2025年安徽省阜阳市示范名校数学高一下期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025年安徽省阜阳市示范名校数学高一下期末复习检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．数列1，，，，…的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，为直线，，为平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则与为异面直线
C．若，，，则
D．若，，，则
3．一个钟表的分针长为 ，经过分钟，分针扫过图形的面积是( )
A． B． C． D．
4．若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知为递增等比数列，则（）
A． B．5 C．6 D．
6．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是

A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图所示，在四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论中正确的结论个数是（ ）

①；②；
③与平面所成的角为；
④四面体的体积为.
A．个 B．个 C．个 D．个
8．设为等比数列的前n项和,若,,成等差数列,则( )
A．,,成等差数列 B．,,成等比数列
C．,,成等差数列 D．,,成等比数列
9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：
A．281盏 B．9盏 C．6盏 D．3盏
10．数列的通项，其前项之和为，则在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ）
A．-10 B．-9 C．10 D．9
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．正方体中，分别是的中点，则所成的角的余弦值是__________．
12．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，, 则异面直线与所成的角为____.

13．一个等腰三角形的顶点，一底角顶点，另一顶点的轨迹方程是___
14．利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_____项．
15．等差数列，，存在正整数，使得，，若集合有4个不同元素，则的可能取值有______个.
16．已知向量，且，则的值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知点，圆．
（1）求过点M的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求的值．
18．如图，为了测量河对岸、两点的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、．并测量得到以下数据，，，，，米，米．求、两点的距离．

19．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
20．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，

（1）证明：AB⊥PC；
（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值
（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由
21．已知圆内有一点，过点作直线交圆于两点.
（1）当直线经过圆心时，求直线的方程；
（2）当弦被点平分时，写出直线的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
把数列化为，根据各项特点写出它的一个通项公式.
【详解】
数列…可以化为，所以该数列的一个通项公式为.
故选：A
本题考查了根据数列各项特点写出它的一个通项公式的应用问题，是基础题目.
2、D
【解析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.
【详解】
由，为直线，，为平面，知：
在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；
在D中，若，，，则由线面垂直、面面平行的性质定理得，故D正确.
故选：D.
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题.
3、B
【解析】
分析题意可知分针扫过图形是扇形，要求这个扇形的面积需要得到扇形的圆心角和半径，再代入扇形的面积公式计算即可．
【详解】
经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格
则分钟走过的度数为
钟表的分针长为10
分针扫过图形的面积是
故选
本题主要考查了求扇形面积，结合公式需要求出扇形的圆心角和半径，较为基础
4、B
【解析】
∵不等式对任意， 恒成立，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∴，∴实数的取值范围是，故选B.
5、D
【解析】
设数列的公比为，根据等比数列的性质，得，又由，求得，进而可求解的值，得到答案.
【详解】
根据题意，等比数列中，设其公比为，
因为，则有，又由，且，
解得，所以，
所以，
故选D.
本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6、C
【解析】
根据相邻正方体的关系得出个正方体的棱长为等比数列，求出塔形表面积的通项公式，令，即可得出的范围．
【详解】
设从最底层开始的第层的正方体棱长为，则是以2为首项，以为公比的等比数列.
∴是以4为首项，以为公比的等比数列
∴塔形的表面积为.
令，解得.
∴塔形正方体最少为6个.
故选C.
此题考查了立体图形的表面积问题以及等比数列求和公式的应用．解决本题的关键是得到上下正方体的棱长之间的关系，从而即可得出依次排列的正方体的一个面的面积，这里还要注意把最下面的正方体看做是6个面之外，上面的正方体都是露出了4个面．
7、B
【解析】
根据题意，依次分析命题：对于①，可利用反证法说明真假；
对于②，为等腰直角三角形，平面，得平面，根据勾股定理逆定理可知；
对于③，由与平面所成的角为知真假；
对于④，利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．
【详解】
在四边形中，，，则，可得，
由，若，且，可得平面，
平面，，这与矛盾，故①不正确；
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，，
由勾股定理得，，，
，故，故②正确；
由②知平面，则直线与平面所成的角为，且有，
，则为等腰直角三角形，且，则.
故③不正确；
四面体的体积为，故④不正确.
故选：B.
本题主要考查了直线与平面所成的角，以及三棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力，推理论证能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．
8、A
【解析】
先说明不符合题意，由时，成等差数列，算得，然后用表示出来，即可得到本题答案.
【详解】
设等比数列的公比为q，首项为，当时，有，不满足成等差数列；当时，因为成等差数列，所以，即
，化简得，解得，所以，，，则成等差数列.
故选：A
本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用，计算出等比数列的公比是关键，考查计算能力，属于中等题.
9、D
【解析】
设塔的顶层共有盏灯，得到数列的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n项公式，即可求解．
【详解】
设塔的顶层共有盏灯，则数列的公比为2的等比数列，
所以，解得，
即塔的顶层共有3盏灯，故选D．
本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
10、B
【解析】
试题分析：因为数列的通项公式为，所以其前项和为
，令，所以直线方程为，令，解得，即直线在轴上的截距为，故选B．
考点：数列求和及直线方程．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
取的中点，由得出异面直线与所成的角为，然后在由余弦定理计算出，可得出结果．
【详解】
取的中点，由且可得为所成的角，
设正方体棱长为，中利用勾股定理可得，
又，由余弦定理可得，
故答案为．

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题．
12、
【解析】
要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．
【详解】
取的中点E,连AE, ,易证，∴为异面直线与所成角，
设等边三角形边长为，易算得∴在
∴
故答案为

本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求．
13、
【解析】
设出点C的坐标，利用|AB|＝|AC|，建立方程，根据A，B，C三点构成三角形，则三点不共线且B，C不重合，即可求得结论．
【详解】
设点的坐标为，
则由得
，
化简得.
∵A，B，C三点构成三角形
∴三点不共线且B，C不重合
因此顶点的轨迹方程为.
故答案为
本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
14、.
【解析】
分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.
【详解】
当时，左边，
当时，左边，
观察可知，增加的项数是，
故答案是.
该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.
15、4
【解析】
由题意得为周期数列，集合有4个不同元素，得，在分别对取值讨论即可.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，则，，
由题意，存在正整数，使得，又集合有4个不同元素，得，
当时，，即，
，或（舍），
，取，则，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，即集合可取4个不同元素；
当，，即，
，在单位圆上的5个等分点不可能取到4个不同的正弦值，故舍去；
同理可得：当，，，集合可取4个不同元素；
当时，，单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符合集合的元素互异性，故不可取应舍去.
故答案：4.
本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，理解分析问题能力，属于难题.
16、-7
【解析】
，利用列方程求解即可.
【详解】
，且，
，解得：.
考查向量加法、数量积的坐标运算.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或．（2）
【解析】
(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为,再根据圆心到直线的距离等于半径求解即可.
(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可.
【详解】
解：（1）由题意知圆心的坐标为,半径,
当过点M的直线的斜率不存在时,方程为．
由圆心到直线的距离知,此时,直线与圆相切．
当过点M的直线的斜率存在时,设方程为,
即．由题意知,
解得,∴方程为．
故过点M的圆的切线方程为或．
（2）∵圆心到直线的距离为,
∴,解得．
本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题.
18、米
【解析】
在中，求出，利用正弦定理求出，然后在中利用锐角三角函数定义求出，最后在中，利用余弦定理求出.
【详解】
由题意可知，在中，，
由正弦定理得，所以米，
在中，米，
在中，由余弦定理得
，
所以，米.
本题考查利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合已知元素类型选择正弦、余弦定理解三角形，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）解方程组即得，即得数列的通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列的前项和．
【详解】
（Ⅰ）由题意： ,
化简得，因为数列的公差不为零，，
故数列的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
故数列的前项和．
本题主要考查等差数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、 (1)证明见解析 (2)．(3)存在，PN．
【解析】
（1）只需证明AB⊥面PMC，即可证明AB⊥PC；
（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM为PD与平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD与平面ABCD所成角的正弦值．
（3）设DB∩MC＝E，连接NE，可得PB∥NE，．即可．
【详解】
（1）证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，
∴PM⊥AB．
∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，
∴AB⊥面PMC，
∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；
（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．
∴PM⊥面ABCD，
∴∠PDM为PD与平面ABCD所成角．
PM，MD，PD
sin∠PMD，
即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．
（3）设DB∩MC＝E，连接NE，
则有面PBD∩面MNC＝NE，
∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．
∴．
线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．

本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、线面角，利用线面平行的性质定理确定点N的位置是关键，属于中档题．．
21、（1）（2）
【解析】
（1）求得圆的圆心为，利用直线的点斜式方程，即可求解；
（2）当弦被点平分时，，得此直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意得，圆的圆心为，
因为直线过点，所以直线的斜率为2，
直线的方程为，即直线的方程.
（2）当弦被点平分时，，此时直线的斜率为，
所以直线的方程为，即直线的方程.
本题主要考查了直线的方程的求解，以及圆的性质的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系和直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.