2025年湖南省常德市石门县二中高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025年湖南省常德市石门县二中高一数学第二学期期末联考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，若，，，则其外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
2．已知数列的前项和为，若，对任意的正整数均成立，则（ ）
A．162 B．54 C．32 D．16
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．供电部门对某社区1000位居民2019年4月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）

A．4月份人均用电量人数最多的一组有400人
B．4月份人均用电量不低于20度的有500人
C．4月份人均用电量为25度
D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为
5．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
6．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）
A． B． C． D．
7．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）

A．①③④ B．②④ C．②③④ D．①②③
8．设为等差数列的前n项和，若，则使成立的最小正整数n为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
10．如果连续抛掷一枚质地均匀的骰子100次，那么第95次出现正面朝上的点数为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则函数的最小值是_________.
12．已知等差数列的前项和为，若，则_____
13．若首项为，公比为（）的等比数列满足，则的取值范围是________.
14．点与点关于直线对称，则直线的方程为______．
15．数列中，若，，则______；
16． 两等差数列{an}和{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且，则=__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知关于，的方程：表示圆.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若，过点作的切线，求切线方程.
18．已知向量（cosx+sinx，1），（sinx，），函数．
（1）若f（θ）＝3且θ∈（0，π），求θ；
（2）求函数f（x）的最小正周期T及单调递增区间．
19．记公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知=2，是与的等比中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．
20．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求的值.
21．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.

(1)试用表示的面积；
(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据题意，将直三棱柱扩充为长方体，其体对角线为其外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的表面积．
【详解】
∵，，∠ABC=90∘，
∴将直三棱柱扩充为长、宽、高为2、2、3的长方体,
其体对角线为其外接球的直径,
长度为，
∴其外接球的半径为,表面积为=17π.
故选：A.
本题考查几何体外接球，通常将几何体进行割补成长方体，几何体外接球等同于长方体外接球，利用长方体外接球直径等于体对角线长求出半径，再求出球的体积和表面积即可，属于简单题.
2、B
【解析】
由，得到数列表示公比为3的等比数列，求得，进而利用，即可求解.
【详解】
由，可得，所以数列表示公比为3的等比数列，
又由，，得，解得，
所以，
所以
故选B.
本题主要考查了等比数列的定义，以及数列中与之间的关系，其中解答中熟记等比数列的定义和与之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3、A
【解析】
先分别求出集合，，由此能求出．
【详解】
集合，，1，，
或，
，，．
故选：．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4、C
【解析】
根据频率分布直方图逐一计算分析.
【详解】
A：用电量最多的一组有：人，故正确；
B：不低于度的有：人，故正确；
C：人均用电量：，故错误；
D：用电量在的有：人，所以，故正确；
故选C.
本题考查利用频率分布直方图求解相关量，难度较易.频率分布直方图中平均数的求法：每一段的组中值后结果相加.
5、D
【解析】
分别求出大圆面积和深色部分面积即可得解.
【详解】
设中心圆的半径为，所以中心圆的面积为，
8环面积为，
射击靶的面积为，
所以命中深色部分的概率为.
故选：D
此题考查几何概型，属于面积型，关键在于准确求解面积，根据圆环特征分别求出面积即可得解.
6、B
【解析】
成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．
【详解】
解：成等比数列，，又，，
则
故选B．
本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7、A
【解析】
分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.
【详解】
由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.
本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.
8、C
【解析】
利用等差数列下标和的性质可确定，，，由此可确定最小正整数.
【详解】
且
，
使得成立的最小正整数
故选：
本题考查等差数列性质的应用问题，关键是能够熟练应用等差数列下标和性质化简前项和公式.
9、B
【解析】
根据，则即可求解.
【详解】
因为样本数据，，…，的方差为2，

所以，，…，的方差为，故选B.
本题主要考查了方差的概念及求法，属于容易题.
10、B
【解析】
由随机事件的概念作答．
【详解】
抛掷一枚质地均匀的骰子，出现正面朝上的点数为4，这个事件是随机事件，每次抛掷出现的概率是相等的，都是，不会随机抛掷次数的变化而变化．
故选：B．
本题考查随机事件的概率，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用基本不等式可求得函数的最小值.
【详解】
，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
因此，当时，函数的最小值是.
故答案为：.
本题考查利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于基础题.
12、1．
【解析】
利用等差数列前项和公式能求出的值．
【详解】
解：∵等差数列的前项和为，若，
．
故答案为：．
本题考查等差数列前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13、
【解析】
由题意可得且，即且，，化简可得由不等式的性质可得的取值范围.
【详解】
解：
，
故有且，
化简可得
且
即
故答案为：
本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.
14、
【解析】
根据和关于直线对称可得直线和直线垂直且中点在直线上，从而可求得直线的斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】
由，得：且中点坐标为
和关于直线对称 且在上
的方程为：，即：
本题正确结果：
本题考查根据两点关于直线对称求解直线方程的问题，关键是明确两点关于直线对称则连线与对称轴垂直，且中点必在对称轴上，属于常考题型.
15、
【解析】
先分组求和得，再根据极限定义得结果.
【详解】
因为，，……，，
所以
则.
本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.
16、
【解析】
数列{an}和{bn}为等差数列，所以.
点睛：等差数列的常考性质：{an}是等差数列，若m+n=p+q,则.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；
（Ⅱ）或.
【解析】
（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件,可得关于的不等式,即可求得的取值范围.
（Ⅱ）将代入,可得圆的方程,化为标准方程.讨论斜率是否存在两种情况.当斜率不存在时,可直接求得直线方程;当斜率存在时,由点斜式设出直线方程,结合点到直线的距离即可求得斜率,即可得直线方程.
【详解】
（Ⅰ）若方程表示圆
则
解得
故实数的取值范围为
（Ⅱ）若,圆：
①当过点的直线斜率不存在时,直线方程为
圆心到直线的距离等于半径,此时直线与相切
②当过点的直线斜率存在时,不妨设斜率为
则切线方程为,即
由圆心到直线的距离等于半径可知,
解得,即切线方程为
综上所述,切线方程为或
本题考查了直线与圆的位置关系的应用,圆的一般方程与标准方程的关系和转化,属于基础题.
18、（1）θ（2）最小正周期为π；单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z
【解析】
（1）计算平面向量的数量积得出函数f（x）的解析式，求出f（θ）＝3时θ的值；
（2）根据函数f（x）的解析式，求出它的最小正周期和单调递增区间．
【详解】
（1）向量（cosx+sinx，1），（sinx，），
函数
＝sinx（cosx+sinx）
sinxcosx+sin2x
sin2xcos2x+2
＝sin（2x）+2，
f（θ）＝3时，sin（2θ）＝1，
解得2θ2kπ，k∈Z，
即θkπ，k∈Z；
又θ∈（0，π），所以θ；
（2）函数f（x）＝sin（2x）+2，
它的最小正周期为Tπ；
令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
kπ≤xkπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
19、（Ⅰ）an=2n（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由a4是a2与a8的等比中项，可以求出公差，这样就可以求出求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）先求出等差数列{an}的前n项和为Sn，用裂项相消法求出求数列{}的前n项和Tn．
【详解】
解：（Ⅰ）由已知，，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），
解得：d=2（d≠0），
∴an=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
∴，
∴=．
本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式．重点考查了裂项相消法求数列前n项和．
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由面面垂直的性质定理得出平面，可得出，再推导出，利用线面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；
（2）推导出平面，计算出的面积，然后利用锥体体积公式可求得三棱锥的体积，进而得解.
【详解】
（1）因为四边形是矩形，故，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又面，所以，

在等腰梯形中，，，
因，故，，即，
又，故平面，
平面，所以平面平面；
（2）的面积为，
，平面，所以，平面，
，故.
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用三棱锥体积求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
21、 (1) ，.
(2) 时, 达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.
【解析】
（1）注意到，从而的周长为，故，所以，注意.
（2）令，则，根据可求最大值.
【详解】
(1)设为,，
，，，
(2)令,
只需考虑取到最大值的情况,即为，
当,即时, 达到最大，
此时八角形所覆盖面积为16+4
最大值为.
如果三角函数式中仅含有和，则可令后利用把三角函数式变成关于的函数，注意换元后的范围.