2025年新疆阿克苏市农一师高级中学高一下数学期末达标测试试题含解析.doc

2025年新疆阿克苏市农一师高级中学高一下数学期末达标测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（）
A． B． C． D．
3．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（ 　　）
A． B． C． D．
5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝石和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的分别为（ ）

A．90，86 B．98，78 C．94，82 D．102，74
6．把函数的图象沿轴向右平移个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，可得函数 的图象，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列共有项，满足，且对任意、，有仍是该数列的某一项，现给出下列个命题：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合中共有个元素．则其中真命题的个数是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了根棉花的纤维长度（单位：），将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理的是（　　）

A．这批棉花的纤维长度不是特别均匀
B．有一部分棉花的纤维长度比较短
C．有超过一半的棉花纤维长度能达到以上
D．这批棉花有可能混进了一些次品
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.
12．已知，则的值是______.
13．若，则________.
14．终边经过点，则_____________
15．为等比数列，若，则_______.
16．如图，矩形中，，，是的中点，将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.
（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
18．某校名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是,,,，，.

求图中的值；
根据频率分布直方图,估计这名学生的平均分；
若这名学生的数学成绩中,某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如表所示,求英语成绩在的人数.
分数段

:5
1:2
1:1

19．设全集为，集合，集合.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
20．已知圆.
(1)过原点的直线被圆所截得的弦长为2，求直线的方程；
(2)过外的一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，若，求使最短时的点坐标.
21．数列的前n项和满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列为等差数列，且，求数列的前n项.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由不等式与方程的关系可得且，则等价于，再结合二次不等式的解法求解即可.
【详解】
解：由关于x的不等式的解集是，
由不等式与方程的关系可得且，
则等价于等价于，
解得，
即关于x的不等式的解集是，
故选：D.
本题考查了不等式与方程的关系，重点考查了二次不等式的解法，属基础题.
2、A
【解析】
由题意知两直线互相垂直，根据直线分别求出定点与定点，再利用基本不等式，即可得出答案。
【详解】
直线过定点，
直线过定点,
又因直线与直线互相垂直，
即
即，当且仅当时取等号
故选A
本题考查直线位置关系，考查基本不等式，属于中档题。
3、A
【解析】
根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.
【详解】
选项：由线面垂直的性质定理可知正确；
选项：由线面垂直判定定理知，需垂直于内两条相交直线才能说明，错误；
选项：若，则平行关系不成立，错误；
选项：的位置关系可能是平行或异面，错误.
故选：
本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.
4、D
【解析】
由题意，男生30人，女生20人，按照分层抽样方法从中抽取5人，则男生为人，女生为，
从这5人中随机选取2人，共有种，全是女生的只有1种，
所以至少有1名女生的概率为，故选D.
5、B
【解析】
（1）；
（2）；
（3）；
（4），输出分别为98，78。
故选B。
6、C
【解析】
根据三角函数图像变换的原则，即可得出结果.
【详解】
先把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到；再把图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到.
故选C
本题主要考查三角函数的图像变换问题，熟记图像变换的原则即可，属于常考题型.
7、D
【解析】
对任意的、，有仍是该数列的某一项，可得出是该数列中的项，由于，可得，即，以此类推即可判断出结论.
【详解】
对任意、，有仍是该数列的某一项，,
当时，则，必有，即，
而或.
若，则，而、、，舍去；
若，此时，，同理可得.
可得数列为：、、、、.
综上可得：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合，该集合中共有个元素.
因此，（1）（2）（3）（4）都正确.
故选：D.
本题考查有关数列命题真假的判断，涉及数列的新定义，考查推理能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.
8、A
【解析】
由给出的递推式变形，构造出新的等比数列，由等比数列的通项公式求出的表达式，再利用等比数列的求和公式求解即可.
【详解】
解：解：在数列中，
由，得，
，
，
则数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
.
，
故选：A.
本题考查了数列的递推式，考查了等比关系的确定以及等比数列的求和公式，属中档题.
9、A
【解析】
可借助直线方程和平面直角坐标系，代换出之间的关系，再结合向量的数量积公式进行求解即可
【详解】
如图所示：

设直线方程为：，，，
由得，可设，则，，
，
，当时，，故
故选A
本题考查向量数量积的坐标运算，向量法在几何中的应用，属于中档题
10、C
【解析】
根据频率分布直方图计算纤维长度超过的频率，可知不超过一半，从而得到结果.
【详解】
由频率分布直方图可知，纤维长度超过的频率为：
棉花纤维长度达到以上的不超过一半 不合理
本题正确选项：
本题考查利用频率分布直方图估计总体数据的分布特征，关键是能够熟练掌握利用频率分布直方图计算频率的方法.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据奇偶性，先计算，再计算
【详解】
因为是定义在上的奇函数，所以.
因为当时，
所以.
故答案为
本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.
12、
【解析】
根据两角差的正切公式即可求解
【详解】

故答案为：
本题考查两角差的正切公式的用法，属于基础题
13、
【解析】
观察式子特征，直接写出，即可求出。
【详解】
观察的式子特征，明确各项关系，以及首末两项，即可写出，
所以，相比，增加了后两项，少了第一项，故。
本题主要考查学生的数学抽象能力，正确弄清式子特征是解题关键。
14、
【解析】
根据正弦值的定义，求得正弦值.
【详解】
依题意.
故答案为：
本小题主要考查根据角的终边上一点的坐标求正弦值，属于基础题.
15、
【解析】
将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。
【详解】
相当于，
相当于，
上面两式相除得代入就得，
基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。
16、
【解析】
取中点为，中点为，连接，则异面直线和所成角为 .在中，利用边长关系得到余弦值.
【详解】
由题意，
取中点，连接，则，可得直线和所成角的平面角为，（如图）

过作垂直于，平面⊥平面，
，
平面，，
且，结合平面图形可得：,
,,
又=, ∴=,

∴在中，=,
∴△DFC是直角三角形且，
可得．
本题考查了异面直线的夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.
【解析】
试题分析：（1）根据利润等于收入减成本列式： ，由投入的肥料费用不超过5百元及实际意义得定义域，（2）利用基本不等式求最值：先配凑： ，再根据一正二定三相等求最值.
试题解析：解：（1） （）.
（2）
.
当且仅当时，即时取等号.
故.
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.
18、（1）（2）平均数为（3）人
【解析】
(1)根据面积之和为1列等式解得.
(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,
(3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可.
【详解】
解：由,
解得.
频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,
即估计平均数为.
由频率分布直方图可求出这名学生的数学成绩在,,的分别有人,人,人,按照表中给的比例,则英语成绩在,,的分别有人,人,人,所以英语成绩在的有人.
本题考查了频率分布直方图,属中档题.
19、（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
（1）化简集合，按并集的定义，即可求解；
（2）得，结合数轴，确定集合端点位置，即可求解.
【详解】
解：（Ⅰ）集合，
集合，
∴；
（Ⅱ）由，且，
∴，由题意知，
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
本题考查集合间的运算，考查集合的关系求参数，属于基础题.
20、 (1) 或;(2)
【解析】
(1)利用垂径定理求出圆心到直线的距离,再分过原点的直线的斜率不存在与存在两种情况,分别根据点到线的距离公式求解即可.
(2)设,再根据圆的切线长公式以及求出关于关于的关系,再代入的表达式求取得最小值时的即可.
【详解】
(1) 圆圆心为,半径为.
当直线的斜率不存在时,圆心到直线的距离,故不存在.
当直线的斜率存在时,设的方程：,即.
则圆心到的距离,由垂径定理得,
即,即,解得.
故的方程为或
(2) 如图,设, 因为,故,则,
即,化简得,即.
此时,
故当,即时最短.
此时

本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及设点根据距离公式求距离最值的问题.需要根据题意列出关系式化简,并用二次函数在对称轴处取最值的方法.属于中档题.
21、 (1)见证明；(2)
【解析】
（1）利用与的关系，即要注意对进行讨论，再根据等比数列的定义，证明为常数；
（2）利用错位相减法对数列进行求和.
【详解】
解（1）当时，，所以
因为①，所以当时，②，
①-②得，所以，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，所以，
因为，所以，
设的公差为，则，所以
所以，
，
所以，
则，
以上两式相减得：
，
所以.
数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和可采用错位相减法求和，注意求和后要保证常数的准确性.