2025届山东省栖霞市数学高一下期末统考模拟试题含解析.doc

2025届山东省栖霞市数学高一下期末统考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）

A． B． C． D．
4．已知等差数列中，则（　）
A．10 B．16 C．20 D．24
5．电视台某节目组要从名观众中抽取名幸运观众．先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样方法抽取人，则在人中，每个人被抽取的可能性（ ）
A．都相等，且为 B．都相等，且为
C．均不相等 D．不全相等
6．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）．

A． B． C． D．
7．函数是（ ）
A．奇函数 B．非奇非偶函数 C．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
8．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知点，， 则与向量方向相同的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
10．已知在中，为的中点，，，点为边上的动点，则最小值为（ ）
A．2 B． C． D．－2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点__________．

12．涡阳一中某班对第二次质量检测成绩进行分析，利用随机数表法抽取个样本时，先将个同学按、、、、进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读（注：如表为随机数表的第行和第行），则选出的第个个体是______.

13．已知扇形的圆心角，扇形的面积为，则该扇形的弧长的值是______.
14．_______________。
15．函数的单调递减区间是______.
16．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区域由所有满足的点组成，则的面积是__________．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知的三个内角，，的对边分别为，，，函数，且当时，取最大值.
（1）若关于的方程，有解，求实数的取值范围；
（2）若，且，求的面积.
18．已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
19．已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
20．已知方程有两个实根,记,求的值.
21．设函数，其中.
（1）在实数集上用分段函数形式写出函数的解析式；
（2）求函数的最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
由正弦定理可得，再结合求解即可.
【详解】
解：由，
又，
则，
由，
则，
故选：A.
本题考查了正弦定理，属基础题.
2、C
【解析】
根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由得，即恒成立，由于时，在上不恒成立，故，解得.
故选：C.
本小题主要考查对数函数的性质，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题.
3、D
【解析】
易得该几何体为三棱锥,再根据三视图在长方体中画出该三棱锥,再根据此三棱锥与长方体的外接球相同求解即可.
【详解】
在长方体中画出该几何体,易得为三棱锥,且三棱锥与该长方体外接球相同.
又长方体体对角线等于外接球直径,故.
故外接球体积

故选：D
本题主要考查了三视图还原几何体以及求外接球体积的问题,属于基础题.
4、C
【解析】
根据等差数列性质得到，再计算得到答案.
【详解】
已知等差数列中，

故答案选C
本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.
5、A
【解析】
根据随机抽样等可能抽取的性质即可求解.
【详解】
由随机抽样等可能抽取，可知每个个体被抽取的可能性相等，
故抽取的概率为.
故选：A
本题考查了随机抽样的特点，属于基础题.
6、C
【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
7、C
【解析】
利用诱导公式将函数的解析式化简，然后利用定义判断出函数的奇偶性.
【详解】
由诱导公式得，该函数的定义域为，关于原点对称，
且，
因此，函数为偶函数，故选C.
本题考查函数奇偶性的判断，解题时要将函数解析式进行简化，然后利用奇偶性的定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
8、D
【解析】
化简函数为正弦型函数，根据题意，利用正弦函数的图象与性质求得的取值范围.
【详解】
解：函数
则函数在上是含原点的递增区间；
又因为函数 在区间上是单调递增，
则，
得不等式组
又因为，
所以解得.
又因为函数在区间上恰好取得一次最大值为2，
可得，
所以，
综上所述，可得.
故选：D.
本题主要考查了正弦函数的图像和性质应用问题，也考查了三角函数的灵活应用，属于中档题.
9、A
【解析】
由题得，设与向量方向相同的单位向量为，其中，利用列方程即可得解.
【详解】
由题可得：，
设与向量方向相同的单位向量为，其中，
则，解得：或（舍去）
所以与向量方向相同的单位向量为
故选A
本题主要考查了单位向量的概念及方程思想，还考查了平面向量共线定理的应用，考查计算能力，属于较易题．
10、C
【解析】
由，结合投影几何意义，建立平面直角坐标系，结合向量数量积的定义及二次函数的性质即可求解.
【详解】
由,结合投影几何意义有：过点作的垂线，垂足落在的延长线上，且
,
以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则
设，其中
则
解析式是关于的二次函数，开口向上，对称轴时取得最小值，
当时取得最小值
故选：
本题考查向量方法解决几何最值问题，属于中等题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据线性回归方程一定过样本中心点，计算这组数据的样本中心点，求出和的平均数即可求解.
【详解】
由题意可知，与的线性回归方程必过样本中心点
，，
所以线性回归方程必过.
故答案为：
本题是一道线性回归方程题目，需掌握线性回归方程必过样本中心点这一特征，属于基础题.
12、.
【解析】
根据随机数法列出前个个体的编号，即可得出答案.
【详解】
由随机数法可知，前个个体的编号依次为、、、、、、，
因此，第个个体是，故答案为.
本题考查随机数法读取样本个体编号，读取时要把握两个原则：
（1）看样本编号最大数为几位数，读取时就几个数连着一起取；
（2）不在编号范围内的号码要去掉，重复的只能取第一次.
13、
【解析】
先结合求出，再由求解即可
【详解】
由，则
故答案为：
本题考查扇形的弧长和面积公式的使用，属于基础题
14、
【解析】
本题首先可根据同角三角函数关系式化简得出，然后根据两角差的正弦公式化简得出，最后根据二倍角公式以及三角函数诱导公式即可得出结果。
【详解】

，
故答案为
本题考查根据三角函数相关公式进行化简求值，考查到的公式有、、以及，考查化归与转化思想，是中档题。
15、
【解析】
求出函数的定义域，结合复合函数求单调性的方法求解即可.
【详解】
由，解得
令，则
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
函数在定义域内单调递增
函数的单调递减区间是
故答案为：
本题主要考查了复合函数的单调性，属于中档题.
16、
【解析】
,所以点平面区域是底面内以为圆心，以1为半径的外面区域, 则的面积是

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用两角和差的正弦公式整理可得：，再利用已知可得：（），结合已知可得：，求得：时，，问题得解.
（2）利用正弦定理可得：，结合可得：，对边利用余弦定理可得：，结合已知整理得：，再利用三角形面积公式计算得解.
【详解】
解：（1）

.
因为在处取得最大值，
所以，,
即. 因为，所以，
所以.
因为，所以
所以，
因为关于的方程有解，所以的取值范围为．
（2）因为，，由正弦定理，
于是．
又，所以.
由余弦定理得：，
整理得：，即，
所以，
所以.
本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；
（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.
【详解】
（1），，
因此，数列是等比数列；
（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.
本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19、 (1);(2).
【解析】
（1）由，算得，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入的值，即可得到本题答案.
【详解】
(1)因为,,所以.
所以；
(2).
本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.
20、
【解析】
求出的值和的范围即可
【详解】
因为，
所以
又有两个实根
所以
所以
因为
所以，所以
所以
所以
故答案为：
1.要清楚反三角函数的定义域和值域，如的定义域为，值域为
2.由三角函数的值求角时一定要判断出角的范围.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，解得的范围，再结合的意义分段函数形式写出函数的解析式即可.
（2）利用的奇偶性，只需要考虑的情形，只需分两种情形讨论：，当时，分别求出的最小值即可.
【详解】
（1），
令，得，
解得或，

（2）因为是偶函数，所以只需考虑的情形，
当时，，当时，
当时，，当时，，
时，.
本题主要考查函数单调性的应用、函数解析式的求法、不等式的解法等基本知识，考查了运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想，属于基础题.