江西省重点中学2025届高一数学第二学期期末达标测试试题含解析.doc

江西省重点中学2025届高一数学第二学期期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列为等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角，，所对的边为，，，且为锐角，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若向量， ，且，则＝( )
A． B．－ C． D．－
5．已知为等比数列的前项和，，，则　　
A． B． C． D．11
6．等差数列中，，则数列前9项的和等于（ ）
A．66 B．99 C．144 D．297
7．已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量、满足，且，则为（ ）
A． B．6 C．3 D．
9．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )．
A． B．2 C． D．
10．函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知正方体的棱长为，点、分别为、的中点，则点到平面的距离为______.
12．已知，，且，则__________．
13．已知圆锥如图所示，底面半径为，母线长为，则此圆锥的外接球的表面积为___．

14．函数的最小正周期是____.
15．在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为__________．
16．已知一个铁球的体积为，则该铁球的表面积为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，求数列的前项和.
18．已知.
（1）设，求满足的实数的值；
（2）若为上的奇函数，试求函数的反函数.
19．已知直角梯形中， ， ， ， ， ，过作，垂足为， 分别为的中点，现将沿折叠，使得．
（1）求证：
（2）在线段上找一点，使得，并说明理由．

20．在锐角中，角,,所对的边分别为，，.已知,.
（1）求的值；
（2）若,求的面积.
21．已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
先求出取最大值时的所有的解，再解不等式，由解的个数决定出的取值范围．
【详解】
设，所以，解得 ，
所以满足的值恰好只有5个，

所以的取值可能为0,1,2,3,4，由
，故选C．
本题主要考查正弦函数的最值以及不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力．
2、A
【解析】
根据等比数列性质知：，得到答案.
【详解】
已知数列为等比数列

故答案选A
本题考查了等比数列的性质，属于简单题.
3、D
【解析】
利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．
【详解】
由于，有正弦定理可得： ，即
由于在中，，，所以，
联立 ，解得：，
由于为锐角，且，所以
所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）
故答案选D
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
4、B
【解析】
根据向量平行的坐标表示，列出等式，化简即可求出．
【详解】
因为，所以，即，
解得，故选B．
本题主要考查向量平行的坐标表示以及同角三角函数基本关系的应用．
5、C
【解析】
由题意易得数列的公比代入求和公式计算可得．
【详解】
设等比数列公比为q，，
则，解得，
，
故选：C．
本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．
6、B
【解析】
根据等差数列性质，结合条件可得，进而求得.再根据等差数列前n项和公式表示出，即可得解.
【详解】
等差数列中，，
则，
解得，
因而，
由等差数列前n项和公式可得，
故选：B.
本题考查了等差数列性质的应用，等差数列前n项和公式的用法，属于基础题.
7、D
【解析】
设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
依题意，圆经过点，可设且，半径为，
则，解得，所以圆的方程为.
本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8、A
【解析】
先由可得,即可求得,再对平方处理,进而求解
【详解】
因为,所以,则,
所以,
则,
故选:A
本题考查向量的模,考查向量垂直的数量积表示,考查运算能力
9、D
【解析】
利用三角形面积公式列出关系式，把，已知面积代入求出的长，再利用余弦定理即可求出的长．
【详解】
∵在中，，且的面积为，
∴，
解得： ，
由余弦定理得： ，
则．
故选D．
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
10、A
【解析】
令，得：，即函数的对称中心为，再求解即可.
【详解】
解：令，解得：，
即函数的对称中心为，
令，即函数的一个对称中心是，
故选：A.
本题考查了正切函数的对称中心，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
作出图形，取的中点，连接，证明平面，可知点平面的距离等于点到平面的距离，然后利用等体积法计算出点到平面的距离，即为所求.
【详解】
如下图所示，取的中点，连接，

在正方体中，且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
又，，平面，平面，
平面，则点平面的距离等于点到平面的距离，
的面积为，
在正方体中，平面，且平面，
，易知三棱锥的体积为.
的面积为.
设点到平面的距离为，则，
.
故答案为：.
本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．
12、
【解析】
根据向量平行的坐标表示可求得；代入两角和差正切公式即可求得结果.
【详解】

本题正确结果：
本题考查两角和差正切公式的应用，涉及到向量平行的坐标表示，属于基础题.
13、
【解析】
根据圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在上，再根据勾股定理可得求的半径．
【详解】
由圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在上，设球心为，球的半径为，则，圆，因为 , 所以，所以，，则有.解得，则.

本题主要考查了几何体的外接球，关键是会找到球心求出半径，通常结合勾股定理求．属于难题．
14、
【解析】
将三角函数化简为标准形式，再利用周期公式得到答案.
【详解】
由于所以
本题考查了三角函数的化简，周期公式，属于简单题.
15、
【解析】
空间直角坐标系中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数.
【详解】
空间直角坐标系中，关于原点对称，每个坐标变为原来的相反数.
点关于原点的对称点的坐标为
故答案为：
本题考查了空间直角坐标系关于原点对称，属于简单题.
16、.
【解析】
通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积.
【详解】
球的体积为 球的半径
球的表面积为：
故答案为：
本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）求出公差，由公式得通项公式；
（2）由（1）求出，计算公比，再由等比数列前项和公式得和．
【详解】
（1）在等差数列中，，故设的公差为，
则，即，所以，
所以.
（2）设数列的公比为，则，
所以.
本题考查等差数列与等比数列的基本量法．求出数列的首项和公差（或公比），则数列的通项公式与前项和随之而定．
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）把代入函数解析式，代入方程即可求解.
（2）由函数奇偶性得，然后求得的解析式，分段求解反函数即可.
【详解】
（1）当时，，
由，得，
即，解得.
（2） 为上的奇函数，
，则.
,
由，，得，;
由，，得，.
函数的反函数为.
本题主要考查了函数的解析式及求法，考查了反函数的求法，属于中档题.
19、（1）见解析 （2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知得：面面 ；（II）分析可知，点满足时，面BDR⊥面BDC．
理由如下先计算 再求得，
，再证面面 面．
试题解析：
（Ⅰ）由已知得：面面

（II）分析可知，点满足时，面BDR⊥面BDC．
理由如下：取中点，连接
容易计算
在 中∵ 可知，
∴在中，
又在中，为中点面 ，
∴面 面．

20、（1）2；（2）3.
【解析】
（1）利用正弦定理可得，消元后可得关于的三角方程，从该方程可得的值.
（2）利用同角的三角函数的基本关系式结合（1）中的结果可得，再根据题设条件得到后再利用正弦定理可求的值，从而得到所求的面积.
【详解】
(1)在由正弦定理得，①，
因为,所以，
又因为，所以，整理得到，
故.
(2)在锐角中，因为，所以，
将代入①得.
在由正弦定理得，
所以.
在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等.
21、（1）；（2）或．
【解析】
（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．
【详解】
（1）圆心到直线的距离．
直线与圆相切，．
圆的标准方程为：．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，
即：，，又，．
解得：．
直线的方程为：．
②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．
综上所述的方程为：或．
本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．