2024-2025学年湖南省株洲市攸县第三中学数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年湖南省株洲市攸县第三中学数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知圆，圆，分别为圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
2．在等比数列中，已知，那么的前4项和为（ ）.
A．81 B．120 C．121 D．192
3．已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：① ；②；③；④中一定不成立的是（ ）
A．① B．②③ C．①④ D．④
4．如图，在中，，点在边上，且，则等于（ ）

A． B． C． D．
5．甲、乙两名篮球运动员最近五场比赛的得分如茎叶图所示，则（ ）

A．甲的中位数和平均数都比乙高
B．甲的中位数和平均数都比乙低
C．甲的中位数比乙的中位数高，但平均数比乙的平均数低
D．甲的中位数比乙的中位数低，但平均数比乙的平均数高
6．在△ABC中，点D在边BC上，若，则
A．+ B．+ C．+ D．+
7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（ ）（参考数据：，，）
A．年 B．年 C．年 D．年
8．如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是（ ）

A．中位数为14 B．众数为13 C．平均数为15 D．方差为19
9．已知，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
10．如图所示，等边的边长为2、为的中点，且也是等边三角形，若以点为中心按逆时针方向旋转后到达的位置，则在转动过程中的取值范围是（ )

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知是内的一点，，，则 _______；若，则_______.
12．若、为单位向量，且，则向量、的夹角为_______.（用反三角函数值表示）
13．一圆柱的侧面展开图是长、宽分别为3、4的矩形，则此圆柱的侧面积是________．
14．如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．

15．若6是-2和k的等比中项，则______.
16．过点直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当最小时，直线的一般方程为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数，定义域为．
（1）求函数的最小正周期，并求出其单调递减区间；
（2）求关于的方程的解集．
18．已知函数，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最小值和取得最小值时的取值.
19．某企业生产的某种产品，生产总成本（元）与产量（吨）（）函数关系为，且函数是上的连续函数
（1）求的值；
（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？
20．已知向量,满足,,.
(1)求向量,所成的角的大小;
(2)若,求实数的值.
21．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米．

（1）求线段的长度；
（2）若，求两条观光线路与之和的最大值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．
【详解】
如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，
圆的圆心坐标为,，半径为3，
由图象可知，当三点共线时，取得最小值，
且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，
即，
故选D．

本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．
2、B
【解析】
根据求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出.
【详解】
,

.故选：B
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于中档题.
3、D
【解析】
先判断出函数的单调性，分两种情况讨论：①；②．结合零点存在定理进行判断．
【详解】
在上单调减，值域为，又．
（1）若，由知，③成立；
（2）若，此时，①②③成立．
综上，一定不成立的是④，故选D．
本题考查零点存在定理的应用，考查自变量大小的比较，解题时要充分考查函数的单调性，对函数值符号不确定的，要进行分类讨论，结合零点存在定理来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．
4、C
【解析】
在中，由余弦定理求得，在中，利用正弦定理求得BD，则可得CD.
【详解】
在中，由余弦定理可得.
又，故为直角三角形，故.
因为，且为锐角，故.
由
利用正弦定理可得，代值可得，
故.
故选：C.
本题考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，属于综合基础题.
5、B
【解析】
分别计算出两组数据的中位数和平均数即可得出选项.
【详解】
根据题意：甲的平均数为：，中位数为29，
乙的平均数为：，中位数为30，
所以甲的中位数和平均数都比乙低.
故选：B
此题考查根据茎叶图表示的数据分别辨析平均数和中位数的大小关系，分别计算求解即可得出答案.
6、C
【解析】
根据向量减法和用表示，再根据向量加法用表示.
【详解】
如图：

因为，
所以，
故选C.
本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.
7、B
【解析】
试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，
两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
【考点】增长率问题，常用对数的应用
【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．
8、D
【解析】
从题设中所提供的茎叶图可知六个数分别是，所以其中位数是，众数是，平均数，方差是，应选答案D
．
9、A
【解析】
根据向量的坐标运算法则直接求解.
【详解】
因为,,
所以,
所以,
故选:A.
本题考查向量的坐标运算,属于基础题.
10、D
【解析】
设，，则，则，将其展开，运用向量的数量积的定义，化简得到，再由余弦函数的性质，即可得到范围.
【详解】
设，，则，
则
，
由于，则，
则．
故选：D
本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
对式子两边平方，再利用向量的数量积运算即可；式子两边分别与向量，进行数量积运算，得到关于的方程组，解方程组即可得答案.
【详解】
∵，
∴；
∵，
∴
解得：，∴.
故答案为：；.
本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法.
12、.
【解析】
设向量、的夹角为，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出的值，利用反三角函数可求出的值.
【详解】
设向量、的夹角为，
由平面向量数量积的运算律与定义得，，，因此，向量、的夹角为，故答案为.
本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.
13、12
【解析】
直接根据圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积的关系计算得解.
【详解】
因为圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积相等，
所以此圆柱的侧面积为.
故答案为：12
本题主要考查圆柱的侧面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14、1
【解析】
试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为1．
考点：正弦定理的应用．
15、-18
【解析】
根据等比中项的性质，列出等式可求得结果.
【详解】
由等比中项的性质可得，，得.
故答案为：-18
本题主要考查等比中项的性质，属于基础题.
16、
【解析】
设直线的截距式方程为，利用该直线过可得，再利用基本不等式可求何时即取最小值，从而得到相应的直线方程．
【详解】
设直线的截距式方程为，其中且．
因为直线过，故．
所以，
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
故当取最小值时，直线方程为：．
填．
直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于的轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式，特别地，如果考虑的问题是与直线、坐标轴围成的直角三角形有关的问题，可考虑利用截距式.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）最小正周期为，单调递减区间为；
（2）.
【解析】
（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，由周期公式可得出函数的最小正周期，由
，解出的范围得出函数的单调递减区间；
（2）由，得出，解出该方程可得出结果.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为，
由，得，
因此，函数的单调递减区间为；
（2）令，得，
或，
解得或，
因此，关于的方程的解集为.
本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.
18、（1）；（2）当时，.
【解析】
（1）利用二倍角公式将函数的解析式化简得，再利用周期公式可得出函数的最小正周期；
（2）由可得出函数的最小值和对应的的值.
【详解】
（1），
因此，函数的最小正周期为；
（2）由（1）知，当，即当时，
函数取到最小值.
本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学生的化简运算能力，属于基础题.
19、 (1) ； (2) 当产量吨，平均生产成本最低.
【解析】
（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点．
【详解】
（1）设，
由函数是上的连续函数.
即，代入得
（2）设平均生产成本为，
则
当中，，函数连续且在单调递减，单调递增
即当，元
当，，由，当且仅当取等号，即当，元
综上所述，当产量吨，平均生产成本最低.
本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）化简即得向量,所成的角的大小；（2）由，可得，化简即得解.
【详解】
解：（1）由，可得．
即，
因为，
所以，
又因为，，代入上式，
可得，即．
（2）由，可得．
即，
则，得．
本题主要考查数量积的运算和向量的模的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
21、（1）3；（2）1.
【解析】
（1），．用余弦定理，即可求出；
（2）设，，用正弦定理求出，，展开，结合辅助角公式可化为，由的取值范围，即可求解.
【详解】
（1）在中，由余弦定理得，
，
所以线段的长度为3千米．
（2）设，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
．
所以，，
因此

，
因为，所以．
所以当，即时，取到最大值1．
答：两条观光线路距离之和的最大值为1千米．
本题考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，尤其是辅助角公式要熟练应用，属于中档题.