上海市闸北区2025届高一数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

上海市闸北区2025届高一数学第二学期期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在各项均为正数的等比数列中，公比.若，，，数列的前n项和为，则当取最大值时，n的值为（　　）
A．8 B．9 C．8或9 D．17
2．若直线经过两点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正四面体，是棱上的动点，设（），分别记与，所成角为，，则（ ）

A． B． C．当时， D．当时，
4．设是△所在平面内的一点，且，则△与△的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若，共线，则实数（ ）
A． B． C． D．6
6．的值为 ( )
A． B． C． D．
7．已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在学习等差数列时，我们由，，，，得到等差数列的通项公式是，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（）
A．不完全归纳法 B．数学归纳法 C．综合法 D．分析法
9．己知关于的不等式解集为，则突数的取值范围为( )
A． B．
C． D．
10．已知角满足，，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最小正周期为__________．
12．已知函数的部分图象如图所示，则的值为_________.

13．若是方程的解，其中，则______.
14．已知不等式的解集为，则________.
15．如图1，动点在以为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点开始计时，用时4分钟逆时针匀速旋转一圈后停止.设点的纵坐标（米）关于时间（分）的函数为，则该函数的图像大致为________.（请注明关键点）

16．已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设正项等比数列且的等差中项为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求．
18．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点， 且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH∥BD.

19．已知函数，且.
（1）求的值；
（2）若在上有且只有一个零点，，求的取值范围.
20．已知函数.
（1）求函数在上的最小值的表达式；
（2）若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围.
21．已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式:
(2)设，求数列的通项公式及其前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
∵ 为等比数列，公比为，且
∴
∴，则
∴
∴
∴，
∴数列是以4为首项，公差为的等差数列
∴数列的前项和为
令
当时，
∴当或9时，取最大值.
故选C
点睛：（1）在解决等差数列、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：一是利用基本量将多元问题简化为一元问题；二是利用等差数列、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列、等比数列问题的快捷方便的工具；
（2）求等差数列的前项和最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解；②邻项变号法：当时，满足的项数使得取得最大值为；当时，满足的项数使得取得最小值为.
2、C
【解析】
利用斜率公式求出直线，根据斜率值求出直线的倾斜角.
【详解】
直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为，故选：C.
本题考查直线的倾斜角的求解，考查直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题。
3、D
【解析】
作交于时，为正三角形，，是与成的角，根据等腰三角形的性质，作交于，同理可得，当时，，故选D．
4、B
【解析】
试题分析：依题意，得，设点到的距离为，所以与的面积之比是
，故选B．
考点：三角形的面积．
5、C
【解析】
利用向量平行的性质直接求解．
【详解】
向量，，共线，
，
解得实数．
故选：．
本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6、B
【解析】
直接利用诱导公式结合特殊角的三角函数求解即可.
【详解】
,故选B.
本题主要考查诱导公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.
7、C
【解析】
根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式计算可得.
【详解】
解：因为，

．
因为，
所以．
因为，，所以．
所以

．
故选：
本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题.
8、A
【解析】
根据题干中的推理由特殊到一般的推理属于归纳推理，但又不是数学归纳法，从而可得出结果.
【详解】
本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，因此，本题中的推理方法是不完全归纳法，故选：A.
本题考查归纳法的特点，判断时要区别数学归纳法与不完全归纳法，考查对概念的理解，属于基础题.
9、C
【解析】
利用绝对值的几何意义求解，即表示数轴上与和－2的距离之和，其最小值为．
【详解】
∵，∴由解集为，得，解得．
故选C．
本题考查绝对值不等式，考查绝对值的性质，解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解，也可应用绝对值的几何意义求解．不等式解集为，可转化为的最小值不小于1，这是解题关键．
10、D
【解析】
根据角度范围先计算和，再通过展开得到答案.
【详解】
，
，

故答案选D
本题考查了三角函数恒等变换，将是解题的关键.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先将转化为余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.
【详解】
解：

最小正周期为.
故答案为
本题考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.
12、
【解析】
根据图像可得，根据0所在位置，处于函数的单调减区间，即可得解.
【详解】
由图可得：，或
由于0在函数的单调减区间内，
所以.
故答案为：
此题考查根据三角函数的图象求参数的取值，常用代入法求解，判定初相的取值时，根据图象结合单调性取值.
13、
【解析】
把代入方程2cos（x+α）＝1，化简根据α∈（0，2π），确定函数值的范围，求出α即可．
【详解】
∵是方程2cos（x+α）＝1的解，∴2cos（+α）＝1，即cos（+α）＝．
又α∈（0，2π），∴+α∈（，）．∴+α＝．∴α＝．
故答案为
本题考查三角函数值的符号，三角函数的定义域，考查逻辑思维能力，属于基础题．
14、-7
【解析】
结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由不等式的解集为，可得 ，解得，
所以.
故答案为：.
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据题意先得出，再画图．
【详解】
解：设，，
，，，
则
当时，处于最低点，则，
，
可画图为：
故答案为：
本题考查了三角模型的实际应用，关键是根据题意建立函数模型，属中档题．
16、
【解析】
函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，

由指数函数y=ax，x=2时，y∈（1，2）；对数函数y=logcx，x=2，y∈（0，1）；幂函数y=xb，x=2，y∈（1，2）；
可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．
可得b＜a＜c
故答案为：b＜a＜c．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用已知条件列出方程，求出首项与公比，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．
【详解】
（1）设等比数列的公比为，
由题意，得，解得，
所以.
（2）由（1）得，
∴，
∴，
∴.
本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．
18、证明见解析
【解析】
证明：平面，
平面，且，
平面，
平面ABD,
平面平面,
.
19、（1） （2）
【解析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简表达式，利用求得的值.
（2）令，结合的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1）

，
，，
即.
（2）令，则，
，，
在上有且只有一个零点，
，，
的取值范围为.
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）求出函数的对称轴方程，对实数分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可得出函数在区间上的最小值的表达式；
（2）对函数分情况讨论：（i）方程在区间上有两个相等的实根；（ii）①方程在区间只有一根；（②；③.可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】
（1），其对称轴为，
当，即时，函数在区间上单调递减，；
当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
；
当时，即当时，函数在区间上单调递增，.
综上所述：；
（2）（i）若方程在上有两个相等的实数根，
则，此时无解；
（ii）若方程有两个不相等的实数根.
①当只有一根在内时，，即，得；
②当时，，方程化为，其根为，，满足题意；
③当时，，方程化为，其根为，，满足题意.
综上所述，的取值范围是.
本题考查二次函数在定区间上最值的计算，同时也考查了利用二次函数在区间上零点个数求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21、 (1) (2) ，
【解析】
(1) 利用累加法得到答案.
(2)计算，利用裂项求和得到前项和.
【详解】
(1)由题意可知

左右累加得.
(2)
.
本题考查了数列的累加法，裂项求和法，是数列的常考题型.