2025届华中师大一附中高一数学第二学期期末达标检测试题含解析.doc

2025届华中师大一附中高一数学第二学期期末达标检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 （　　）
A． B． C． D．
2．已知，下列不等式中必成立的一个是( )
A． B． C． D．
3．在数列中，若，，，设数列满足，则的前项和为（ ）
A． B． C． D．
4．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）
A．若,,则 B．若，,则
C．若,,则 D．若,,则
5．已知是球O的球面上四点，面ABC,，则该球的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，则等于()
A． B．1 C．2 D．
7．下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．
B．有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．
C．绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥．
D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
8．如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域的概率是，则该阴影区域的面积是（ ）

A．3 B． C． D．
9．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（ ）

A．93 B．123 C．137 D．167
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在各项均为正数的等比数列中，，，则___________.
12．已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的弧长为______.
13．在中，，，，则的面积是__________.
14．等比数列中首项，公比，则______.
15．设（）则数列的各项和为________
16．在中，已知角的对边分别为，且，，，若有两解，则的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆以原点为圆心且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于、两点，过、两点分别作直线的垂线交轴于、两点，求线段的长．
18．经观测，某公路段在某时段内的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间有函数关系：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
19．已知数列满足（，且），且，设，，数列满足.
（1）求证：数列是等比数列并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）对于任意，，恒成立，求实数m的取值范围.
20．如图半圆的直径为4，为直径延长线上一点，且，为半圆周上任一点，以为边作等边（、、按顺时针方向排列）

（1）若等边边长为，，试写出关于的函数关系；
（2）问为多少时，四边形的面积最大？这个最大面积为多少？
21．已知函数，它的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用，得出异面直线与所成的角为，然后在中利用锐角三角函数求出.
【详解】
如下图所示，设正方体的棱长为，
四边形为正方形，所以，，
所以，异面直线与所成的角为，
在正方体中，平面，平面，，

，，，
在中，，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选D.
本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
2、B
【解析】
根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，由于，不等号方向不相同，不能相加，故A选项错误.
对于B选项，由于，所以，而，根据不等式的性质有：，故B选项正确.
对于C选项，，而两个数的正负无法确定，故无法判断的大小关系，故C选项错误.
对于D选项，，而两个数的正负无法确定，故无法判断的大小关系，故D选项错误.
故选：B.
本小题主要考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，属于基础题.
3、D
【解析】
利用等差中项法得知数列为等差数列，根据已知条件可求出等差数列的首项与公差，由此可得出数列的通项公式，利用对数与指数的互化可得出数列的通项公式，并得知数列为等比数列，利用等比数列前项和公式可求出.
【详解】
由可得，
可知是首项为，公差为的等差数列，
所以，即．由，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，数列的前项和为，故选D.
本题考查利用等差中项法判断等差数列，同时也考查了对数与指数的互化以及等比数列的求和公式，解题的关键在于结合已知条件确定数列的类型，并求出数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中等题.
4、C
【解析】
在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．
【详解】
设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：
在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；
在B中，若，，则或，故B错误；
在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；
在D中，若，，则与平行或，故D错误．
故选C．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
5、D
【解析】
根据面，，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，长方体的对角线的长就是该球的直径，从而得到答案。
【详解】
面，
三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，
可以以三条侧棱，，为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，

长方体的对角线的长就是该球的直径，
即
则该球的半径为
故答案选D
本题考查三棱锥外接球的半径的求法，本题解题的关键是以三条侧棱为棱长得到一个长方体，三棱锥的外接球，即为该长方体的外接球，利用长方体外接球的直径为长对角线的长，属于基础题。
6、A
【解析】
首先根据⇒（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，并化简得出，再化为Asin()形式即可得结果.
【详解】
由
得：（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，
化简得，即sin()=,
则sin()=
故选A.
本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题．
7、B
【解析】
根据课本中的相关概念依次判断选项即可.
【详解】
对于A选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.
故答案为B.
这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.
8、B
【解析】
利用几何概型的意义进行模拟试验，即估算不规则图形面积的大小．
【详解】
正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率，，
又，.
故选：B．
本题考查几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系.
9、C
【解析】
.
10、D
【解析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，
A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），
设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝ ,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．
故选D．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、8
【解析】
根据题中数列，结合等比数列的性质，得到，即可得出结果.
【详解】
因为数列为各项均为正数的等比数列，，，
所以.
故答案为
本题主要考查等比数列的性质的应用，熟记等比数列的性质即可，属于基础题型.
12、
【解析】
先将角度化为弧度，再根据弧长公式求解.
【详解】
因为圆心角，所以弧长.
故答案为：
本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，属于基础题．
13、
【解析】
计算，等腰三角形计算面积，作底边上的高，计算得到答案.
【详解】
，
过C作于D，则

故答案为
本题考查了三角形面积计算，属于简单题.
14、9
【解析】
根据等比数列求和公式，将进行转化，然后得到关于和的等式，结合，讨论出和的值，得到答案.
【详解】
因为等比数列中首项，公比，
所以成首项为，公比为的等比数列，共项，
所以
整理得
因为
所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，
则应是的约数，
所以可得，
所以，
当时，得，此时
当时，得，此时
当时，得，此时，
所以，
故答案为：.
本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
15、
【解析】
根据无穷等比数列的各项和的计算方法，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，数列的通项公式为，且，
所以数列的各项和为.
故答案为：.
本题主要考查了无穷等比数列的各项和的求解，其中解答中熟记无穷等比数列的各项和的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16、
【解析】
利用正弦定理得到，再根据有两解得到，计算得到答案.
【详解】
由正弦定理得：
若有两解：

故答案为
本题考查了正弦定理，有两解，意在考查学生的计算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）计算原点到直线的距离，作为圆的半径，从而可得出圆的方程；
（2）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可计算出，过点作，垂足为，求出直线的倾斜角为，再利用锐角三角函数的定义可求出.
【详解】
（1）把直线化为一般式，即，
到直线的距离为，圆的半径为，
圆的方程为；
（2）直线的一般方程为，
点到直线的距离为，
圆的半径为，则，
过点作，垂足为，．
又的倾斜角为，，
．
因此，线段的长为．

本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，涉及了锐角三角函数的定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
18、（1）v＝40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时（2）汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内
【解析】
（1）将已知函数化简，利用基本不等式求车流量y最大值；
（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使，解之即可得汽车的平均速度的控制范围．
【详解】
解:(1)＝≤＝≈11.08，
当v＝，即v＝40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：，
化简得，即，
所以，
所以汽车的平均速度应控制在这个范围内．
本题以已知函数关系式为载体，考查基本不等式的使用，考查解不等式，属于基础题．
19、 (1)见解析（2）(3) .
【解析】
（1）将式子写为：得证，再通过等比数列公式得到的通项公式.
（2）根据（1）得到进而得到数列通项公式，再利用错位相减法得到前n项和.
（3）首先判断数列的单调性计算其最大值，转换为二次不等式恒成立，将 代入不等式，计算得到答案.
【详解】
（1）因为，
所以，，
所以是等比数列，其中首项是，公比为，
所以，.
（2），
所以，
由（1）知，，又，
所以.
所以，
所以两式相减得

.
所以.
（3）
，所以当时，，
当时，，即，
所以当或时，取最大值是.
只需，
即对于任意恒成立，即

所以.
本题考查了等比数列的证明，错位相减法求前N项和，数列的单调性，数列的最大值，二次不等式恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.
20、（1）；（2）θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．
【解析】
（1）根据余弦定理可求得
（2）先表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．
【详解】
（1）由余弦定理得
则
（2）四边形OACB的面积＝△OAB的面积+△ABC的面积
则△ABC的面积
△OAB的面积•OA•OB•sinθ•2•4•sinθ＝4sinθ
四边形OACB的面积4sinθ=
sin（θ﹣）
∴当θ﹣＝，
即θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．
本题考查利用正余弦定理求解面积最值，其中准确列出面积表达式是关键，考查化简求值能力，是中档题
21、 (1) ;(2) .
【解析】
试题分析：
（1）依题意，则， 将点的坐标代入函数的解析式可得，故，函数解析式为.
（2）由题意可得 ， 结合三角函数的性质可得函数的值域为.
试题解析：
（1）依题意，，
故.
将点的坐标代入函数的解析式可得，
则，，故，
故函数解析式为.
（2）当时， ，
则，，
所以函数的值域为.
点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．
第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．
第三步：求出所求函数的值域(或最值)．