江西省赣州市于都二中2025年高一下数学期末监测试题含解析.doc

江西省赣州市于都二中2025年高一下数学期末监测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．数列的通项公式，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在
3．从A，B，C三个同学中选2名代表，则A被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列中，若，则（ ）
A．-21 B．-15 C．-12 D．-17
5．已知，，，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝
A．4 B．3 C．2 D．
7．在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A． B． C． D．
9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，
顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，
该八边形的面积为

A．； B．
C． D．
10．已知数列为等差数列，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．抽样调查某地区名教师的年龄和学历状况，情况如下饼图：则估计该地区岁以下具有研究生学历的教师百分比为_______．

12．若方程表示圆，则实数的取值范围是______.
13．已知一圆台的底面圆的半径分别为2和5，母线长为5，则圆台的高为_______.
14．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
15．已知等差数列满足，则__________．
16．在直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点P的位置在，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x（年）和所支出的维护费用y（万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y对x呈线性相关关系.

（1）求出y关于x的回归直线方程；
（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
18．在中，分别是所对的边，若的面积是，，．求的长．
19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面， 垂直于和，为棱上的点，，.

（1）若为棱的中点，求证：//平面；
（2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）在第（2）问条件下，设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求当取最大值时点的位置.
20．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校，，的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.
高校
相关人员
抽取人数
A
18

B
36
2
C
54

（1）求，；
（2）若从高校，抽取的人中选2人做专题发言，求这2人都来自高校的概率.
21．已知，，分别为三个内角，，的对边，.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求边，.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.
【详解】
A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.
B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.
C.若，，则可能，所以不正确.
D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.
所以，所以有，所以正确.
故选：D
本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.
2、B
【解析】
因为趋于无穷大,故,分离常数即可得出极限.
【详解】
解：因为的通项公式,
要求,即求

故选：B
本题考查数列的极限,解答的关键是消去趋于无穷大的式子.
3、D
【解析】
先求出基本事件总数，被选中包含的基本事件个数，由此能求出被选中的概率．
【详解】
从，，三个同学中选2名代表，
基本事件总数为：，共个，
被选中包含的基本事件为：，共2个，
被选中的概率．
故选：D．
本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．
4、A
【解析】
根据等差数列的前n项和公式得：，故选A.
5、B
【解析】
根据对数函数的单调性可知都大于1，把化成后可得的大小，从而可得的大小关系.
【详解】
因为及都是上的增函数，故
，，
又，故，选B.
对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.
6、C
【解析】
由，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.
【详解】
，，
，
，故选C.
本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.
7、D
【解析】
因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．
考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．
8、A
【解析】
设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.
【详解】
设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，
依题意可得，，
，
，解得，
.
故选:A.
本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
9、A
【解析】
试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
【方法点晴】
本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积，最后得到答案.
10、D
【解析】
由等差数列的性质可得a7=，而tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得．
【详解】
∵数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，
∴a1+a7+a13=3a7=4π，解得a7=，
∴tan（a2+a12）=tan（2a7）
=tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣
故选D．
本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据饼状图中的岁以下本科学历人数和占比可求得岁以下教师总人数，从而可得其中的具有研究生学历的教师人数，进而得到所求的百分比.
【详解】
由岁以下本科学历人数和占比可知，岁以下教师总人数为：人
岁以下有研究生学历的教师人数为：人
岁以下有研究生学历的教师的百分比为：
本题正确结果：
本题考查利用饼状图计算总体中的数据分布和频率分布的问题，属于基础题.
12、.
【解析】
把圆的一般方程化为圆的标准方程，得出表示圆的条件，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，方程可化为，
方程表示圆，则满足，解得．
本题主要考查了圆的一般方程与圆的标准方程的应用，其中熟记圆的一般方程与圆的标准方程的互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础．
13、4
【解析】
根据圆台轴截面等腰梯形计算．
【详解】
，
设圆高为，由圆台轴截面是等腰梯形得：，即，，
故答案为：4.
本题考查求圆台的高，解题关键是掌握圆台的性质，圆台轴截面是等腰梯形．
14、.
【解析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．
【详解】
由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为．
本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.
15、
【解析】
由等差数列的性质计算．
【详解】
∵是等差数列，∴，
∴．
故答案为：1．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．等差数列的性质如下：在等差数列中，，则．
16、
【解析】
设滚动后圆的圆心为C，切点为A，连接CP．过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（1，1），算出，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为，即为向量的坐标．
【详解】
设滚动后的圆的圆心为C，切点为，连接CP，

过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于，设，
∵C的方程为，
∴根据圆的参数方程，得P的坐标为，
∵单位圆的圆心的初始位置在，圆滚动到圆心位于，
，可得，
可得，，
代入上面所得的式子，得到P的坐标为，
所以的坐标是.
故答案为：.
本题考查圆的参数方程,平面向量坐标表示的应用，解题的关键是根据数形结合找到变量的角度，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元
【解析】
（1）由已知图形中的数据求得与的值，则线性回归方程可求；（2）直接由求得的范围得答案．
【详解】
（1），，
，
．
故线性回归方程为；
（2）由，解得．
故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元．
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
18、8
【解析】
利用同角三角函数的基本关系式求得，利用三角形的面积公式列方程求得，结合求得，根据余弦定理求得的长.
【详解】
由 （）得．
因为的面积是，则 ，所以
由 解得 ．
由余弦定理得 ，
即的长是．
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形.
19、（1）见解析；（2）；（3）即点N在线段CD上且
【解析】
（1）取线段SC的中点E，连接ME，ED．可证是平行四边形，从而有，则可得线面平行；
（2）以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出两平面与平面的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）设，其中，求出，由MN与平面所成角的正弦值为与平面的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论．
【详解】
（1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．

在中，ME为中位线，∴且，
∵且，∴且，
∴四边形AMED为平行四边形．
∴．
∵平面SCD，平面SCD，
∴平面SCD．
（2）解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，

由条件得M为线段SB近B点的三等分点．
于是，即，
设平面AMC的一个法向量为，则，
将坐标代入并取，得．
另外易知平面SAB的一个法向量为，
所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为．
（3）设，其中．
由于，所以．
所以，
可知当，即时分母有最小值，此时有最大值，
此时，，即点N在线段CD上且．
本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．
20、（1）， （2）
【解析】
（1）根据分层抽样的概念,可得,求解即可；
（2）分别记从高校抽取的2人为,,从高校抽取的3人为,,,先列出从5人中选2人作专题发言的基本事件,再列出2人都来自高校的基本事件,进而求出概率
【详解】
（1）由题意可得,所以,
（2）记从高校抽取的2人为,,从高校抽取的3人为,,,则从高校,抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有,,,,,,,,,共10种
设选中的2人都来自高校的事件为,则包含的基本事件有,,共3种
因此,故选中的2人都来自高校的概率为
本题考查分层抽样,考查古典概型,属于基础题
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理化边为角，再依据两角和的正弦公式以及诱导公式，即可求出，进而求得角A的大小：（2）依第一问结果，先由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，联立即可求解出，的值．
【详解】
（1）由及正弦定理得
，
整理得，，
，
因为，且，
所以，，
又，所以，.
（2）因为的面积，
所以， ①
由余弦定理得，，

所以， ②
联立①②解得，.
本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，涉及利用两角和的正弦公式、诱导公式对三角函数式的恒等变换．