山东省山东省滕州市第二中学2024-2025学年数学高一第二学期期末监测试题含解析.doc

山东省山东省滕州市第二中学2024-2025学年数学高一第二学期期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某种产品的广告费用支出与销售额之间具有线性相关关系，根据下表数据（单位：百万元)，由最小二乘法求得回归直线方程为.现发现表中有个数据看不清，请你推断该数据值为（ )

3
4
5
5
8

28
34
★
56
72
A．65 B．60 C．55 D．50
2．已知，，，则的最小值为
A． B． C． D．4
3．甲：（是常数）
乙：
丙：（、是常数）
丁：（、是常数），
以上能成为数列是等差数列的充要条件的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）

A． B． C． D．
5．甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
7．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
A．4 B．-5 C．-6 D．-8
8．已知向量，，若对任意的，恒成立，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知是第三象限的角，若，则
A． B． C． D．
10．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则角（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在等比数列中，，，则__________．
12．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则__________．
13．将边长为1的正方形中，把沿对角线AC折起到，使平面⊥平面ABC，则三棱锥的体积为________.
14．在锐角中，角、、所对的边为、、，若的面积为，且，，则的弧度为__________．
15．已知数列的前n项和，则数列的通项公式是______.
16．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值．
18．已知数列的前项和为，点在函数的图像上.
（1）求数列的通项；
（2）设数列，求数列的前项和.
19．已知等差数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和为.
20．如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

求证：（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PCD⊥平面PAD．
21．已知，，，..
（1），求x的值；
（2）是否存在实数k，使得？若存在求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
求出样本中心点的坐标，代入线性回归方程求解．
【详解】
设表中看不清的数据为，
则，，
代入，得，解得．
故选：．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
2、C
【解析】
化简条件得，化简，利用基本不等式，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，知，可得，
则，
当且仅当时，即时取得等号，
所以，即的最小值为，故选C．
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件：一正、二定、三相等是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3、D
【解析】
由等差数列的定义和求和公式、通项公式的关系，以及性质，即可得到结论.
【详解】
数列是等差数列，设公差为，
由定义可得（是常数），
且（是常数），
，
令，即（、是常数），
等差数列通项，
令，即（、是常数），
综上可得甲乙丙丁都对.
故选：D.
本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的关系，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题.
4、D
【解析】

把此三棱锥嵌入长宽高分别为：的长方体中
三棱锥即为所求的三棱锥
其中，，
，则，
故可求得三棱锥各面面积分别为：
，，，
故表面积为
三棱锥体积
设内切球半径为，则
故三棱锥内切球体积
故选
5、A
【解析】
甲、乙、丙三人随意坐下有种结果，
乙坐中间则有，乙不坐中间有种情况，
概率为，故选A.
点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
6、B
【解析】
由三视图判断该几何体是有三条棱两两垂直是三棱锥，结合三视图的数据可得结果.
【详解】

由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥，其中AB，BC，BP两两垂直，
且，则和的面积都是1，的面积为2，
在中，，
则的面积为，
所以该几何体的表面积为，
故选：B.
三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
7、D
【解析】
绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值.
本题选择D选项.

8、A
【解析】
利用数量积运算可将不等式化简为，根据恒成立条件可得不等式组，利用三角函数知识分别求解两个不等式，取交集得到结果.
【详解】

当时，恒成立，则
当时，即
，，解得：，
当时，即
，，解得：，
在时恒成立可得：
本题正确选项：
本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，关键是能够根据数量积将恒成立不等式转化为两个三角不等式的求解问题，利用辅助角公式将问题转化为根据正弦型函数的值域求解角的范围的问题.
9、D
【解析】
根据是第三象限的角得，利用同角三角函数的基本关系，求得的值.
【详解】
因为是第三象限的角，所以，
因为，所以解得：，故选D.
本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知值，求的值.
10、B
【解析】
根据正弦定理，可得，进而可求，再利用余弦定理，即可得结果．
【详解】
，
∴由正弦定理，可得3b=5a，
，
，
，
，
故选：B.
本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、8
【解析】
可先计算出公比，从而利用求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，则.
本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.
12、
【解析】
设出数列的首项和公差,根据等差数列通项公式和前项和公式,代入条件化简得和的关系,再代入所求的式子进行化简求值.
【详解】
解：设等差数列的首项为,公差为,
由,得,得,
.
故答案为：
本题考查了等差数列通项公式和前n项和公式的简单应用,属于基础.
13、
【解析】
由面面垂直的性质定理可得面，再结合三棱锥的体积的求法求解即可.
【详解】
解：取中点,连接，
因为四边形为边长为1的正方形，
则,即,
又平面⊥平面ABC，
由面面垂直的性质定理可得：面，
且,
则,
故答案为：.

本题考查了三棱锥的体积的求法，重点考查了面面垂直的性质定理，属中档题.
14、
【解析】
利用三角形的面积公式求出的值，结合角为锐角，可得出角的弧度数.
【详解】
由三角形的面积公式可知，的面积为，
得，为锐角，因此，的弧度数为，故答案为.
本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】
时,,利用 时, 可得,最后验证是否满足上式,不满足时候,要写成分段函数的形式.
【详解】
当 时, ,
当时, =,
又 时,不适合,
所以.
本题考查了由求 ,注意使用求 时的条件是,所以求出后还要验证 适不适合 ,如果适合,要将两种情况合成一种情况作答,如果不适合,要用分段函数的形式作答.属于中档题.
16、
【解析】
讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，分别计算得到答案.
【详解】
抛物线的焦点F为，
当斜率不存在时，易知，故；
当斜率存在时，设，故，即，
故，.
综上所述：.
故答案为：.
本题考查了抛物线中线段长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）14海里/小时； （2）.
【解析】
（1）,
∴

∴,
∴V甲海里/小时 ；
（2）在中，
由正弦定理得
∴
∴.
点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.
18、（1），（2）
【解析】
（1）把点带入即可
（2）根据（1）的结果利用错位相减即可。
【详解】
（1）把点带入得，
则时，
时，
经验证，也满足，
所以
（2）由（1）得，所以
则①
②
①②得

本题主要考查了数列通项的求法，以及数列前项和的方法。求数列通项常用的方法有：累加法、累乘法、定义法、配凑法等。求数列前项和常用的方法有：错位相减、裂项相消、公式法、分组求和等。属于中等题。
19、（1）（2）
【解析】
（1）由等差数列的性质，求得，进而得到，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，列用裂项法，即可求解数列的前项和.
【详解】
（1）由等差数列的性质，可得，所以，
又由，所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得，
所以.
本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力，属于基础题.
20、（1）详证见解析；（2）详证见解析.
【解析】
（ 1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面．
（ 2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直．
【详解】
（ 1）证明： 连交于O,
因为四边形是正方形 ,
所以 ,
连，则是三角形的中位线, ,
平面，平面
所以平面 .
（2）因为平面 ,
所以 ,
因为是正方形，所以,
所以平面,
所以平面平面.
证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证．
21、（1）或.（2）存在；
【解析】
（1）由向量平行的坐标运算可求得值；
（2）假设存在，由向量的数量积为0求得，再由正弦函数性质及二次函数性质可得所求范围．
【详解】
（1），，
又，，
即，又，或.
（2），，
若，则，
，
，
由，，得
存在，使得.
本题主要考查向量平行和向量垂直的坐标运算，掌握向量运算的坐标表示是解题基础．