北京市西城区第四中学2025届数学高一下期末调研模拟试题含解析.doc

北京市西城区第四中学2025届数学高一下期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．某同学用收集到的6组数据对（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6）制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程：x，相关指数为r．现给出以下3个结论：①r>0；②直线l恰好过点D；③1；其中正确的结论是

A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
3．已知直线与圆相切，则的值是( )
A．1 B． C． D．
4．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
6．已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
8．在等比数列中，，，则（ ）
A． B．3 C． D．1
9．在中，设角 的对边分别为．若，则是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10．已知直线与直线平行，则实数k的值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设等比数列的公比，前项和为，则 ．
12．方程在上的解集为______．
13．下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为__________．

14．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________.
15．用数学归纳法证明不等式“（且）”的过程中，第一步：当时，不等式左边应等于__________。
16．已知等差数列中，首项，公差，前项和，则使有最小值的_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某校从高一（1）班和（2）班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示（试卷满分为100分）。
（1）班

（2）班

7
6
8

8
6
7
2
3
5
2
8
5
9

2
9
3

（1）试计算这12份成绩的中位数；
（2）用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平，哪个班更稳定一些？
18．已知数列满足，，.
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证：
19． 已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点．

(Ⅰ)求证：PC∥平面EBD；
(Ⅱ)求证：平面PBC⊥平面PCD．
20．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是1．

（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结
果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？
（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．
21．如图，直三棱柱中，点是棱的中点，点在棱上，已知，，

（1）若点在棱上，且，求证：平面平面；
（2）棱上是否存在一点，使得平面证 明你的结论。
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
设与的夹角为，计算出、、的值，再利用公式结合角的取值范围可求出的值.
【详解】
设与的夹角为，则，
，，另一方面，
，，，
因此，，，因此，，故选C.
本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，解题的关键就是计算出、、的值，考查计算能力，属于中等题.
2、A
【解析】
由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数
因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；
因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，
综上正确结论是①②，选A.
3、D
【解析】
利用直线与圆相切的条件列方程求解.
【详解】
因为直线与圆相切，所以
，，，故选D.
本题考查直线与圆的位置关系，通常利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行判断，考查运算能力，属于基本题.
4、C
【解析】
根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.
【详解】
向左平移个单位得：
将横坐标缩短为原来的得：
本题正确选项：
本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.
5、D
【解析】
根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.
【详解】
两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；
且，此时或，可知错误；
，，，此时或，可知错误；
两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.
本题正确选项：
本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.
6、D
【解析】
由题意可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解不等式即可得到所求范围．
【详解】
直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限，
可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，
解得k，
则k的取值范围是[，+∞）．
故选：D．
本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础题．
7、C
【解析】
根据直线方程求出斜率即可得到倾斜角.
【详解】
由题：直线的斜率为，
所以倾斜角为120°.
故选：C
此题考查根据直线方程求倾斜角，需要熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系，熟记常见特殊角的三角函数值.
8、C
【解析】
根据等比数列的性质求解即可.
【详解】
因为等比数列,故.
故选：C
本题主要考查了等比数列性质求解某项的方法,属于基础题.
9、D
【解析】
根据正弦定理，将等式中的边a,b消去，化为关于角A,B的等式，整理化简可得角A,B的关系，进而确定三角形．
【详解】
由题得，整理得，因此有，可得或，当时，为等腰三角形；当时，有，为直角三角形，故选D．
这一类题目给出的等式中既含有角又含有边的关系，通常利用正弦定理将其都化为关于角或者都化为关于边的等式，再根据题目要求求解．
10、A
【解析】
由两直线平行的可得:，运算即可得解.
【详解】
解：由两直线平行的判定可得:，解得，
故选：A.
本题考查利用两直线平行求参数，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、15
【解析】
分析：运用等比数列的前n项和公式与数列通项公式即可得出的值.
详解：数列为等比数列
，

故答案为15.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生对基本概念的掌握能力与计算能力.
12、
【解析】
由求出的取值范围，由可得出的值，从而可得出方程在上的解集.
【详解】
，，由，得.
，解得，因此，方程在上的解集为.
故答案为：.
本题考查正切方程的求解，解题时要求出角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.
13、
【解析】
由平均数公式可得，故所求数据的方差是，应填答案。
14、
【解析】
由在区间上具有单调性，
且知，函数的对称中心为，
由知函数的对称轴为直线，
设函数的最小正周期为，
所以，，
即，所以，
解得，故答案为.
考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.
15、
【解析】
用数学归纳法证明不等式（且），第一步，即时，分母从3到6，列出式子，得到答案.
【详解】
用数学归纳法证明不等式（且），
第一步，时，
左边式子中每项的分母从3开始增大至6，
所以应是.
即为答案.
本题考查数学归纳法的基本步骤，属于简单题.
16、或
【解析】
求出，然后利用，求出的取值范围，即可得出使得有最小值的的值.
【详解】
，令，解得.
因此，当或时，取得最小值.
故答案为：或.
本题考查等差数列前项和的最小值求解，可以利用二次函数性质求前项和的最小值，也可以转化为数列所有非正数项相加，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）80；（2）两个班级数学学习水平相同，（1）班成绩更稳定一些．
【解析】
（1）将成绩按照从小到大顺序排序，根据中位数定义可计算得到结果；（2）根据茎叶图数据计算出两个班的数学成绩平均数，根据方差计算公式可求得样本方差；由，可得到结论.
【详解】
（1）这份成绩按照从小到大的顺序排列为：
，，，，，，，，，，，
中位数为：
（2）计算（1）班平均数为：
方差为：
（2）班平均数为：
方差为：
由，知：两个班级数学学习水平相同，（1）班成绩更稳定一些
本题考查根据茎叶图计算数据的中位数、平均数及方差、利用方差比较数据的稳定性的知识；关键是能够熟练掌握中位数、平均数及方差的计算公式，属于基础题.
18、（1）证明见解析，；（2）见解析.
【解析】
（1）根据递推关系式可整理出，从而可证得结论；利用等比数列通项公式首先求解出，再整理出；（2）根据可求得，从而得到的通项公式，利用裂项相消法求得，从而使问题得证.
【详解】
（1）由得：
即，且
数列是以为首项，为公比的等比数列

数列的通项公式为：
（2）由（1）得：

又
即：
本题考查利用递推关系式证明等比数列、求解等比数列通项公式、裂项相消法求解数列前项和的问题，属于常规题型.
19、 (Ⅰ)见解析 (Ⅱ)见解析
【解析】
试题分析：（1）连，与交于，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）证明，即可证得平面平面．
试题解析：(Ⅰ)连接AC交BD与O，连接EO,
∵E、O分别为PA、AC的中点，
∴EO∥PC，
∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD
∴PC∥平面EBD
(Ⅱ)∵PD⊥平面ABCD, BC⊂平面ABCD，
∴PD⊥BC，∵ABCD为正方形，∴BC⊥CD，
∵PD∩CD＝D, PD、CD⊂平面PCD
∴BC⊥平面PCD，又∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PCD.
【点睛】本题考查线面平行，考查面面平行，掌握线面平行，面面平行的判定方法是关键．
20、（3）甲班参加；（4）．
【解析】
试题分析：（3）由题意知求出x=5，y=4．从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S34和S44，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．
（4）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有4名，乙班有3名，由此能求出随机抽取4名，至少有3名来自甲班的概率．
试题解析：（3）甲班的平均分为，易知．
；又乙班的平均分为，∴；
∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．
（4）分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为．
考点：3．古典概型及其概率计算公式；4．茎叶图．
21、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）通过证明，进而证明平面再证明平面平面；（2）取棱的中点，连接交于，结合三角形重心的性质证明，从而证明平面.
【详解】
（1）在直三棱柱中，由于平面，平面，
所以平面平面．（或者得出 ）
由于，是中点，所以．平面平面，
平面 ，所以平面．而平面，于是．
因为，，所以，所以．
与相交，所以平面,平面
所以平面平面
（2） 为棱的中点时，使得平面 ，
证明：连接交于，连接．
因为，为中线，所以为的重心，．从而．
面，平面，所以平面

本题考查面面垂直的证明和线面平行的证明. 面面垂直的证明要转化为证明线面垂直，线面平行的证明要转化为证明线线 平行.