，故选C.
考点：数列的递推公式
3、A
【解析】
设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，由已知多面体的体积求解，得到正方体外接球的半径，则外接球的表面积可求．
【详解】
设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，
多面体的体积为，即．
正方体的对角线长为．
则正方体的外接球的半径为．
表面积为．
故选：．
本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题．
4、D
【解析】
对任意的、，有仍是该数列的某一项，可得出是该数列中的项，由于，可得，即，以此类推即可判断出结论.
【详解】
对任意、，有仍是该数列的某一项，,
当时，则，必有，即，
而或.
若，则，而、、，舍去；
若，此时，，同理可得.
可得数列为：、、、、.
综上可得：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合，该集合中共有个元素.
因此，（1）（2）（3）（4）都正确.
故选：D.
本题考查有关数列命题真假的判断，涉及数列的新定义，考查推理能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.
5、D
【解析】
根据不等式的性质，逐项检验，即可判断结果.
【详解】
对于选项A，若，显然不成立；
对于选项B，若，显然不成立；
对于选项C，若，显然不成立；
对于选项D，因为，所以，故正确.
故选:D.
本题考查了不等式的性质，属于基础题.
6、B
【解析】
两直线平行，斜率相等；按，和三类求解.
【详解】
当即时，
两直线为，，
两直线不平行，不符合题意；
当时，
两直线为 ，
两直线不平行，不符合题意；
当即时，
直线的斜率为 ，
直线的斜率为，
因为两直线平行，所以，
解得或，
故选B.
本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.
7、A
【解析】
根据向量平行的坐标表示，得到，利用累乘法，求得，从而可作出判定，得到答案．
【详解】
由题意知，向量，，，
当时，可得，即，
所以，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列．
当，可得，即，
所以，
所以数列既不是等差数列，也不是等比数列.
故选A．
本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8、A
【解析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解
【详解】

如图所示，设弦中点为D，圆心C(3,2),
弦心距，又，
由勾股定理可得，
答案选A
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。处理过程中，直线需化成一般式
9、B
【解析】
根据诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，根据辅助角公式结合范围求最值取得的条件即可得解.
【详解】
由题函数

，最大值是2，
所以，平方处理得：，
所以，，所以.
故选：B
此题考查根据三角函数的最值求参数的取值，考查对三角恒等变换的综合应用.
10、A
【解析】
将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出关于的二次方程，解出即可.
【详解】
将等式两边平方得，，即，
整理得，，解得，故选：A.
本题考查平面向量模的计算，在计算向量模的时候，一般将向量模的等式两边平方，利用平面向量数量积的定义和运算律进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-3
【解析】
由可知

，解得，

12、
【解析】
在和在中,根据正弦定理,分别表示出.由可得等式,代入已知条件化简即可得解.
【详解】
在中,由正弦定理可得,则
在中,由正弦定理可得,则
点D为BC的中点,则
所以
因为,,由诱导公式可知
代入上述两式可得
所以
故答案为:
本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.
13、6
【解析】
由向量平行与垂直的性质，列出式子计算即可.
【详解】
若，可得，解得；
若，则，解得.
故答案为：6；.
本题考查平面向量平行、垂直的性质，考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
对式子两边平方，再利用向量的数量积运算即可；式子两边分别与向量，进行数量积运算，得到关于的方程组，解方程组即可得答案.
【详解】
∵，
∴；
∵，
∴
解得：，∴.
故答案为：；.
本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法.
15、1
【解析】
设扇形的弧长和半径长为，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是.
16、
【解析】
根据奇偶性，先计算，再计算
【详解】
因为是定义在上的奇函数，所以.
因为当时，
所以.
故答案为
本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由三角函数图像，求出即可；
（2）求出函数的值域，再列不等式组求解即可.
【详解】
解：（1）由的图象可知，则，
因为，，所以，故.
因为在函数的图象上，所以，
所以，即，因为，所以.
因为点在函数的图象上，所以，
解得，
故.
（2）因为，所以，
所以，则.
因为，所以，
所以，解得.
故的取值范围为.
本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.
18、（1）；（2）19.44（万无）
【解析】
（1）先求出，然后求出回归系数，得回归方程；
（2）由回归方程得估计销售收入，减去成本得利润，由二次函数知识得最大值．
【详解】
（1）由题意，，
所以，
，
所以回归方程为；
（2）由（1），
所以（万元）时，利润最大且最大值为19.44（万元）．
本题考查求线性回归直线方程，考查回归方程的应用．考查了学生的运算求解能力．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由可求得公差，利用等差数列通项公式求得结果；
（2）利用等差数列前项和公式可求得结果.
【详解】
（1）设等差数列公差为，则，解得：

（2）由（1）知：
本题考查等差数列通项公式和前项和的求解问题，考查基础公式的应用，属于基础题.
20、（1）证明见解析（2）（3）
【解析】
（1）取的中点，证明为平行四边形，且，再由三角形中位线证明，最后由线面平行的判定定理证明即可；
（2）作交于点，由线面垂直关系得到直线与面所成角为，再根据是正三角形求解即可；
（3）由（2）知，平面，再证明和分别垂直于，求出直线与面所成角为，再求出和的长度即可求解.
【详解】
（1）在直四棱柱中，取的中点，连接，，，
因为，，且，所以为平行四边形，所以，
又因为､分别是棱､的中点，
所以，所以，
因为.所以､､､四点共面，
所以平面，又因为平面，
所以直线平面.

（2）因为，，是棱的中点，
所以，为正三角形，
取的中点，则，
又因为直四棱柱中，平面，所以，
所以平面，即直线与面所成角为，
所以，即，
所以直线与面所成角为.
（3）过在平面内作，垂足为，连接.
因为面，即，
且与相交于点，故且，
则为二面角的平面角，
在正三角形中，，
在中，，
∵，∴，
在中，，
，
所以二面角的余弦值为.
本题主要考查线面平行的判定、线面角和二面角的求法，考查学生的空间想象能力和对线面关系的掌握，属于中档题.
21、（1）；（2）对一切正整数，有.
【解析】
（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）对一切正整数n，有，
考虑当时，，再由裂项相消求和，即可得证。
【详解】
（1）

当时，
两式做差得
，
，当时，上式显然成立，。
（2）证明：当时，
可得
由
可得
即有<
则当时，不等式成立。
检验时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有。
本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．