2024-2025学年江苏省东台市三仓中学高一下数学期末联考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年江苏省东台市三仓中学高一下数学期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的图象与函数的图象的交点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知函数，若，，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知 ，，则( )
A． B． C． D．
4．已知直线：，：，若：；，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．设有直线和平面，则下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
7．将函数的图像向右平衡个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值为 B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增
8．式子的值为( )
A． B．0 C．1 D．
9．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某学校成立了数学，英语，音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图.现随机选取一个成员，他恰好只属于2个小组的概率是____.

12．若，则实数的值为_______.
13．若函数的图象过点，则___________.
14．直线与的交点坐标为________.
15．将函数f（x）＝cos（2x）的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则下列结论中正确的是_____．（填所有正确结论的序号）
①g（x）的最小正周期为4π；
②g（x）在区间[0，]上单调递减；
③g（x）图象的一条对称轴为x；
④g（x）图象的一个对称中心为（，0）．
16．已知向量、满足||＝2，且与的夹角等于，则||的最大值为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）在中，若，且，求的值.
18．不等式的解集为______.
19．求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
20．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得，.
(1)设，求三角形铁皮的面积；
(2)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.

21．为迎接世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形广告面积最小.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
2、C
【解析】
由函数的解析式，求得，，进而得到，，结合两角差的余弦公式和三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
令，即，即，所以，
令，即，即，所以，
又因为，，
即，，
所以，，
即，，
平方可得，，
两式相加可得，
所以.
故选：C.
本题主要考查了两角和与差的余弦公式，三角函数的基本关系式的应用，以及函数的解析式的应用，其中解答中合理应用三角函数的恒等变换的公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
3、C
【解析】
利用二倍角公式变形为，然后利用弦化切的思想求出的值，可得出角的值．
【详解】

，化简得，
，则，，因此，，故选C．
本题考查二倍角公式的应用，考查弦切互化思想的应用，考查给值求角的问题，着重考查学生对三角恒等变换思想的应用能力，属于中等题．
4、C
【解析】
因为直线：，：，所以或，即是的必要不充分条件.故选C.
点睛：本题考查两条直线平行的判定；由直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若将一般式化成斜截式，往往需要讨论斜率是否存在，为了避免讨论，记住以下结论：
已知直线，.
则或；
.
5、D
【解析】
在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；
在C中，m⊥β或m∥β或m与β相交；在D中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m∥α．
【详解】
由直线m、n，和平面α、β，知：
对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误；
对于中，若α⊥β，α⊥β，m⊂α，则m⊥β或m∥β或m与β相交，故C错误；
对于D，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m∥α，故D正确．
故选D．
本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．
6、D
【解析】
根据三角函数图象的平移变换可直接得到图象变换的过程.
【详解】
因为，
所以向右平移个单位即可得到的图象.
故选：D.
本题考查三角函数图象的平移变换，难度较易.注意左右平移时对应的规律：左加右减.
7、C
【解析】
根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质，得出结论．
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin（2x）的图象，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数g（x）＝2sin（x）的图象，
故g（x）的最大值为2，故A错误；
显然，g（x）的最小正周期为2π，故B错误；
当时，g（x）＝，是最小值，故函数g（x）的图象关于直线对称，故C正确；
在区间上，x∈[，]，函数g（x）＝2sin（x）单调递减，故D错误，
故选：C．
本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象性质应用，属于基础题．
8、D
【解析】
利用两角和的正弦公式可得原式为cos（），再由特殊角的三角函数值可得结果.
【详解】
cos（）＝coscos，故选D．
本题考查两角和的余弦公式，熟练掌握两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题.
9、A
【解析】
将代数式与相乘，展开式利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.
【详解】
由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.
由题意可得，即，解得.
因此，实数的取值范围是，故选A.
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．
10、A
【解析】
根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.
【详解】
选项：由线面垂直的性质定理可知正确；
选项：由线面垂直判定定理知，需垂直于内两条相交直线才能说明，错误；
选项：若，则平行关系不成立，错误；
选项：的位置关系可能是平行或异面，错误.
故选：
本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题中数据，确定课外小组的总人数，以及恰好属于2个小组的人数，人数比即为所求概率.
【详解】
由题意可得，课外小组的总人数为，
恰好属于2个小组的人数为，
所以随机选取一个成员，他恰好只属于2个小组的概率是.
故答案为
本题主要考查古典概型，熟记列举法求古典概型的概率即可，属于常考题型.
12、
【解析】
由得，代入方程即可求解.
【详解】
,
.
,
,
,即，
故填.
本题主要考查了反三角函数的定义及运算性质，属于中档题.
13、
【解析】
由过点，求得a，代入，令，即可得到本题答案
【详解】
因为的图象过点，所以，所以，故.
故答案为：-5
本题主要考查函数的解析式及利用解析式求值.
14、
【解析】
直接联立方程得到答案.
【详解】
联立方程解得即两直线的交点坐标为.
故答案为
本题考查了两直线的交点，属于简单题.
15、②④．
【解析】
利用函数的图象的变换规律求得的解析式，再利用三角函数的周期性、单调性、图象的对称性，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象，
则函数的最小正周期为，所以①错误的；
当时，，故在区间单调递减，
所以②正确；
当时，，则不是函数的对称轴，所以③错误；
当时，，则是函数的对称中心，所以④正确；
所以结论正确的有②④.
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的判定，其中解答熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
16、
【解析】
在中，令，可得，可得点在半径为的圆上，，可得，进而可得的最大值．
【详解】
∵向量、满足||＝1，且与的夹角等于，
如图在中，令，，可得
可得点B在半径为R的圆上，1R4，R＝1．
则||的最大值为1R＝4

本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）先将函数化简整理，得到，根据，得到，根据正弦函数的性质，即可得出结果；
（2）令，得到或，根据，，得出，，求出，根据正定理，即可得出结果.
【详解】
（1）

因为，所以，因此；
故函数在区间上的最大值；
（2）因为，由（1），令，
所以或，
解得：或，
因为，所以，，
因此，
由正弦定理可得：.
本题主要考查求正弦型复合函数在给定区间的最值，以及正弦定理的应用，熟记正弦函数的性质，以及正弦定理即可，属于常考题型.
18、
【解析】
根据一元二次不等式的解法直接求解即可.
【详解】
因为方程的根为：，，所以不等式的解集为.
故答案为：.
本题考查一元二次不等式的解法，考查对基础知识和基本技能的掌握，属于基础题.
19、（x﹣4）2+（y+3）2=21，圆的半径为
【解析】
设出圆的一般方程，把代入所设,得到关于的方程组，求解,即可求得圆的一般方程，化为标准方程，进一步求得圆心坐标与半径.
【详解】
设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，解得D=﹣4，E=3，F=0，
∴圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0，
化为（x﹣4）2+（y+3）2=21，
可得：圆心是（4，﹣3）、半径r=1．
本题主要考查圆的方程和性质，属于简单题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
20、（1）三角形铁皮的面积为；（2）剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.
【解析】
试题分析：（1）利用锐角三角函数求出和的长度，然后以为底边、以为高，利用三角形面积公式求出三角形的面积；（2）设，以锐角为自变量将和的长度表示出来，并利用面积公式求出三角形的面积的表达式，利用与之间的关系，令将三角形的面积的表达式表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的单调性求出三角形的面积的最大值，但是要注意自变量的取值范围作为新函数的定义域.
试题解析：（1）由题意知，
，
，
，即三角形铁皮的面积为；
（2）设，则，，
，
，
令，由于，所以，
则有，所以，
且，所以，
故，
而函数在区间上单调递增，
故当时，取最大值，即，
即剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.
考点：1.三角形的面积；2.三角函数的最值；3.二次函数的最值
21、高200，宽100
【解析】
设广告矩形栏目高与宽分别为acm, cm
整个矩形广告面积为

当且仅当时取等号