安徽省皖南八校2024-2025学年高一数学第二学期期末监测模拟试题含解析.doc

安徽省皖南八校2024-2025学年高一数学第二学期期末监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
2．已知正实数满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．在中，已知，，则为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
4．已知是的边上的中点，若向量，，则向量等于（ ）
A． B． C． D．
5．集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列的前项和为， ，则（　　）
A． B． C． D．
8．不等式的解集为( )
A． B． C． D．
9．已知在三角形中，，点都在同一个球面上，此球面球心到平面的距离为，点是线段的中点，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．1
10．以圆形摩天轮的轴心为原点，水平方向为轴，在摩天轮所在的平面建立直角坐标系.设摩天轮的半径为米，把摩天轮上的一个吊篮看作一个点，起始时点在的终边上，绕按逆时针方向作匀速旋转运动，其角速度为（弧度/分），经过分钟后，到达，记点的横坐标为，则关于时间的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的最大值为 ．
12．已知数列满足，若，则数列的通项______.
13．函数在的递减区间是__________
14．在边长为2的正△ABC所在平面内，以A为圆心，为半径画弧，分别交AB，AC于D，E.若在△ABC内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．
15．不等式的解集为________
16．在数列中，，，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，满足，，且.
（1）求;
（2）在中，若，，求.
18．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号站开始，在每个车站下车是等可能的，约定用有序实数对表示“甲在号车站下车，乙在号车站下车”
（Ⅰ）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
（Ⅱ）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
（Ⅲ）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
19．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，，且，求（用含、、的形式表示）.
20．如图，在平行四边形中，边所在直线的方程
为，点.
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求边上的高所在直线的方程.

21．已知函数.
（1）求的值；
（2）设，求 的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
首先根据题意得到，为方程的根，再解出的值带入不等式即可.
【详解】
有题知：，为方程的根.
所以，解得.
所以，解得：或.
故选：B
本题主要考查二次不等式的求法，同时考查了学生的计算能力，属于简单题.
2、B
【解析】
由，然后由基本不等式可得最大值．
【详解】
，当且仅当，即时，等号成立．
∴所求最大值为．
故选：B.
本题考查用基本不等式求最值，注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．
3、A
【解析】
已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．
【详解】
将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，
﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选A．
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
4、C
【解析】
根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得，，解出向量．
【详解】
根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，
有．
故选．
本题考查向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平和分析推理能力.
5、C
【解析】
，则，
所以，元素个数为2个。故选C。
6、A
【解析】
根据同角三角函数关系，进行求解即可.
【详解】
因为，
故
又因为是第二象限的角，
故
故.
故选：A.
本题考查同角三角函数关系的简单使用，属基础题.
7、A
【解析】
利用等差数列下标和的性质可计算得到，由计算可得结果.
【详解】
由得：
本题正确选项：
本题考查等差数列性质的应用，涉及到等差数列下标和性质和等差中项的性质应用，属于基础题.
8、B
【解析】
可将分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为零.
【详解】
原不等式可化为，其解集为，故选B.
一般地，等价于，而则等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.
9、D
【解析】
利用数形结合，计算球的半径，可得半径为2，进一步可得该几何体为正四面体，可得结果.
【详解】
如图

据题意可知：点都在同一个球面上
可知为的外心，故球心必在过
且垂直平面的垂线上
因为，
所以
球心到平面的距离为
即，又
所以
同理可知：
所以该几何体为正四面体，
由点是线段的中点
所以，
且平面，故平面
所以点到平面的距离是
故选：D
本题考查空间几何体的应用，以及点到面的距离，本题难点在于得到该几何体为正四面体，属中档题.
10、B
【解析】
根据题意，点的横坐标，由此通过特殊点的坐标，判断所给的图象是否满足条件，从而得出结论.
【详解】
根据题意可得，振幅，角速度，初相，
点的横坐标，
故当时，，当时，为的最大值，
故选：B.
本题考查三角函数图象的实际应用以及余弦型函数图象的特征，其中，求出函数模型的解析式是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
略
12、
【解析】
直接利用数列的递推关系式和叠加法求出结果．
【详解】
因为，所以当时，

. 时也成立.
所以数列的通项.
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
13、
【解析】
利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质得出结论．
【详解】
，
由得，，
时，．即所求减区间为．
故答案为．
本题考查三角函数的单调性，解题时需把函数化为一个角一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解．
14、
【解析】
由三角形ABC的边长为2不难求出三角形ABC的面积，又由扇形的半径为，也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．
【详解】

由题意知，在△ABC中，BC边上的高AO正好为，∴圆与边CB相切，如图．
S扇形＝×××＝，
S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.
本题考查面积型几何概型概率的求法，属基础题.
15、
【解析】
因为所以，
即不等式的解集为.
16、
【解析】
由递推公式可以求出 ，可以归纳出数列的周期，从而可得到答案.
【详解】
由，
，.
,
可推测数列是以3为周期的周期数列.
所以。
故答案为：
本题考查数量的递推公式同时考查数列的周期性，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)
【解析】
（1）将展开得到答案.
（2），平方计算得到答案.
【详解】
解：（1）因为
所以，，
所以，，
又夹角在上，∴；
（2）因为，
所以，，
所以，边的长度为.
本题考查了向量的夹角，向量的加减计算，意在考查学生的计算能力.
18、（Ⅰ）（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、
（3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
(Ⅰ) 甲、乙两人下车的所有可能的结果为
(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)
(Ⅱ)设甲、乙两人同在第3号车站下车的的事件为A，则
(Ⅲ) 设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则
19、
【解析】
由任意角的三角函数定义求得，再由诱导公式及同角的三角函数基本关系式求得，再由两角差的正弦求.
【详解】
由题意，，，
又，所以，
，

则 .
本题主要考查了任意角的三角函数定义，同角三角函数的关系，两角和差的正弦，属于中档题.
20、解: （Ⅰ）∵是平行四边形

直线CD的方程是，即
（Ⅱ）∵CE⊥AB

CE所在直线方程为,.
【解析】
略
21、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）直接带入求值；
（2）将和直接带入函数，会得到和的值，
然后根据的值．
试题解析：解：（1）
（2）

考点：三角函数求值