江西省上饶市“山江湖”协作体统招班2024-2025学年高一数学第二学期期末监测试题含解析.doc

江西省上饶市“山江湖”协作体统招班2024-2025学年高一数学第二学期期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在等差数列中，若，则( )
A．45 B．75 C．180 D．320
2．圆关于原点对称的圆的方程为( )
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为
A． B．π C．2π D．4π
4．已知函数的部分图象如图所示，则的值为( )

A． B． C． D．
5．下列命题中不正确的是（ ）
A．平面∥平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面
B．平面∥平面，则内的任意一条直线都平行于平面
C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
6．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过 的直线 与双曲线相交于 ， 两点，且 的中点为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，⊥底面，且，则此三棱锥外接球的半径为（ ）

A． B． C． D．
8．设点M是直线上的一个动点，M的横坐标为，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．下列函数中，是偶函数且在区间上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设公差不为零的等差数列的前项和为.若，，则
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域为__________；
12．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是_________.

13．已知两条直线, 将圆及其内部划分成三个部分, 则的取值范围是_______；若划分成的三个部分中有两部分的面积相等, 则的取值有_______种可能.
14．在中，角的对边分别为，若面积，则角__________．
15．圆台两底面半径分别为2 cm和5 cm，母线长为cm，则它的轴截面的面积是________cm2.
16．方程的解=__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知正项等比数列中，，，等差数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．在四棱锥中，四边形是正方形，平面，且，点为线段的中点.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19．等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
20．设等差数列的前项和为，已知，，；
（1）求公差的取值范围；
（2）判断与0的大小关系，并说明理由；
（3）指出、、、中哪个最大，并说明理由；
21．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北的方向上，仰角为，行驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上．

（1）求此山的高度（单位：km）；
（2）设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为，求．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
试题分析：因为数列为等差数列，且，所以，，从而，所以，而，所以，故选C.
考点：等差数列的性质.
2、D
【解析】
根据已知圆的方程可得其圆心，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.
【详解】
由圆，则圆心为，半径，
圆心为关于原点对称点为，
所以圆关于原点对称的圆的方程为.
故选：D
本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.
3、B
【解析】
根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.
【详解】
在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，
故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.
故选B.
本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
4、C
【解析】
结合函数图像，由函数的最值求出A，由周期求出，再由求出的值.
【详解】
由图像可知：,故，
又，
所以
又，故：.
故选:C
本题考查了利用图像求三角函数的解析式，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.
5、A
【解析】
逐一考查所给的选项是否正确即可.
【详解】
逐一考查所给的选项：
A. 平面∥平面，一条直线平行于平面，可能a在平面内或与相交，不一定平行于平面，题中说法错误；
B. 由面面平行的定义可知：若平面∥平面，则内的任意一条直线都平行于平面，题中说法正确；
C. 由面面平行的判定定理可得：若一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，题中说法正确；
D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，题中说法正确.
本题选择A选项.
本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：
（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；
（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.
6、B
【解析】
由题可知，直线：，设，
，得，又，
解得，所以双曲线方程为，故选B。
7、D
【解析】
过的中心M作直线,
则上任意点到的距离相等，过线段中点作平面，
则面上的点到的距离相等，
平面与的交点即为球心O，
半径，故选D.
考点：求解三棱锥外接球问题.
点评：此题的关键是找到球心的位置（球心到4个顶点距离相等）.
8、D
【解析】
由题意画出图形，根据直线与圆的位置关系可得相切，设切点为P,数形结合找出M点满足|MP|≤|OP|的范围,从而得到答案．
【详解】
由题意可知直线与圆相切，如图，

设直线x+y−2=0与圆相切于点P，
要使在圆上存在点N,使得，
使得最大值大于或等于时一定存在点N，使得，
而当MN与圆相切时，此时|MP|取得最大值，
则有|MP|≤|OP|才能满足题意，
图中只有在M1、M2之间才可满足，
∴的取值范围是[0,2].
故选：D.
本题考查直线与圆的位置关系，根据数形结合思想，画图进行分析可得，属于中等题.
9、A
【解析】
逐一分析选项，得到答案.
【详解】
A.是偶函数,并且在区间时增函数，满足条件；
B.不是偶函数,并且在上是减函数，不满足条件；
C.是奇函数,并且在区间上时减函数，不满足条件；
D.是偶函数，在区间上是减函数，不满足条件；
故选A.
本题考查了函数的基本性质，属于基础题型.
10、C
【解析】
由等差数列的前n项和公式可得，恰好等于，再根据当时有可得m的值。
【详解】
，，.，，数列的公差不为零，，即.
本题考查等差数列的性质求和前n项和公式及等差数列下标和的性质，属于基础题。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．
【详解】
依题意可得，，解得即，
故函数的定义域为．
故答案为：．
本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．
12、3
【解析】
将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积.
【详解】
根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：

则，
故.
又两向量的夹角为锐角，
故，
则该平行四边形的面积为.
故答案为：3.
本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题.
13、 3
【解析】
易知直线过定点，再结合图形求解.
【详解】
依题意得直线过定点，如图：

若两直线将圆分成三个部分，
则直线必须与圆相交于图中阴影部分.
又，
所以的取值范围是；
当直线位于时，
划分成的三个部分中有两部分的面积相等.
本题考查直线和圆的位置关系的应用，直线的斜率，结合图形是此题的关键.
14、
【解析】
根据面积公式计算出的值，然后利用反三角函数求解出的值.
【详解】
因为，所以，则，则有：.
本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.
15、63
【解析】
首先画出轴截面，然后结合圆台的性质和轴截面整理计算即可求得最终结果.
【详解】
画出轴截面，
如图，过A作AM⊥BC于M，
则BM＝5－2＝3(cm)，
AM＝＝9(cm)，
所以S四边形ABCD＝＝63(cm2)．

本题主要考查圆台的空间结构特征及相关元素的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16、-1
【解析】
分析：由对数方程，转化为指数方程，解方程即可.
详解：由log2（1﹣2x）=﹣1可得（1﹣2x）=，
解方程可求可得，x=﹣1
故答案为:﹣1
点睛：本题主要考查了对数方程的求解，解题中要善于利用对数与指数的转化，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）设正项等比数列的公比为q(q>0)，由已知列式求得公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由，求解等差数列的公差，则数列的前n项和可求．
【详解】
(1)设正项等比数列的公比为q(q>0)，
由,得，则q=3.
；
(2)设等差数列的公差为d，
由，
得，
∴d=3.
∴数列的前n项和
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了等比数列的通项公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明得到平面.
（2）先证明就是三棱锥的高，再利用体积公式得到三棱锥的体积.
【详解】
（1）证明：连结交于，连结.
∵四边形是正方形，
在中，为中点，
又∵为中点 ∴.
又∵平面，平面.
∴平面.

（2）解：取中点，连结.

则且.
∵平面，∴平面，
∴就是三棱锥的高.
在正方形中，.
∴.
本题考查了线面平行，三棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19、（1）（2）
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
因为所以.
解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝＝，
所以Sn＝
20、（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析；
【解析】
（1）由，，，得到不等式且，即可求解公差 的取值范围；
（2）由，，结合等差数列的性质和前项和公式，得到且，即可求解；
（3）有（2）知，可得，数列为递减数列，即可求解.
【详解】
（1）由题意，等差数列的前项和为，且，，，
可得，，
即且，解得，
即公差的取值范围是.
（2）由，，可得且，
即且，所以，所以.
（3）有（2）知，可得，数列为递减数列，
当时，，当时，，
所以、、、中最大.
本题主要考查了等差数列的前项和公式，等差数列的性质，以及等差数列的单调性的应用，其中解答熟记等差数列的前项和公式，等差数列的性质，合理利用数列的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21、（1）km．（2）
【解析】
(1) 设此山高,再根据三角形中三角函数的关系以及正弦定理求解即可.
(2) 由题意可知,当点C到公路距离最小时,仰望山顶D的仰角达到最大,再计算到直线的距离即可.
【详解】
解：（1）设此山高,则,
在中,,,．
根据正弦定理得,
即,
解得（km）．
（2）由题意可知,当点C到公路距离最小时,仰望山顶D的仰角达到最大,
所以过C作,垂足为E,连接DE．
则,,,
所以．

本题主要考查了解三角形在实际中的运用,需要根据题意找到对应的直角三角形中的关系,或利用正弦定理求解.属于中档题.