2025年江西省上饶市“山江湖”协作体数学高一下期末调研模拟试题含解析.doc

2025年江西省上饶市“山江湖”协作体数学高一下期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
2．一个不透明袋中装有大小､质地完成相同的四个球，四个球上分别标有数字2，3，4，6，现从中随机选取三个球，则所选三个球上的数字能构成等差数列(如：､､成等差数列，满足)的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知：，，若函数和有完全相同的对称轴，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（ ）
A．50% B．30% C．10% D．60%
6．已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．一个球自高为米的地方自由下落，每次着地后回弹高度为原来的，到球停在地面上为止，球经过的路程总和为（ ）米
A． B． C． D．
8．在中，，，，则的面积为
A． B． C． D．
9．已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率满足( )
A．或 B．或 C． D．
10．已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知,且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是 ______.
12．若锐角满足则______.
13．已知正实数满足，则的最大值为_______.
14．已知，则的取值范围是_______；
15．涡阳一中某班对第二次质量检测成绩进行分析，利用随机数表法抽取个样本时，先将个同学按、、、、进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读（注：如表为随机数表的第行和第行），则选出的第个个体是______.

16．数列满足，则的前60项和为_____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：

（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；
（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；
（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由.
18．某校高一年级有学生480名，对他们进行政治面貌和性别的调查，其结果如下：
性别
团员
群众
男

80
女
180

（1）若随机抽取一人，是团员的概率为，求，；
（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名团员中任选2人，求两人中至多有1个女生的概率．
19．已知在三棱锥S-ABC中，∠ACB=，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.

20．已知圆经过点.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）若圆与圆无公共点，求的取值范围.
21．已知四棱锥中，平面，，，，是线段的中点．

（1）求证：平面；
（2）试在线段上确定一点，使得平面，并加以证明．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A、，时，有成立，故A错误；
对于B、，时，有成立，故B错误；
对于C、，时，有成立，故C错误；
对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；
故选：D．
本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．
2、B
【解析】
用列举法写出所有基本事件，确定成等差数列含有的基本事件，计数后可得概率．
【详解】
任取3球，结果有234,236,246,346共4种，其中234，246是成等差数列的2个基本事件，
∴所求概率为．
故选：B．
本题考查古典概型，解题时可用列举法列出所有的基本事件．
3、C
【解析】
由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得，
，则该双曲线的离心率为.故选C.
4、B
【解析】
，所以
因此
，选B.
5、A
【解析】
甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案.
【详解】
甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加
甲、乙下成平局的概率为：
故答案选A
本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解.
6、D
【解析】
平面外的一条直线平行平面内的一条直线则这条直线平行平面，若两平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面，主要依据这两个定理进行判断即可得到答案．
【详解】
如图所示：

由于，，，所以，又因为，所以，故A正确，
由于，，所以，故B正确，
由于，，在外，所以，故C正确；
对于D，虽然，当不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正确；
故答案选D
本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判断以及性质应用，要求熟练掌握定理是解题的关键．
7、D
【解析】
设球第次到第次着地这一过程中球经过的路程为米，可知数列是以为首项，以为公比的等比数列，由此可得出球经过的路程总和为米.
【详解】
设球第次到第次着地这一过程中球经过的路程为米，
则，由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，球经过的路程总和米.
故选:D.
本题考查等比数列的实际应用，涉及到无穷等比数列求和问题，考查计算能力，属于中等题.
8、C
【解析】
利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形内角和求出角C，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果.
【详解】
因为中，，，，
由正弦定理得：，
所以，所以，
所以，
所以，故选C.
该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得，从而求得，之后应用三角形面积公式求得结果.
9、A
【解析】
画出三点的图像，根据的斜率，求得直线斜率的取值范围.
【详解】
如图所示，过点作直线轴交线段于点，作由直线①直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为钝角，斜率的范围是.②直线与线段的交点在线段 (除去点)上时，直线的倾斜角为锐角，斜率的范围是.因为，，所以直线的斜率满足或.
故选:A.

本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
10、C
【解析】
首先分析题目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为Sn，求满足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整数n．故可以考虑把等式3an+1+an=4变形得到，然后根据数列bn=an﹣1为等比数列，求出Sn代入绝对值不等式求解即可得到答案．
【详解】
对3an+1+an=4 变形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）
即：
故可以分析得到数列bn=an﹣1为首项为8公比为的等比数列．
所以bn=an﹣1=8×
an=8×+1
所以
|Sn﹣n﹣6|=
解得最小的正整数n=7
故选C．
此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列an﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先由得出，再根据即可求出与的夹角的取值范围.
【详解】
因为关于的方程有实数根，所以，即，设与的夹角为，所以，因为，所以，即与的夹角的取值范围是
本题主要考查平面向量的夹角公式的应用等，属基础题.
12、
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解．
【详解】
、为锐角，，
，，
，，
．
故答案为：．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
13、
【解析】
对所求式子平边平方，再将代入，从而将问题转化为求
【详解】
∵
∵，
∴，∴，
等号成立当且仅当.
故答案为：.
本题考查条件等式下利用基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.
14、
【解析】
本题首先可以根据向量的运算得出，然后等式两边同时平方并化简，得出，最后根据即可得出的取值范围．
【详解】
设向量与向量的夹角为，
因为，所以，
即，
因为，所以，即，
所以的取值范围是．
本题考查向量的运算以及向量的数量积的相关性质，向量的数量积公式，考查计算能力，是简单题．
15、.
【解析】
根据随机数法列出前个个体的编号，即可得出答案.
【详解】
由随机数法可知，前个个体的编号依次为、、、、、、，
因此，第个个体是，故答案为.
本题考查随机数法读取样本个体编号，读取时要把握两个原则：
（1）看样本编号最大数为几位数，读取时就几个数连着一起取；
（2）不在编号范围内的号码要去掉，重复的只能取第一次.
16、1830
【解析】
由题意可得，，，，，，…，，变形可得，，，，，，，，…，利用数列的结构特征，求出的前60项和．
【详解】
解： ，
∴，，，，，，…，，
∴，，，，，，，，…，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，
的前60项和为，
故答案为：．
本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前项和，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图中的数据计算、，进而可得平均分的估计值；
（Ⅱ）求出基本事件数，计算所求的概率值；
（Ⅲ）答案不唯一.从平均数与方差考虑，派甲参赛比较合适；从成绩优秀情况分析，派乙参赛比较合适.
【详解】
（Ⅰ）由茎叶图中的数据，计算，
，
由样本估计总体得，甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分分别均约为分.
（Ⅱ）从甲、乙两名同学高于分的成绩中各选一个成绩，基本事件是，
甲、乙两名同学成绩都在分以上的基本事件为，
故所求的概率为.
（Ⅲ）答案不唯一.
派甲参赛比较合适，理由如下：
由（Ⅰ）知，，

，
，
因为，，
所有甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适；
派乙参赛比较合适，理由如下：
从统计的角度看，甲获得分以上（含分）的频率为，
乙获得分以上（含分）的频率为，
因为，所有派乙参赛比较合适.
本题考查了利用茎叶图计算平均数与方差的应用问题，属于基础题.
18、（1），；（2）．
【解析】
（1）随机抽取一人，是团员的概率为，得，再由总人数为480得的另一个关系式，联立求解，即可得出结论；
（2）根据团员男女生人数的比例，可求出抽取一个样本容量为5的样本，男生为2人，女生为3人，将5人编号，列出从5人中抽取2人的所有基本事件，求出至多有1个女生的基本事件的个数，按古典概型求概率，即可求解.
【详解】
解：（1）由题意得：
，
解得，．
（2）在团员学生中，按性别用分层抽样的方法，
抽取一个样本容量为5的样本，
抽中男生：人，抽中女生：人，
2名男生记为，3名女生记为，
在这5名团员中任选2人，基本事件有：

共有10个基本事件，
两人中至多有1个女生包含的基本事件个数有7个，
∴两人中至多有1个女生的概率．
本题考查分层抽样抽取元素个数的分配，考查古典概型的概率，属于基础题.
19、证明见解析
【解析】
先由SA⊥面ABC，得BC ⊥SA，又BC⊥AC，得BC⊥面SAC，故BC⊥AD，又SC⊥AD，所以AD⊥面SBC.
【详解】
证明：因为SA⊥面ABC， BC面ABC，
所以BC ⊥SA；
又由∠ACB=，得BC⊥AC，且AC、SA是面SAC内的两相交线，
所以BC⊥面SAC；
又AD面SAC，
所以 BC⊥AD，
又已知SC⊥AD，且BC、SC是面SBC内两相交线，
所以 AD⊥面SBC.
本题考查了线面垂直的证明与性质，属于基础题.
20、 (1) 或. (2)
【解析】
试题分析：
由题意可得圆的方程为．（1）由圆心到直线的距离等于半径可得，解得或，即为所求．（2）由圆与圆无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围．
试题解析：
将点的坐标代入，
可得，
所以圆的方程为，即，
故圆心为，半径.
（1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
整理得，
解得或.
（2）圆的圆心为，则,
由题意可得圆与圆内含或外离，
所以或，
解得或.
所以的取值范围为.
21、（1）见解析（2）存在线段上的中点，使平面，详见解析
【解析】
（1）利用条件判断CM与PA、AB垂直，由直线与平面垂直的判定定理可证.
（2）取PB的中点Q，PA的中点F，判断四边形CQFD为平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理可证；或取PB中点Q，证明平面CQM与平面DAP平行，再利用两平面平行的性质可证.
【详解】
解：（1）∵，∴是等边三角形，
∴，
又∵平面，平面，
∴，
又∵，
∴平面；
（2）取线段的中点，线段的中点，连结，

∴，
∵是线段的中点，，
∴，∴是平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
即存在线段上的中点，使平面.
本题考查空间直线与平面的平行、垂直判定与性质，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.