江西省宜春中学、丰城中学、高安二中、樟树中学2024-2025学年数学高一下期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

江西省宜春中学、丰城中学、高安二中、樟树中学2024-2025学年数学高一下期末学业质量监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）

A．493 B．383 C．183 D．123
2．若关于的不等式在区间上有解,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是等差数列，且，，则（ ）
A．-5 B．-11 C．-12 D．3
4．已知向量，向量，且，那么等于( )
A． B． C． D．
5．在数列中，若，，，设数列满足，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
6．记为实数中的最大数.若实数满足则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知,下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．直线 y＝﹣x+1的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
9．在边长为1的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知均为实数，则 “”是“构成等比数列”的 （ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．

12．每年五月最受七中学子期待的学生活动莫过于学生节，在每届学生节活动中，着七中校服的布偶“七中熊”尤其受同学和老师欢迎.已知学生会将在学生节当天售卖“七中熊”，并且会将所获得利润全部捐献于公益组织.为了让更多同学知晓，学生会宣传部需要前期在学校张贴海报宣传，成本为250元，并且当学生会向厂家订制只“七中熊”时，需另投入成本，（元），.通过市场分析， 学生会订制的“七中熊”能全部售完.若学生节当天，每只“七中熊”售价为70元，则当销量为______只时，学生会向公益组织所捐献的金额会最大.
13．若角的终边经过点，则___________.
14．已知样本数据的方差是1，如果有，那么数据，的方差为______.
15．已知为等差数列，为其前项和，若，则，则______．
16．在数列中，若，则____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（）的一段图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）若，求函数的值域.
18．已知，.
(1)求的值；
(2)若，均为锐角，求的值.
19．在△中，所对的边分别为，，．
（1）求；
（2）若，求,，．
20．已知函数
（1）求函数的反函数；
（2）解方程：.
21．已知圆C过点，圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）过圆O1：上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据题意将四进制数转化为十进制数即可.
【详解】
根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到
故答案为:C.
本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．
2、A
【解析】
利用分离常数法得出不等式在上成立，根据函数在上的单调性，求出的取值范围
【详解】
关于的不等式在区间上有解
在上有解
即在上成立，
设函数数，
恒成立
在上是单调减函数
且的值域为
要在上有解，则
即的取值范围是
故选
本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．
3、B
【解析】
由是等差数列，求得，则可求
【详解】
∵是等差数列，设,∴故
故选：B
本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题
4、D
【解析】
由两向量平行，其向量坐标交叉相乘相等，得到.
【详解】
因为，所以，解得：.
本题考查向量平行的坐标运算，考查基本运算，注意符号的正负.
5、D
【解析】
利用等差中项法得知数列为等差数列，根据已知条件可求出等差数列的首项与公差，由此可得出数列的通项公式，利用对数与指数的互化可得出数列的通项公式，并得知数列为等比数列，利用等比数列前项和公式可求出.
【详解】
由可得，
可知是首项为，公差为的等差数列，
所以，即．由，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，数列的前项和为，故选D.
本题考查利用等差中项法判断等差数列，同时也考查了对数与指数的互化以及等比数列的求和公式，解题的关键在于结合已知条件确定数列的类型，并求出数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题.
6、B
【解析】
先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解.
【详解】
因为，所以，
整理得：，
解得，
所以，
同理，.
故选B
本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7、A
【解析】
逐个选项进行判断即可.
【详解】
A选项，因为，所以.当时即不满足选项B,C,D.
故选A.
此题考查不等式的基本性质，是基础题.
8、C
【解析】
由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角．
【详解】
直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1，
设倾斜角为α，则tanα＝﹣1，
∴α＝135°
故选：C．
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．
9、B
【解析】
由题意，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，得到，，以及直线的方程，设出点E坐标，根据向量数量积，直接计算，即可得出结果.
【详解】
如图，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，因为等边三角形的边长为1，所以，，，，
则直线的方程为，整理得，
因为E为线段AC上一动点，设，，
则，，
所以，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，最大值为.
即的取值范围为.
故选B

本题主要考查平面向量的数量积，利用建立坐标系的方法求解即可，属于常考题型.
10、A
【解析】
解析：若构成等比数列，则，即是必要条件；但时，不一定有成等比数列，如，即是不充分条件．应选答案A．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由三视图知该几何体是一个半圆锥挖掉一个三棱锥后剩余的部分，
如图所示，
所以其体积为.

点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.
12、200
【解析】
由题意求得学生会向公益组织所捐献的金额的函数解析式，再由对勾函数的性质求得取最大值时的值即可.
【详解】
由题意，设学生会向公益组织所捐献的金额为，
，
由对勾函数的性质知，在时取得最小值，
所以时，取得最大值.
故答案为：200
本题主要考查利用函数解决实际问题和对勾函数的性质，属于基础题.
13、3
【解析】
直接根据任意角三角函数的定义求解，再利用两角和的正切展开代入求解即可
【详解】
由任意角三角函数的定义可得：．
则
故答案为3
本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．
14、1
【解析】
利用方差的性质直接求解．
【详解】
根据题意，样本数据的平均数为，方差是1，
则有，
对于数据，其平均数为
，
其方差为
，故答案为1.
本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15、
【解析】
利用等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质求出的值.
【详解】
由等差中项的性质可得，得，
由等差中项的性质得，.
故答案为：.
本题考查等差数列中项的计算，充分利用等差中项的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
根据递推关系式，依次求得的值.
【详解】
由于，所以，
.
故答案为：
本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由函数的一段图象求得、、和的值即可；
（2）由，求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求得的最大和最小值即可．
【详解】
解：（1）由函数的一段图象知，
，，
，解得，
又时，，，，解得，；
，
函数的解析式为；
（2）当时，，
令，解得，此时取得最大值为2；
令，解得，此时取得最小值为；
函数的值域为．
本题考查了函数的图象和性质的应用问题，属于基础题．
18、（1） （2）
【解析】
（1）利用诱导公式可得的值，再利用两角和的正且公式可求得的值.
(2)先判断角的范围，再求的值，可求得的值.
【详解】
（1）.
,可得：

（2）由，均为锐角，由（1）
所以，所以

所以
本题考查三角函数的诱导公式和角变换的应用，考查知值求值和角，属于中档题.
19、（1）
（2）
【解析】
（1）由得
则有=
得即.
（2）由推出；而,
即得,
则有解得
20、（1）；（2）
【解析】
（1）反解，然后交换的位置，写出原函数的值域即可得到结果；
（2）代入原函数与反函数的解析式，解方程即可得到答案.
【详解】
（1）由得，得，
因为，所以，
所以.
（2）由得2，
所以，即，解得，所以 ，
所以原方程的解集为.
本题考查了求反函数的解析式，考查了指数式与对数式的互化，属于中档题.
21、 (1).
(2).
【解析】
分析：（1）根据条件设圆的方程为，由题意可解得，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．
详解：（1）由题意设圆心为，半径为，
则圆的标准方程为．
由题意得，解得，
所以圆的标准方程为．
（2）由圆的切线的性质得，
而．
由几何知识可得，
又，
所以，
故，
所以，
即四边形面积的取值范围为．
点睛：解决圆的有关问题时经常结合几何法求解，借助图形的直观性可使得问题的求解简单直观．如在本题中将四边形的面积转化为切线长的问题，然后再转化为圆外一点到圆上的点的距离的范围的问题求解．