2024-2025学年河北省行唐县第一中学高一数学第二学期期末经典试题含解析.doc

2024-2025学年河北省行唐县第一中学高一数学第二学期期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为(　　)
A．①随机抽样法，②系统抽样法
B．①分层抽样法，②随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
2．在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
3．等差数列中，，则数列前9项的和等于（ ）
A．66 B．99 C．144 D．297
4．在△ABC中，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．都有可能
5．已知，是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（　　）

①AC∥平面BEF；
②B、C、E、F四点可能共面；
③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；
④平面BCE与平面BEF可能垂直
A．0 B．1 C．2 D．3
7．表示不超过的最大整数，设函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为（）

A．90° B．45° C．60° D．30°
9．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
10．若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则 .
12．在中，三个角所对的边分别为．若角成等差数列，且边成等比数列，则的形状为_______．
13．设为偶函数，则实数的值为________.
14．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若的最大值为，则实数__________．
15．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.
16．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角的平分线交于点D，是面积的倍.
（I）求的值；
（II）若，，求的值.
18．已知等差数列满足．
（1） 求的通项公式；
（2） 设等比数列满足,求的前项和．
19．如图，已知圆： ，点.

（1）求经过点且与圆相切的直线的方程；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，为线段的中点，求线段长度的取值范围.
20．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线yx上.
（1）求圆的标准方程；
（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.
21．设两个非零向量，不共线，如果，，.
（1）求证：、、共线；
（2）试确定实数，使和共线.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
①由于社会购买力与收入有关系，所以应采用分层抽样法；②由于人数少，可以采用简单随机抽样法
要完成下列二项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中，选出100户调查社会
解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响
而社区中各个家庭收入差别明显
①用分层抽样法，
而从某中学的15名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中
个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，
∴②用随机抽样法
故选B
2、D
【解析】
直接利用正弦定理，即可得到本题答案，记得要检验，大边对大角.
【详解】
因为，所以，又，所以，.
故选：D
本题主要考查利用正弦定理求角.
3、B
【解析】
根据等差数列性质，结合条件可得，进而求得.再根据等差数列前n项和公式表示出，即可得解.
【详解】
等差数列中，，
则，
解得，
因而，
由等差数列前n项和公式可得，
故选：B.
本题考查了等差数列性质的应用，等差数列前n项和公式的用法，属于基础题.
4、A
【解析】
由正弦定理化已知条件为边的关系，然后由余弦定理可判断角的大小．
【详解】
∵asinA+bsinB＜csinC，∴，∴，∴为钝角．
故选A．
本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角形形状的判断，属于基础题．
5、B
【解析】
根据条件可得，，，然后进行数量积的运算即可.
【详解】
根据条件，，，

，
当时，取最小值.
故选：B
本题考查了向量数量积的运算，同时考查了二次函数的最值，属于基础题.
6、C
【解析】
根据折叠前后线段、角的变化情况，由线面平行、面面垂直的判定定理和性质定理对各命题进行判断，即可得出答案．
【详解】
对①，在图②中，连接交于点，取中点，连接MO，易证AOMF为平行四边形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正确；

对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；
对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EFFD，又EFCF，∴EF平面CDF，
即有CDEF，∴CD平面ADEF，则平面ADEF平面ABCD，故③正确；
对④，在图②中，延长AF至G，使得AF=FG，连接BG，EG，易得平面BCE平面ABF，BCEG四点共面．过F作FNBG于N，则FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，
则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．
故选：C．

本题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
7、D
【解析】
由已知可证是奇函数，是互为相反数，对是否为正数分类讨论，即可求解.
【详解】
的定义域为，
,
，是奇函数，
设，若是整数，则，
若不是整数，则.
的值域是.
故选:D.
本题考查函数性质的应用，考查对新函数定义的理解，考查分类讨论思想，属于中档题.
8、A
【解析】
取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.
【详解】
取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30°，所以，与所成角的大小等于的度数.

在中，
，故本题选A.
本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.
9、B
【解析】
化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
10、D
【解析】
由直线的倾斜角得知直线的斜率为，再利用斜率公式可求出的值.
【详解】
由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，
由斜率公式得，解得，故选D.
本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：两式平方相加并整理得，所以.注意公式的结构特点，从整体去解决问题.
考点：三角恒等变换.
12、等边三角形
【解析】
分析：角成等差数列解得，边成等比数列，则，再根据余弦定理得出的关系式．
详解：角成等差数列，则解得，边成等比数列，则，余弦定理可知
故为等边三角形．
点睛：判断三角形形状，是根据题意推导边角关系的恒等式．
13、4
【解析】
根据偶函数的定义知，即可求解.
【详解】
因为为偶函数，
所以,
故，解得.
故填4.
本题主要考查了偶函数的定义，利用定义求参数的取值，属于中档题.
14、1或；
【解析】
要使最大，则最小．
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为．
∵若的最大值为，
∴，解得或．
故答案为1或．
本题考查直线与圆的位置关系，解题思路是平面上对圆的张角问题，显然在点固定时，圆外的点作圆的两条切线，这两条切线间的夹角是最大角，而当点离圆越近时，这个又越大．
15、512
【解析】
由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.
【详解】
是等比数列，
，，
，，
和是方程的两个实数根，
解方程，
得，，
公比q为整数，
，，
，解得，
.故答案为：512
本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
16、1
【解析】
由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．
【详解】
由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，
也可适当排序后成等比数列，
可得①或②．
解①得：；解②得：．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=1．
故答案为1．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
【思路点睛】
解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）；（II）.
【解析】
（I）根据是面积的倍列式，由此求得的值.（II）用来表示，利用正弦定理和两角差的正弦公式，化简（I）所得的表达式，求得的值，进而求得的值，利用正弦定理求得的值.
【详解】
（I）因为AD平分角，所以．
所以．
（II）因为，所以，
由（I）．
所以，即．
得，因为AD平分角，所以．
因为，由正弦定理知，
即，得．
本小题主要考查三角形的面积公式，考查三角形内角和定理，考查正弦定理解三角形，考查角平分线的性质，属于中档题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.
【详解】
解：（1）设的公差为，则由得,
故的通项公式，即．
（2）由（1）得．
设的公比为，则，从而，
故的前项和．
本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.
19、（1）或；（2）.
【解析】
试题分析：（1）设直线方程点斜式，再根据圆心到直线距离等于半径求斜率；最后验证斜率不存在情况是否满足题意（2）先求点的轨迹：为圆，再根据点到圆上点距离关系确定最值
试题解析：（1）当过点直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件．
当切线的斜率存在时，设： ，即，
圆心到切线的距离等于半径3，
，解得．
切线方程为，即
故所求直线的方程为或．
（2）由题意可得， 点的轨迹是以为直径的圆，记为圆．
则圆的方程为．
从而，
所以线段长度的最大值为，最小值为，
所以线段长度的取值范围为．
20、（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16
（2）1
【解析】
（1）先求出圆心的坐标和圆的半径，即得圆的标准方程；（2）求出圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离即得解.
【详解】
（1）A（2，5），B（﹣2，1）中点为（0，3），
经过A（2，5），B（﹣2，1）的直线的斜率为，
所以线段AB中垂线方程为，联立直线方程y解得圆心坐标为（2，1），
所以圆的半径.
所以圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16.
（2）圆的圆心为（2，1），半径r＝4.
圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离d.
则圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离为d﹣r＝1.
本题主要考查圆的标准方程的求法和圆上的点到直线的距离的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21、（1） 证明见解析 （2）
【解析】
(1) 要证、、共线，只要证明存在实数，使得成立即可.
(2) 利用向量共线的充要条件和两个非零向量与不共线即可求出.
【详解】
(1) 证明：由.
又，则.
所以.
所以、、共线.
（2）和共线，则存在实数，使得成立.
向量，不共线,所以，解得：
所以当时，使和共线.
本题考查利用向量共线的充要条件证明点共线和求参数的值.