新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆乌鲁木齐八一中学2024-2025学年高一数学第二学期期末联考试题含解析.doc

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市天山区新疆乌鲁木齐八一中学2024-2025学年高一数学第二学期期末联考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．1
2．在下列结论中，正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．向量就是有向线段
D．零向量是没有方向的
3．已知直线与圆交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C．或 D．2或
4．函数y=2的最大值、最小值分别是(　　)
A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－1
5．已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．已知，则下列4个角中与角终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则△ABC是
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（　）
A． B．
C． D．
9．直线与平行，则的值为( )
A． B．或 C．0 D．－2或0
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知三个顶点的坐标分别为，若⊥，则的值是______．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知直角中，直角顶点A在直线上，顶点B，C在圆上，则点A横坐标的取值范围是__________.
13．如图，已知扇形和，为的中点.若扇形的面积为1，则扇形的面积为______.

14．方程在区间内解的个数是________
15．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，, 则异面直线与所成的角为____.

16．在中，，是线段上的点，，若的面积为，当取到最大值时，___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某家具厂有方木料90，五合板600，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产第张书桌需要方木料O.l，五合板2，生产每个书橱而要方木料0.2，五合板1，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.
（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？
（2）怎样安排生产可使所得利润最大？
18．已知，，．
(1)求关于的表达式，并求的最小正周期；
(2)若当时，的最小值为，求的值．
19．定理：若函数的图象关于直线对称，且方程有个根，则这个根之和为.利用上述定理，求解下列问题：
（1）已知函数，，设函数的图象关于直线对称，求的值及方程的所有根之和；
（2）若关于的方程在实数集上有唯一的解，求的值.
20．在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
21．已知函数.
（1）求函数图象的对称轴方程;
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
求得直线所过的定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，根据斜率乘积等于列方程，由此求得的值.
【详解】
直线可化为，故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，故，故选C.
本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题，考查点到直线距离的最值问题，属于基础题.
2、B
【解析】
逐一分析选项，得到答案.
【详解】
A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；
B. 向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；
C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；
D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.
故选B.
本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.
3、D
【解析】
由，两边平方，得，
所以，则为等腰直角三角形，
而圆的半径，
则原点到直线的距离为，
所以，解得的值为2或-2 ．故选D．
4、B
【解析】
根据余弦函数有界性确定最值.
【详解】
因为，所以，即最大值、最小值分别是1，－3，选B.
本题考查余弦函数有界性以及函数最值，考查基本求解能力，属基本题.
5、D
【解析】
利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.
【详解】
，
，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且 ，
当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述；
的取值范围是，故本题选D.
本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.
6、C
【解析】
先写出与角终边相同的角的集合，再给k取值得解.
【详解】
由题得与角终边相同的集合为,
当k=6时，.
所以与角终边相同的角为.
故选C
本题主要考查终边相同的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
7、A
【解析】
由正弦定理，记，
则，，，
又，
所以，
即，
所以.
故选：A.
8、B
【解析】
由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．
【详解】
由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，
选项A，C不能说明糖水变得更甜，
糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；
选项D等价于，不成立，
故选：B．
本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9、A
【解析】
若直线与平行,则,解出a值后,验证两条直线是否重合,可得答案.
【详解】
若直线与平行,
则,
解得或,
又时,直线与表示同一条直线,
故,
故选A.
本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键.
10、D
【解析】
试题分析：由图可知，，∴，又，
∴，∴，又．∴.
考点：由图象确定函数解析式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
求出，再利用，求得.
【详解】
，
因为⊥，所以，解得：.
本题考查向量的坐标表示、数量积运算，要注意向量坐标与点坐标的区别.
12、
【解析】
由题意画出图形，写出以原点为圆心，以为半径的圆的方程，与直线方程联立求得值，则答案可求．
【详解】
如图所示，当点往直线两边运动时，不断变小，
当点为直线上的定点时，直线与圆相切时，最大，
∴当为正方形，则，
则以为圆心，以为半径的圆的方程为．
联立，得．
解得或．
点横坐标的取值范围是．
故答案为：．

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.
13、1
【解析】
设，在扇形中，利用扇形的面积公式可求，根据已知，在扇形中，利用扇形的面积公式即可计算得解．
【详解】
解：设，
扇形的面积为1，即：，
解得：，
为的中点，，
在扇形中，．
故答案为：1．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
14、4.
【解析】
分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果.
详解：，所以或，
因为，所以或或或，
故解的个数是4.
点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.
15、
【解析】
要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．
【详解】
取的中点E,连AE, ,易证，∴为异面直线与所成角，
设等边三角形边长为，易算得∴在
∴
故答案为

本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求．
16、
【解析】
由三角形的面积公式得出，设，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等号成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.
【详解】
由题意可得，解得，
设，则，可得，

由基本不等式可得，
当且仅当时，取得最大值，，，由余弦定理得，
解得．故答案为．
本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形的面积公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，需要结合已知条件得出定值条件，同时要注意等号成立的条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元；(2) 生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大
【解析】
（1）设只生产书桌x个，可获得利润z元，则，由此可得最大值；
（2）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．
则 ，，由线性规划知识可求得的最大值．即作可行域，作直线，平移此直线得最优解．
【详解】
由题意可画表格如下：

方木料（）
五合板（）
利润（元）
书桌（个）
0.1
2
80
书橱（个）
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则， ∴ ∴
所以当时，(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元
(2)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．
则 ，∴
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域

作直线，即直线．
把直线l向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点M，
此时取得最大值
由解得点M的坐标为.
∴当，时，(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大
所以当，时，．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．
本题考查简单的线性规划的实际应用，解题时需根据已知条件设出变量，列出二元一次不等式组表示的约束条件，列出目标函数，然后由解决线性规划的方法求最优解．
18、（1）,；（2）.
【解析】
（1）根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式得：，并求出最小正周期为；
（2）由，得到，从而，再根据的最小值为，求得.
【详解】
（1），
所以.
（2）当时，则，所以，
所以，解得：.
本题考查向量与三角函数的交会，求函数的最值时，要注意整体思想的运用，即先求出，再得到.
19、（1），；（2）.
【解析】
（1）根据定义域和对称性即可得出的值，求出的解的个数，利用定理得出所有根的和；
（2）令，则为偶函数，于是的唯一零点为，于是，即可解出的值．
【详解】
解：（1）在上的图象关于直线对称，
，
令得，，即，．
在上有7个零点，
方程的所以根之和为．
（2）令，则，
是偶函数，
的图象关于轴对称，即关于直线对称，
只有1解，
的唯一解为，即，
，解得．
本题考查了函数零点与函数图象对称性的关系，属于基础题．
20、 (1) ∠A= (2) AC边上的高为
【解析】
分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高．
详解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得 =，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．
（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．
如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
21、（1）（2）
【解析】
(1)通过三角恒等变形，化简为的形式，方便我们去研究与其相关的任何问题；
（2）恒成立，可转化，我们只需要求出最大值从而完成本题.
【详解】
（1）

令得，
所以的对称轴为
（2）当时，，，
因为，即恒成立
故，解得
在研究三角函数相关的性质（值域、对称中心、对称轴、单调性……）我们都是将其化为（或者余弦、正切相对应）的形式，利用整体思想，我们能比较方便的去研究他们相关性质.