2025届辽宁省阜新市蒙古族自治县第二高级中学数学高一下期末监测试题含解析.doc

2025届辽宁省阜新市蒙古族自治县第二高级中学数学高一下期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．若，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数，若关于的不等式的解集为，则
A． B．
C． D．
4．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．对于不同的直线l、、及平面，下列命题中错误的是（）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是( )
A． B． C． D．
7．已知函数若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．27 B．36 C．45 D．54
10．如图，为正方体，下面结论错误的是（ ）

A．异面直线与所成的角为45° B．平面
C．平面平面 D．异面直线与所成的角为45°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．向量满足：，与的夹角为，则＝_____________；
12．若、分别是方程的两个根，则______.
13．已知数列的前项和为，，，则__________．
14．已知是奇函数，且，则_______．
15．方程的解为_________.
16．已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列前项和为，满足，
（1）证明：数列是等差数列，并求；
（2）设 ，求证：.
18．设数列的前项和为，若且
求
若数列满足，求数列的前项和.
19．已知扇形的面积为，弧长为，设其圆心角为
（1）求的弧度；
（2）求的值.
20．已知数列的前项和为，点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．已知函数
(1)求的最小正周期和单调递减区间;
(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用扇形面积，结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数的方程，即可解得.
【详解】
解：设扇形圆心角的弧度数为，
因为扇形所在圆的半径为，且该扇形的面积为，
则扇形的面积为，
解得：.
故选：D.
本题在已知扇形面积和半径的情况下，求扇形圆心角的弧度数，着重考查了弧度制的定义和扇形面积公式等知识，属于基础题.
2、D
【解析】
通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.
【详解】
若，，则，错误；
，则，错误；
，，则，错误；
，则等价于，成立，正确.
本题正确选项：
本题考查不等式的性质，属于基础题.
3、B
【解析】
由题意可得，且，3为方程的两根，运用韦达定理可得，，的关系，可得的解析式，计算，（1），（4），比较可得所求大小关系．
【详解】
关于的不等式的解集为，
可得，且，3为方程的两根，
可得，，即，，
，，
可得，（1），（4），
可得（4）（1），故选．
本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。
4、D
【解析】
由已知的所给的直线，可以判断出直线过定点（3，1），直线过定点（1，3），两直线互相垂直，从而可以得到的轨迹方程，设圆心为M，半径为，作直线,
可以求出的值，设圆的半径为，求得的最小值，进而可求出的最小值.
【详解】
圆的半径为,
直线与直线互相垂直，直线过定点（3，1），直线过定点（1，3），所以P点的轨迹为：设圆心为M，半径为
作直线,根据垂径定理和勾股定理可得：，如下图所示：的最小值就是在同一条直线上时，即

则
的最小值为，故本题选D.
本题考查了直线与圆相交的性质，考查了圆与圆的位置关系，考查了平面向量模的最小值求法，运用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.
5、C
【解析】
由平面的基本性质及其推论得：对于选项C，可能l∥n或l与n相交或l与n异面，即选项C错误，得解．
【详解】
由平行公理4可得选项A正确，由线面垂直的性质可得选项B正确，
由异面直线所成角的定义可得选项D正确，
对于选项C，若l∥α，n∥α，则l∥n或l与n相交或l与n异面，
即选项C错误，
故选C．
本题考查了平面中线线、线面的关系及性质定理与推论的应用，属简单题．
6、D
【解析】
首先根据题意得到，，结合选项即可找到答案.
【详解】
因为，所以.
因为，所以.
故选：D
本题主要考查不等式的性质，属于简单题.
7、B
【解析】
令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a的取值范围.
【详解】
令g(x)=0得f(x)=a,
函数f(x)的图像如图所示，

当直线y=a在x轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a有四个零点，
所以0＜a＜1.
故选：B
本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
8、C
【解析】
结合正弦函数的基本性质,抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
【详解】
当时,,当,因为在只有一条对称轴,可知,解得,故选C.
考查了正弦函数的基本性质,关键抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
9、B
【解析】
利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值.
【详解】
依题意，所以，故选B.
本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题.
10、A
【解析】
根据正方体性质，依次证明线面平行和面面平行，根据直线的平行关系求异面直线的夹角.
【详解】
根据正方体性质，，所以异面直线与所成的角等于，，，所以不等于45°，所以A选项说法不正确；
，四边形为平行四边形，，平面，平面，所以平面，所以B选项说法正确；
同理可证：平面，是平面内两条相交直线，所以平面平面，所以C选项说法正确；
，异面直线与所成的角等于，所以D选项说法正确.
故选：A
此题考查线面平行和面面平行的判定，根据平行关系求异面直线的夹角，考查空间线线平行和线面平行关系的掌握

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据模的计算公式可直接求解.
【详解】

故填：.
本题考查了平面向量模的求法，属于基础题型.
12、
【解析】
利用韦达定理可求出和的值，然后利用两角和的正切公式可计算出的值.
【详解】
由韦达定理得，，
因此，.
故答案为：.
本题考查利用两角和的正切公式求值，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题.
13、
【解析】
先利用时，求出的值，再令，由得出，两式相减可求出数列的通项公式，再将的表达式代入，可得出.
【详解】
当时，则有，；
当时，由得出，
上述两式相减得，，得且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，
那么，因此，，故答案为.
本题考查等比数列前项和与通项之间的关系，同时也考查了等比数列求和，一般在涉及与的递推关系求通项时，常用作差法来求解，考查计算能力，属于中等题.
14、
【解析】
根据奇偶性定义可知，利用可求得，从而得到；利用可求得结果.
【详解】
为奇函数
又
即，解得：
本题正确结果：
本题考查根据函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.
15、
【解析】
根据特殊角的三角函数及正切函数的周期为kπ，即可得到原方程的解．
【详解】
则
故答案为：
此题考查学生掌握正切函数的图象及周期性，是一道基础题．
16、
【解析】
通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.
【详解】
实数是与的等比中项，
，解得．
则，当且仅当时，即时取等号．
故答案为:．
本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）．（2）见解析．
【解析】
（1）由可得，当时，，两式相减可是等差数列，结合等差数列的通项公式可求进而可求（2）由（1）可得，利用裂项相消法可求和，即可证明．
试题分析：（1）（2）
试题解析：（1）由知，当
即
所以
而
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，且
（2）因为
所以

考点：数列递推式；等差关系的确定；数列的求和
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）由时，，再验证适合，于是得出，再利用等差数列的求和公式可求出；
（2）求出数列的通项公式，判断出数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求出数列的前项和．
【详解】
（1）当且时，；
也适合上式，所以，，则数列为等差数列，
因此，；
（2），且，所以，数列是等比数列，且公比为，
所以．
本题考查数列的前项和与数列通项的关系，考查等差数列与等比数列的求和公式，考查计算能力，属于中等题．
19、（1）（2）
【解析】
（1）由弧长求出半径，再由面积求得圆心角；
（2）先由诱导公式化简待求式为，利用两角差的正切公式可求．
【详解】
（1）设扇形的半径为r，则，所以.
由可得，
解得.
（2）.
.
本题考查扇形的弧长与面积公式，考查诱导公式，同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式．求值时用诱导公式化简是解题关键．.
20、（1）（2）
【解析】
（1）先由题意得到，求出，再由，作出，得到数列为等比数列，进而可求出其通项公式；
（2）先由（1）得到，再由错位相减法，即可求出结果.
【详解】
解：（1）由题可得.
当时，，即.
由题设，，两式相减得.
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.
（2）由（1）可得，所以，
.
两边同乘以得.
上式右边错位相减得.
所以.
化简得.
本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的前项和，熟记等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.
21、（1）；（2）
【解析】
(1)注意到,
.
于是, 的最小正周期.
由，
故的单调递减区间为.
(2)由,知，
于是,当时,取得最大值,即.
要使恒成立,只需，即.解得.
故m的取值范围是.