安徽省安师大附中2024-2025学年高一数学第二学期期末综合测试试题含解析.doc

安徽省安师大附中2024-2025学年高一数学第二学期期末综合测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在等比数列中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ）
A．60里 B．48里 C．36里 D．24里
3．已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（）
A． B．
C． D．
4．的值等于（　 ）
A． B． C． D．
5．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
8．设为锐角三角形，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是（　　）
A．10 B．8 C．4 D．2
9．设为等比数列的前n项和,若,,成等差数列,则( )
A．,,成等差数列 B．,,成等比数列
C．,,成等差数列 D．,,成等比数列
10．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若关于的方程（）在区间有实根，则最小值是____．
12．在中，给出如下命题:
①是所在平面内一定点，且满足，则是的垂心；
②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；
③是内一定点，且，则；
④若且，则为等边三角形，
其中正确的命题为_____（将所有正确命题的序号都填上）
13．等比数列前n项和为，若，则______.
14．如图，已知圆，六边形为圆的内接正六边形，点为边的中点，当六边形绕圆心转动时，的取值范围是________．

15．设奇函数的定义域为R，且对任意实数满足，若当∈[0,1]时，,则____.
16．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（）的一段图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）若，求函数的值域.
18．已知点，圆.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.
19．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．
20．已知数列满足关系式，.
（1）用表示，，；
（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.
21．已知函数，（，，）的部分图象如图所示，其中点是图象的一个最高点．

（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）已知且，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
根据等比数列的性质：若，则.
【详解】
等比数列中，，，故选B.
本题考查等比数列的通项公式和性质，此题也可用通项公式求解.
2、B
【解析】
根据题意得出等比数列的项数、公比和前项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得的值.
【详解】
依题意步行路程是等比数列，且，，，故，解得，故里.故选B.
本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前项和的基本量计算，属于基础题.
3、B
【解析】
根据奇函数的性质求出的解析式，然后分类讨论求出不等式
的解集.
【详解】
因为是定义在上的奇函数，所以有，显然是不等式的解集；
当时，；
当时，，综上所述：不等式的解集是，故本题选B.
本题考查了利用奇函数性质求解不等式解集问题，考查了分类思想，正确求出函数的解析式是解题的关键.
4、D
【解析】
利用诱导公式先化简，再利用差角的余弦公式化简得解.
【详解】
由题得原式=.
故选D
本题主要考查诱导公式和差角的余弦公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5、B
【解析】
根据，结合基本不等式可求得，从而得到关于的不等式，解不等式求得结果.
【详解】
由题意知：
， ，
（当且仅当，即时取等号）
，解得：
本题正确选项：
本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.
6、D
【解析】
A项中，需要看分母的正负；B项和C项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小.
【详解】
A项中，若，则有，故A项错误；B项中，若，则，故B项错误；C项中，若则即，故C项错误；D项中，若，则一定有，故D项正确.
故选：D
本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.
7、D
【解析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，
A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），
设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝ ,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．
故选D．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.
8、B
【解析】
令，得直线在x、y轴上的截距，求得三角形面积并利用二倍角公式化简，根据三角函数图象和性质求得面积最小值即可.
【详解】
令得直线在y轴上的截距为，
令得直线在x轴上的截距为，
其围成的三角形面积：
，
求S的最小值转化为求函数的最小值，
因为为锐角，所以，
当时取最小值−1，
则，故围成三角形面积最小值为8.
故选：B.
本题考查直线方程与三角函数二倍角公式的应用，综合题性较强，属于中等题.
9、A
【解析】
先说明不符合题意，由时，成等差数列，算得，然后用表示出来，即可得到本题答案.
【详解】
设等比数列的公比为q，首项为，当时，有，不满足成等差数列；当时，因为成等差数列，所以，即
，化简得，解得，所以，，，则成等差数列.
故选：A
本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用，计算出等比数列的公比是关键，考查计算能力，属于中等题.
10、B
【解析】
算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，利用古典概型的概率的计算公式可求概率.
【详解】
设为“恰好抽到2幅不同种类”
某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，
现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数，
恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数，
则恰好抽到2幅不同种类的概率为．
故选B．
计算出所有的基本事件的总数及随机事件中含有的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算即可.计数时应该利用排列组合的方法.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
将看作是关于的直线方程，则表示点到点的距离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单调性，可求出最小值。
【详解】
将看作是关于的直线方程，
表示点与点之间距离的平方，
点到直线的距离为，
又因为，令，
在上单调递增，所以，
所以的最小值为．
本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化思想的的应用。
12、①②④．
【解析】
①:运用已知的式子进行合理的变形，可以得到，进而得到，再次运用等式同样可以得到,，这样可以证明出是的垂心；
②：运用平面向量的减法的运算法则、加法的几何意义，结合平面向量共线定理，可以证明本命题是真命题；
③：运用平面向量的加法的几何意义以及平面向量共线定理，结合面积公式，可证明出本结论是错误的；
④：运用平面向量的加法几何意义和平面向量的数量积的定义，可以证明出本结论是正确的.
【详解】
①: ，同理可得：,，所以本命题是真命题；
②: ，设的中点为，所以有，因此动点一定过的重心，故本命题是真命题；
③: 由，可得设的中点为，,
,故本命题是假命题；

④: 由可知角的平分线垂直于底边，故是等腰三角形，
由可知：，所以是等边三角形，故本命题是真命题，因此正确的命题为①②④.
本题考查了平面向量的加法的几何意义和平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想.
13、
【解析】
根据等比数列的性质得到成等比，从而列出关系式，又，接着用表示，代入到关系式中，可求出的值.
【详解】
因为等比数列的前n项和为，则成等比，且，
所以，又因为，即，所以，整理得.
故答案为：.
本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。解决本题的关键是根据等比数列的性质得到成等比.
14、
【解析】
先求出，再化简得即得的取值范围.
【详解】
由题得OM=,
由题得
由题得.
.
所以的取值范围是.
故答案为
本题主要考查平面向量的运算和数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15、
【解析】
根据得到周期，再利用周期以及奇函数将自变量转变到给定区间计算函数值.
【详解】
因为，所以，所以，又因为，所以，则，
故，又因为是奇函数，
所以，则.
（1）形如的函数是周期函数，周期；
（2）若要根据奇偶性求解分段函数的表达式，记住一个原则：“用未知表示已知”，也就是将自变量变形，利用已知范围和解析式求解.
16、
【解析】
空间直角坐标系中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数.
【详解】
空间直角坐标系中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数.
点关于原点的对称点的坐标为
故答案为：
本题考查了空间直角坐标系关于原点对称，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由函数的一段图象求得、、和的值即可；
（2）由，求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求得的最大和最小值即可．
【详解】
解：（1）由函数的一段图象知，
，，
，解得，
又时，，，，解得，；
，
函数的解析式为；
（2）当时，，
令，解得，此时取得最大值为2；
令，解得，此时取得最小值为；
函数的值域为．
本题考查了函数的图象和性质的应用问题，属于基础题．
18、（1）或；（2）.
【解析】
（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可．
（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可．
【详解】
（1）由圆的方程得到圆心，半径.
当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，
由题意得：，解得，
∴ 方程为，即.
故过点且与圆相切的直线方程为或.
（2）∵ 弦长为，半径为2.
圆心到直线的距离，
∴，
解得.
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．
19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE； （Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．
【详解】
证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．
∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，
∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PD
PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD
∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC
由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC
又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．

本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．
20、（1），，（2）猜想：，证明见解析
【解析】
（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明
【详解】
解：（1），∴，，；
（2）猜想：.
证明：当时，结论显然成立；
假设时结论成立，即，
则时，，即时结论成立.
综上，对时结论成立.
本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题
21、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由最值和两个零点计算出和的值，再由最值点以及的的范围计算的值；
（Ⅱ）先根据（Ⅰ）中解析式将表示出来，然后再利用两角和的正弦公式计算的值.
【详解】
解：（Ⅰ）由函数最大值为2，得
由
∴
又，，∴，，
又，∴
∴
（Ⅱ）∵，且，
∴
∴

根据三角函数图象求解析式的步骤：（1）由最值确定的值；（2）由周期确定的值；（3）由最值点或者图像上的点确定的取值.这里需要注意确定的值时，尽量不要选取平衡位置上的点，这样容易造成多解的情况.