天津市东丽区天津耀华滨海学校2024-2025学年数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

天津市东丽区天津耀华滨海学校2024-2025学年数学高一第二学期期末学业水平测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直线，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．1
2．在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是 （ ）

A．异面直线和所成的角为定值 B．直线和平面平行
C．三棱锥的体积为定值 D．直线和平面所成的角为定值
3．在正三棱锥中，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知角、是的内角，则“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．对具有线性相关关系的变量，有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
10．已知的模为1，且在方向上的投影为，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列为等差数列，，，若，则________.
12．已知圆是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值是____.
13．在△ABC中，，则________．
14．已知，则的取值范围是_______；
15．已知函数,为的反函数,则_______(用反三角形式表示).
16．求374与238的最大公约数结果用5进制表示为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）为数列的前n项和，，求数列的前n项和．
18．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
19．已知，，，且.
（1）若，求的值；
（2）设，，若的最大值为，求实数的值.
20．已知直线与直线的交点为P，点Q是圆上的动点.
（1）求点P的坐标；
（2）求直线的斜率的取值范围.
21．等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
当为,为,若,则,由此求解即可
【详解】
由题,因为,所以,即,
故选:D
本题考查已知直线垂直求参数问题,属于基础题
2、D
【解析】
结合条件和各知识点对四个选项逐个进行分析，即可得解.
【详解】
，在棱长为的正方体中，点在线段上运动
易得平面，
平面，
，故这两个异面直线所成的角为定值，故正确
，直线和平面平行，所以直线和平面平行，故正确
，三棱锥的体积还等于三棱锥的体积，
而平面为固定平面且大小一定，
，而平面
点到平面的距离即为点到该平面的距离，
三棱锥的体积为定值，故正确
，由线面夹角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时这个角是变化的，故错误
故选
本题考查了异面直线所成角的概念、线面平行及线面角等，三棱锥的体积的计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等这一结论，即等体积法的转换．
3、B
【解析】
利用正三棱锥的性质，作出侧棱与底面所成角，利用直角三角形进行计算.
【详解】
连接P与底面正△ABC的中心O，因为是正三棱锥，所以面，
所以为侧棱与底面所成角，因为，所以
，所以，故选B.
本题考查线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题.
4、B
【解析】
已知两角及一对边，求另一边，我们只需利用正弦定理.
【详解】
在三角形中由正弦定理公式: ，所以选择B
本题直接属于正弦定理的直接考查，代入公式就能求解.属于简单题.
5、C
【解析】
设直径的两个端点分别A（a，2）、B（2，b），圆心C为点（-1，1），由中点坐标公式得解得a=-4，b=1．∴半径r=∴圆的方程是：（x+1）1+（y-1）1=5，即x1+y1+4x-1y=2．
故选C．
6、C
【解析】
结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】
在三角形中，根据大边对大角原则，若，则，由正弦定理得，充分条件成立；
若，由可得，根据大边对大角原则，则，必要条件成立；
故在三角形中，“”是“”的充要条件
故选：C
本题考查充分条件与必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，三角形大边对大角原则应谨记，属于基础题
7、D
【解析】
取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求
【详解】
取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF, 因为则为二面角的平面角，即
又
设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为
则面，由
在四边形中，设，外接球半径为，则
则三棱锥的外接球的表面积为
故选D
本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题
8、A
【解析】
先求出，再由线性回归直线通过样本中心点即可求出.
【详解】
由题意，，因为线性回归直线通过样本中心点，将代入可得，所以.
故选：A.
本题主要考查线性回归直线通过样本中心点这一知识点的应用，属常规考题.
9、B
【解析】
根据，在直线异侧或其中一点在直线上列不等式求解即可.
【详解】
因为直线与线段相交，
所以，，在直线异侧或其中一点在直线上，
所以，
解得或，故选B.
本题主要考查点与直线的位置关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
10、A
【解析】
根据投影公式，直接得到结果.
【详解】
，
.
故选A.
本题考查了投影公式，属于简单题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组解出和的值，可求出的表达式，再由可解出的值.
【详解】
设等差数列的公差为，由，得，解得，
，，因此，，故答案为：.
本题考查等差数列的求和，对于等差数列的问题，通常建立关于首项和公差的方程组求解，考查方程思想，属于中等题.
12、
【解析】
由题意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．
【详解】
圆，得，则圆心C（1，2），半径R＝，
如图可得：＝＝﹣＝，
点是直线上，所以＝（）2＝，
∴的最小值是＝.
故答案为： ．

本题考查了向量的数量积、转化和数形结合的思想，点到直线的距离，属于中档题．
13、
【解析】
因为
所以
注意到：
故

．
故答案为：
14、
【解析】
本题首先可以根据向量的运算得出，然后等式两边同时平方并化简，得出，最后根据即可得出的取值范围．
【详解】
设向量与向量的夹角为，
因为，所以，
即，
因为，所以，即，
所以的取值范围是．
本题考查向量的运算以及向量的数量积的相关性质，向量的数量积公式，考查计算能力，是简单题．
15、
【解析】
先将转化为，，然后求出即可
【详解】
因为
所以
所以
所以
所以
把与互换可得
即
所以
故答案为：
本题考查的是反函数的求法，较简单
16、
【解析】
根据最大公约数的公式可求得两个数的最大公约数，再由除取余法即可将进制进行转换.
【详解】
374与238的最大公约数求法如下：
，
，
，
，
所以两个数的最大公约数为34.
由除取余法可得：

所以将34化为5进制后为，
故答案为：.
本题考查了最大公约数的求法，除取余法进行进制转化的应用，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），n∈N+；（2）
【解析】
（1）设公比为q，q>0，运用等比数列的通项公式，解方程即可得到所求；
（2），再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
【详解】
(1)数列是各项均为正数的等比数列，设公比为q，q>0，
，.
即, ，
解得,
可得，n∈N+；
(2) ，
前n项和
，
由(1)可得a1=2, ，
即有.
本题考查数列的通项和求和，数列求和的常用方法有:分组求和,错位相减求和,倒序相加求和等，本题解题关键是裂项的形式，本题属于中等题.
18、（1）24；（2）8
【解析】
（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【详解】
(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
19、 (1)0 (2)
【解析】
（1）通过可以算出，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出，再通过最大值根的分布，求出的值.
【详解】
（1）通过可以算出，
即
故答案为0.
（2），设，，，
即的最大值为；
①当时，（满足条件）；
②当时，
（舍）；
③当时，（舍）
故答案为
当式子中同时出现时，常常可以利用换元法，把用进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）联立方程求解即可；（2）设直线PQ的斜率为，得直线PQ的方程为，由题意，直线PQ与圆有公共点得求解即可
【详解】
（1）由得 ∴P的坐标为
的坐标为 .
（2）由得
∴圆心的坐标为，半径为
设直线PQ的斜率为，
则直线PQ的方程为
由题意可知，直线PQ与圆有公共点
即 或
∴直线PQ的斜率的取值范围为.
本题考查直线交点坐标，考查直线与圆的位置关系，考查运算能力，是基础题
21、（1），；（2）
【解析】
（1）由是等差数列，，，可求出，由是等比数列，，，，可求出；（2）将和的通项公式代入，则 ，利用裂项相消求和法可求出.
【详解】
(1)，，，解得
.
又，，
.
（2）由（1），得

本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题．