2025年四川省成都市七中高一下数学期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025年四川省成都市七中高一下数学期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一个几何体的三视图分别是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的体积是( )

A． B． C． D．
2．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
3．如右图所示的直观图，其表示的平面图形是
（A）正三角形 （B）锐角三角形
（C）钝角三角形 （D）直角三角形

4．在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则（ ）
A． B． C． D．7
6．在△中，若，则△为（）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
7．某校高二理（1）班学习兴趣小组为了调查学生喜欢数学课的人数比例，设计了如下调查方法：
（1）在本校中随机抽取100名学生，并编号1，2，3，…，100；
（2）在箱内放置了两个黄球和三个红球，让抽取到的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；
（3）请下列两类学生站出来，一是摸到黄球且编号数为奇数的学生，二是摸到红球且不喜欢数学课的学生。
若共有32名学生站出来，那么请用统计的知识估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（ ）
A．80% B．85% C．90% D．92%
8．甲、乙两名同学八次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（ ）

A．85，85 B．85，86 C．85，87 D．86，86
9．设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是（ ）
A．1 B．－2 C．1或－2 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知实数满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是__________.
12．正方形和内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设，若两正方形面积分别为=441，=440，则=______

13．直线与间的距离为________ ．
14．如图，在正方体中，点P是上底面（含边界）内一动点，则三棱锥的主视图与俯视图的面积之比的最小值为______.

15．已知圆锥的母线长为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积是______.
16．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在中，已知点D在边BC上，，的面积是面积的倍，且，.

（1）求；
（2）求边BC的长.
18．已知在三棱锥S-ABC中，∠ACB=，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.

19．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求的值.
20．设函数，定义域为．
（1）求函数的最小正周期，并求出其单调递减区间；
（2）求关于的方程的解集．
21．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设.

（1）若点的坐标为，求椭圆的方程及的值；
（2）若，求椭圆的离心率的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由给定的几何体的三视图得到该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，结合圆柱的体积公式，即可求解.
【详解】
由题意，根据给定的几何体的三视图可得：该几何体表示一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，所以该半圆柱的体积为.
故选：C.
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
2、B
【解析】
首先利用辅助角公式将函数化为，然后再采用整体代入即可求解.
【详解】
由函数，
所以，解得，
当时，
故函数图象的对称中心的是.
故选：B
本题考查了辅助角公式以及整体代入法求三角函数的中心对称点，需熟记三角函数的性质，属于基础题.
3、D
【解析】略
4、D
【解析】
因为，所以，即；故选D.
5、A
【解析】
由题意，焦点坐标，所以，解得，故选A。
6、A
【解析】
利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到，进而判断出正确选项.
【详解】
由正弦定理得，所以，所以，故三角形为等腰三角形，故选A.
本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
7、A
【解析】
先分别计算号数为奇数的概率、摸到黄球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到黄球且号数为奇数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得估计该校学生中喜欢数学课的人数比例．
【详解】
解：由题意，号数为奇数的概率为0.5，摸到黄球的概率为，摸到红球的概率为
那么按概率计算摸到黄球且号数为奇数的学生有个
共有32名学生站出来，则有12个摸到红球且不喜欢数学课的学生，
不喜欢数学课的学生有：，
喜欢数学课的有80个，
估计该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是：．
故选：．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8、B
【解析】
根据茎叶图的数据，选择对应的众数和中位数即可.
【详解】
由图可知，甲同学成绩的众数是85；乙同学的中位数是.
故选：B.
本题考查由茎叶图计算数据的众数和中位数，属基础计算题.
9、B
【解析】
由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．
考点：余弦定理．
10、A
【解析】
分类讨论直线的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求．
【详解】
①当时，两直线分别为和，此时两直线相交，不合题意．
②当时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得，解得．
综上可得．
故选A．
本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若，则
且或且．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用数形结合，讨论的范围，比较斜率大小，可得结果.
【详解】
如图，

当时，，则在点处取最小值，符合
当时，令，
要在点处取最小值，则
当时，
要在点处取最小值，则
综上所述：
故答案为：
本题考查目标函数中含参数的线性规划问题，难点在于寻找斜率之间的关系，属中档题.
12、
【解析】
首先根据在正方形S1和S2内，S1＝441，S2＝440，分别求出两个正方形的边长，然后分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式，求出sin2α的值即可．
【详解】
因为S1＝441，S2＝440，
所以FD21，MQ＝MN，
因为AC＝AF+FC2121，
AC＝AM+MCMNcosαcosα，
所以：21cosα，
整理，可得：（sinαcosα+1）＝21（sinα+cosα），
两边平方，可得110sin22α﹣sin2α﹣1＝0，
解得sin2α或sin2α（舍去），
故sin2α．
故答案为：．
本题主要考查了三角函数的求值问题，考查了正方形、直角三角形的性质，属于中档题，解答此题的关键是分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式．
13、
【解析】
根据两平行线间的距离，，代入相应的数据，整理计算得到答案.
【详解】
因为直线与互相平行，
所以根据平行线间的距离公式，
可以得到它们之间的距离，
.
本题考查两平行线间的距离公式，属于简单题.
14、
【解析】
设正方体的棱长为，求出三棱锥的主视图面积为定值，当与重合时，三棱锥的俯视图面积最大，此时主视图与俯视图面积比值最小.
【详解】
设正方体的棱长为，则三棱锥的主视图是底面边为，高为的三角形，
其面积为，
当与重合时，三棱锥的俯视图为正方形，其面积最大，最大值为，
所以，三棱锥的主视图与俯视图面积比的最小值为.
故答案为：.
本题考查了空间几何体的三视图面积计算应用问题，属于基础题.
15、
【解析】
根据题意得，解得，求得圆锥的高，利用体积公式，即可求解．
【详解】
设圆锥底面的半径为，根据题意得，解得，
所以圆锥的高，
所以圆锥的体积.
本题主要考查了圆锥的体积的计算，以及圆锥的侧面展开图的应用，其中解答中根据圆锥的侧面展开图，求得圆锥的底面圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16、
【解析】
利用空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征解答即可.
【详解】
在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标对应互为相反数，所以点关于原点的对称点的坐标为.
故答案为：
本题主要考查空间直角坐标系中对称点的特点，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）利用三角形面积公式得出和的表达式，由，化简得出的值；
（2）由结合，得出，在中，利用余弦定理得出，再由余弦定理得出，进而得出，由直角三角形的边角关系得出，最后由得出的长.
【详解】
（1）因为，，且，
所以
即，所以.
（2）由（1）知，所以
在中，，，
由余弦定理
所以.
且
所以，解得.
所以.即边BC的长为.
本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.
18、证明见解析
【解析】
先由SA⊥面ABC，得BC ⊥SA，又BC⊥AC，得BC⊥面SAC，故BC⊥AD，又SC⊥AD，所以AD⊥面SBC.
【详解】
证明：因为SA⊥面ABC， BC面ABC，
所以BC ⊥SA；
又由∠ACB=，得BC⊥AC，且AC、SA是面SAC内的两相交线，
所以BC⊥面SAC；
又AD面SAC，
所以 BC⊥AD，
又已知SC⊥AD，且BC、SC是面SBC内两相交线，
所以 AD⊥面SBC.
本题考查了线面垂直的证明与性质，属于基础题.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由面面垂直的性质定理得出平面，可得出，再推导出，利用线面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；
（2）推导出平面，计算出的面积，然后利用锥体体积公式可求得三棱锥的体积，进而得解.
【详解】
（1）因为四边形是矩形，故，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又面，所以，

在等腰梯形中，，，
因，故，，即，
又，故平面，
平面，所以平面平面；
（2）的面积为，
，平面，所以，平面，
，故.
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用三棱锥体积求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20、（1）最小正周期为，单调递减区间为；
（2）.
【解析】
（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，由周期公式可得出函数的最小正周期，由
，解出的范围得出函数的单调递减区间；
（2）由，得出，解出该方程可得出结果.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为，
由，得，
因此，函数的单调递减区间为；
（2）令，得，
或，
解得或，
因此，关于的方程的解集为.
本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）把的坐标代入方程得到，结合解出后可得标准方程.求出直线的方程，联立椭圆方程和直线方程后可求的坐标，故可得的值.
（2）因，故可用表示的坐标，利用它在椭圆上可得与的关系，化简后可得与离心率的关系，由的范围可得的范围.
【详解】
（1）因为垂直于轴，且点的坐标为，
所以，，
解得，，所以椭圆的方程为.
所以，直线的方程为，
将代入椭圆的方程，解得，
所以.
（2）因为轴，不妨设在轴上方，，.设，因为在椭圆上，所以，解得，即.
（方法一）因为，由得，，，解得，，所以.
因为点在椭圆上，所以，即，所以，从而.
因为，所以.
解得，
所以椭圆的离心率的取值范围.
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 圆锥曲线中的离心率的计算或范围问题，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系或不等式关系，其中不等式关系的构建需要利用题设中的范围、坐标的范围、几何量的范围或点的位置等．