2025年福建省平和一中、南靖一中等五校高一下数学期末达标测试试题含解析.doc

2025年福建省平和一中、南靖一中等五校高一下数学期末达标测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知,当取得最小值时（ ）
A． B． C． D．
2．式子的值为( )
A． B．0 C．1 D．
3．设且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则等于( )
A．-1 B． C． D．1
5．已知、为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ）
A． B． C． D．
7．用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= （a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（　　）
A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a4
8．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（　　）

①AC∥平面BEF；
②B、C、E、F四点可能共面；
③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；
④平面BCE与平面BEF可能垂直
A．0 B．1 C．2 D．3
9．计算( )
A． B． C． D．
10．若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知斜率为的直线的倾斜角为，则________．
12．利用直线与圆的有关知识求函数的最小值为_______.
13．已知，，，，则______．
14．一艘海轮从出发，沿北偏东方向航行后到达海岛，然后从出发沿北偏东方向航行后到达海岛，如果下次直接从沿北偏东方向到达，则______.
15．已知，，则________（用反三角函数表示）
16．在上定义运算，则不等式的解集为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求边长；
（2）若的面积为，求边长.
18．已知集合，数列的首项，且当时，点，数列满足.
（1）试判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（2）若，求的值.
19．已知函数.
（1）求的最小正周期，并求其单调递减区间；
（2）的内角，，所对的边分别为，，，若，且为钝角，，求面积的最大值.
20．设是正项等比数列的前项和，已知，
（1）求数列的通项公式;
（2）令，求数列的前项和.
21．己知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和.
（1）若＝1，＞1，求的值；
（2）若首项，，是正整数，满足不等式|﹣63|＜62，且对于任意正整数都成立，问：这样的数列有几个？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
可用导函数解决最小值问题，即可得到答案.
【详解】
根据题意，令，则，而当时，，当时，，则在处取得极小值，故选D.
本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等.
2、D
【解析】
利用两角和的正弦公式可得原式为cos（），再由特殊角的三角函数值可得结果.
【详解】
cos（）＝coscos，故选D．
本题考查两角和的余弦公式，熟练掌握两角和与差的余弦公式以及特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题.
3、A
【解析】
项，由得到，则，故项正确；
项，当时，该不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．
综上所述，故选．
4、C
【解析】
根据求得函数的周期，再结合奇偶性求得所求表达式的值.
【详解】
由于故函数是周期为的周期函数，故，故选C.
本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.
5、B
【解析】
利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】
因为，且为锐角，则，所以，
因为，所以
故选：B.
本题考查利用两角差的正切公式求值，解答的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
6、C
【解析】
试题分析： 设事件为“从1，2，3，…，9这9个数中5个数的中位数是5”，则基本事件总数为种，事件所包含的基本事件的总数为：，所以由古典概型的计算公式知，，故应选.
考点：1.古典概型；
7、C
【解析】
在验证时，左端计算所得的项，把代入等式左边即可得到答案.
【详解】
解：用数学归纳法证明，
在验证时，把当代入，左端.
故选：C.
此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题.
8、C
【解析】
根据折叠前后线段、角的变化情况，由线面平行、面面垂直的判定定理和性质定理对各命题进行判断，即可得出答案．
【详解】
对①，在图②中，连接交于点，取中点，连接MO，易证AOMF为平行四边形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正确；

对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；
对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EFFD，又EFCF，∴EF平面CDF，
即有CDEF，∴CD平面ADEF，则平面ADEF平面ABCD，故③正确；
对④，在图②中，延长AF至G，使得AF=FG，连接BG，EG，易得平面BCE平面ABF，BCEG四点共面．过F作FNBG于N，则FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，
则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．
故选：C．

本题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
9、A
【解析】
根据对数运算,即可求得答案.
【详解】

故选:A.
本题主要考查了对数运算,解题关键是掌握对数运算基础知识,考查了计算能力,属于基础题.
10、D
【解析】
对任意，不等式恒成立，即恒成立，代入计算得到答案.
【详解】
对任意，不等式恒成立
即恒成立

故答案为D
本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由直线的斜率公式可得＝，分析可得，由同角三角函数的基本关系式计算可得答案．
【详解】
根据题意，直线的倾斜角为，其斜率为，
则有＝，则，必有，
即，平方有：，得，故，
解得或（舍）．
故答案为﹣
本题考查直线的倾斜角，涉及同角三角函数的基本关系式，属于基础题．
12、
【解析】
令得，转化为z==，再利用圆心到直线距离求最值即可
【详解】
令，则
故转化为z== ，表示上半个圆上的点到直线的距离的最小值的5倍，即
故答案为3
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题
13、
【解析】
先求出的平方值，再开方得到所求结果．
【详解】

本题考查求解复合向量模长的问题，求解此类问题的关键是先求模长的平方，将其转化为已知向量运算的问题．
14、
【解析】
首先根据余弦定理求出，在根据正弦定理求出，即可求出
【详解】
有题知

.
所以.
在中，，
即，解得.
所以，
故答案为：
本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.
15、
【解析】
∵，，
∴.
故答案为
16、
【解析】
根据定义运算，把化简得，求出其解集即可．
【详解】
因为，所以，
即，得，解得：
故答案为：．
本题考查新定义，以及解一元二次不等式，考查运算的能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力. 第一问，利用正弦定理将边换成角，消去，解出角C，再利用解出边b的长；第二问，利用三角形面积公式，可直接解出a边的值，再利用余弦定理解出边c的长.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
又，所以，．
因为，所以． …6分
（Ⅱ）因为，，所以．
据余弦定理可得，所以． …12分
考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.
18、（1）是；（2）.
【解析】
（1）依据题意，写出递推式，由等差数列得定义即可判断；（2）求出，
利用极限知识，求出，即可求得的值。
【详解】
（1）当时，点，所以 ，
即
由得，当时，，
将代入，

，故数列是以为公差的等差数列。
（2）因为，所以，，
由得，， ，故 ，
。
本题主要考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列极限的运算。
19、（1）最小正周期；单调递减区间为；（2）
【解析】
（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为；利用可求得最小正周期；令解出的范围即可得到单调递减区间；（2）由可得，根据的范围可求出的取值；利用余弦定理和基本不等式可求出的最大值，代入三角形面积公式求得结果.
【详解】
（1）
最小正周期：
令得：
的单调递减区间为：
单调递减区间.
（2）由得：
，解得：
由余弦定理得：（当且仅当时取等号）

即面积的最大值为：
本题考查正弦型函数最小正周期和单调区间的求解、解三角形中三角形面积最值的求解问题；涉及到二倍角公式和辅助角公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识；求解正弦型函数单调区间的常用解法为整体代入的方式，通过与正弦函数图象的对应关系来进行求解.
20、 (1) ；(2)
【解析】
（1）设正项等比数列的公比为，当时，可验证出，可知；根据可构造方程求得，进而根据等比数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果.
【详解】
（1）设正项等比数列的公比为
当时，，解得：，不合题意
由得：，又
整理得：，即，解得：

（2）由（1）得：
…①
则…②
①②得：

本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和；关键是能够得到数列的通项公式后，根据等差乘以等比的形式确定采用错位相减法求得结果，对学生的计算和求解能力有一定要求.
21、（1）；（2）114
【解析】
（1）利用等比数列的求和公式，进而可求的值；
（2）根据满足不等式|﹣63|＜62，可确定的范围，进而可得随着的增大而增大，利用，可求解．
【详解】
（1）已知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和，＝1，
， ，
则；
（2） 满足不等式|﹣63|＜62，．
， ，且，
，得随着的增大而增大，得 ，
又且对于任意正整数都成立，得，，且是正整数，
满足的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个，所以有114个数列．
本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．