2025届安徽省合肥市长丰中学高一下数学期末复习检测试题含解析.doc

2025届安徽省合肥市长丰中学高一下数学期末复习检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

A．35 B．20 C．18 D．9
2．己知数列和的通项公式分別内，，若，则数列中最小项的值为（ ）
A． B．24 C．6 D．7
3．已知函数，则不等式的解集为(　　)
A． B． C． D．
4．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
6．在边长为2的菱形中，，是的中点，则
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )

A． B． C． D．
8．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数图像的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.

12．向量．若向量，则实数的值是________．
13．已知x，y＝R+，且满足x2y6，若xy的最大值与最小值分别为M和m，M+m＝_____.
14．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5 ，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
15．设数列的通项公式，则数列的前20项和为____________．
16．数列满足，则数列的前6项和为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）.
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间：
（2）将f（x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，求实数m的取值范围.
18．（1）设1＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值；
（2）解关于x的不等式x2-（a+1）x+a＜1．
19．已知函数.
（1）证明函数在定义域上单调递增；
（2）求函数的值域；
（3）令，讨论函数零点的个数.
20．在△中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，，为的中点，求线段的长度.
21．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间的最大值和最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
试题分析：模拟算法：开始：输入成立；
，成立；
，成立；
，不成立，输出.故选C.
考点：1.数学文化；2.程序框图.
2、D
【解析】
根据两个数列的单调性，可确定数列，也就确定了其中的最小项．
【详解】
由已知数列是递增数列，数列是递减数列，且计算后知，又，∴数列中最小项的值是1．
故选D．
本题考查数列的单调性，数列的最值．解题时依据题意确定大小即可．本题难度一般．
3、B
【解析】
先判断函数的单调性，把转化为自变量的不等式求解.
【详解】
可知函数为减函数，由，可得，
整理得，解得，所以不等式的解集为．
故选B.
本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.
4、C
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标代入目标函数即可得解.
【详解】
作出可行域如图，

设，联立，则，
，当直线经过点时，
截距取得最小值，取得最大值.
故选：C
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.
5、A
【解析】
.
所以选A.
本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
6、D
【解析】
选取向量为基底，用基底表示，然后计算．
【详解】
由题意，，

．
故选D．
本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．
7、A
【解析】
由三视图得出原几何体是由半个圆锥与半个圆柱组成的组合体，并且由三视图得出圆柱和圆锥的底面半径，圆锥的高，圆柱的高，再由圆柱和圆锥的体积公式得解.
【详解】
由三视图可知，几何体是由半个圆锥与半个圆柱组成的组合体，
其中圆柱和圆锥的底面半径，
圆锥的高，圆柱的高
所以圆柱的体积，
圆锥的体积，
所以组合体的体积．
故选B．
本题主要考查空间几何体的三视图和空间几何体圆柱和圆锥的体积，属于基础题．
8、C
【解析】
根据复合函数单调性，结合对数型函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由于的底数为，而函数在上是减函数，根据复合函数单调性同增异减可知，结合对数型函数的定义域得，解得.
故选：C
本小题主要考查根据对数型复合函数单调性求参数的取值范围，属于基础题.
9、B
【解析】
由题得,解出x的值即得函数图像的一个对称中心.
【详解】
由题得,
所以，
所以图像的对称中心是．
当k=1时，函数的对称中心为.
故选B
本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
10、A
【解析】
由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【详解】
由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为：.
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.
本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比.
【详解】
设长方体长宽高分别为，，，
所以长方体体积，
三棱锥体积，
所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：
.
故答案为：.
本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.
12、-3
【解析】
试题分析：∵，∴，又∵，∴，∴，∴
考点：本题考查了向量的坐标运算
点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题
13、
【解析】
设，则，可得，然后利用基本不等式得到关于的一元二次方程解方程可得的最大值和最小值，进而得到结论.
【详解】
∵x，y＝R+，设，则，
∴
∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y，
∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0，
∴，
∵xy的最大值与最小值分别为M和m，
∴M，m，
∴M+m.
本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，考查了转化思想和运算推理能力，属于中档题.
14、
【解析】
利用长方体的体对角线是长方体外接球的直径,求出球的半径，从而可得结果.
【详解】
本题主要考查空间几何体的表面积与体积．
长方体的体对角线是长方体外接球的直径,
设球的半径为，则,
可得，球的表面积
故答案为.
本题主要考查长方体与球的几何性质，以及球的表面积公式，属于基础题.
15、
【解析】
对去绝对值，得，再求得的前项和，代入=20即可求解
【详解】
由题的前n项和为
的前20项和，代入可得.
故答案为：260
本题考查等差数列的前项和，去绝对值是关键，考查计算能力，是基础题
16、84
【解析】
根据分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式求解.
【详解】
因为，
所以.
本题考查分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）函数的最小正周期为π;函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z（2）m∈[﹣2，1]
【解析】
（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论；
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得的范围，进而可得的范围.
【详解】
（1）函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）sin2x﹣（1+cos2x）＝2sin（2x）﹣1，
故函数的最小正周期为π.
令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，可得函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z.
（2）将f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝2sin（2x）﹣1＝2sin（2x）﹣1的图象.
在区间[0，]上，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）∈[﹣2，1].
若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，则m∈[﹣2，1].
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.
18、（1）（2）见解析
【解析】
（1）由题意利用二次函数的性质，求得函数的最大值．
（2）不等式即（x﹣1）（x﹣a）＜1，分类讨论求得它的解集．
【详解】
（1）设1＜x，∵函数y＝x（3﹣2x）2，故当x时，函数取得最大值为．
（2）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜1，即（x﹣1）（x﹣a）＜1．
当a＝1时，不等式即 （x﹣1）2＜1，不等式无解；
当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；
当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．
综上可得，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．
本题主要考查二次函数的性质，求二次函数的最值，一元二次不等式的解集，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
19、（1）证明见解析；（2）；（3）当时，没有零点；当时，有且仅有一个零点
【解析】
（1）求出函数定义域后直接用定义法即可证明；
（2）由题意得，对两边同时平方得，求出
的取值范围即可得解；
（3）转化条件得，令，利用二次函数的性质分类讨论即可得解.
【详解】
（1）证明：令，解得，故函数的定义域为
令，

由，可得，所以，，
故即，所以函数在定义域上单调递增.
（2）由，，故，
，
当时，，有，可得：，故，
由，可得，故函数的值域为，
（3）由（2）知，
则，
令，则，
令，
①当时，，此时函数没有零点，故函数也没有零点；
②当时，二次函数的对称轴为，则函数在区间单调递增，而，，故函数有一个零点，又由函数单调递增，可得函数也只有一个零点；
③当时，，二次函数开口向下，对称轴，
又 ，，此时函数没有零点，故函数也没有零点.
综上，当时，函数没有零点；当时，函数有且仅有一个零点.
本题考查了函数单调性的证明、值域的求解和零点问题，考查了转化化归思想和分类讨论思想，属于中档题.
20、（1）； （2）； （3）.
【解析】
（1）由三角恒等变换的公式，化简，代入即可求解.
（2）在中，由余弦定理，结合基本不等式，求得，即可得到答案.
（3）设，在中，由余弦定理，求得，分别在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，在中，，则
又由
.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，可得，当且仅当等号成立，
所以的最大值为.
（3）设，如图所示，
在中，由余弦定理可得，
即，即，解得，
在中，由余弦定理,可得，……①
在中，由余弦定理,可得，……②
因为，所以，
由①+②，可得，即，
解得，即.

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．
21、（1），；（2），
【解析】
（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．
（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值．
【详解】
解：（1）

令，
解得，
即函数的单调递增区间为，
（2）由（1）知

所以当，即时，
当，即时，
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．