2025年重庆市高一下数学期末调研模拟试题含解析.doc

2025年重庆市高一下数学期末调研模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．无穷数列1,3,6,10，…的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
3．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）
A． B．
C． D．
4．已知，若，则等于()
A． B．1 C．2 D．
5．若 ， ,则 （ ）
A． B． C． D．
6．某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则（ ）
摄氏温度（）
4
6
11
用电量度数
10
7
4
A．12.6 B．13.2 C．11.8 D．12.8
7．设的内角，，所对的边分别为，，,且，，面积的最大值为（）
A．6 B．8 C．7 D．9
8．已知是的共轭复数，若复数，则在复平面内对应的点是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，此函数的图象如图所示，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
10．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则线段的长为（ )

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．
12．的值为__________.
13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．
14．中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则的值为__________．
15．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
16．棱长为，各面都为等边三角形的四面体内有一点，由点向各面作垂线，垂线段的长度分别为，则=______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的值.
18．已知数列满足，，其中实数.
（I）求证：数列是递增数列；
（II）当时.
（i）求证：；
（ii）若，设数列的前项和为，求整数的值，使得最小．
19．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为．
（1）求1张奖券中奖的概率；
（2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
20．中，角所对的边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
21．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形狐上的动点，点分别在半径上，且是平行四边形，记，四边形的面积为，问当取何值时，最大？的最大值是多少？

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
试题分析：由累加法得:,分别相加得,
,故选C.
考点：数列的通项公式.
2、D
【解析】
由等比数列的公比为整数，得到，再由等比数列的性质得出，可求出、的值，于此得出和的值，进而可对四个选项进行验证.
【详解】
由等比数列的公比为整数，得到，
由等比数列的性质得出，解得，即，解得，
，则，数列是等比数列.
，，
所以，数列是以为公差的等差数列，A、B、C选项正确，D选项错误，
故选：D.
本题考查等比数列基本性质的应用，考查等比数列求和以及等比数列的定义，充分利用等比数列下标相关的性质，将项的积进行转化，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。
3、C
【解析】
直接根据所给信息，利用排除法解题。
【详解】
本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，
点在圆上，排除A
故选C
本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题。
4、A
【解析】
首先根据⇒（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，并化简得出，再化为Asin()形式即可得结果.
【详解】
由
得：（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，
化简得，即sin()=,
则sin()=
故选A.
本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题．
5、D
【解析】
由于，，，，利用“平方关系”可得，，变形即可得出．
【详解】
∵，，
∴，∴．
∵，∴，∵，
∴．
∴

．
故选D.
本题考查了两角和的余弦公式、三角函数同角基本关系式、拆分角等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
6、A
【解析】
计算数据中心点，代入回归方程得到答案.
【详解】
， ，中心点为
代入回归方程

故答案选A
本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.
7、D
【解析】
由已知利用基本不等式求得的最大值，根据三角形的面积公式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，利用基本不等式可得，即，解得，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以，
当且仅当时等号成立，故三角形的面积的最大值为，
故选D.
本题主要考查了基本不等式的应用，以及三角形的面积公式的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
由，得，所以在复平面内对应的点为，故选A.
9、B
【解析】
根据确定的两个相邻零点的值可以求出最小正周期，进而利用正弦型最小正周期公式求出的值，最后把其中的一个零点代入函数的解析式中，求出的值即可.
【详解】
设函数的最小正周期为，因此有，
当时，，
因此的坐标为：.
故选：B
本题考查了通过三角函数的图象求参数问题，属于基础题．
10、A
【解析】
设，可得，求得，在中，运用余弦定理，解方程可得所求值．
【详解】
设，可得，
且，
在中，可得，
即为，
化为，
解得舍去），
故选．
本题考查三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.
【详解】

，
由余弦定理得：（当且仅当时取等号）

本题正确结果：
本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.
12、
【解析】
由反余弦可知，由此可计算出的值.
【详解】
.
故答案为：.
本题考查正切值的计算，涉及反余弦的应用，求出反余弦值是关键，考查计算能力，属于基础题.
13、
【解析】
先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.
【详解】
设扇形的半径为R,由题得.
所以扇形的面积为.
故答案为：
本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14、4
【解析】
利用余弦定理变形可得，从而求得结果.
【详解】
由余弦定理得：

本题正确结果：
本题考查余弦定理的应用，关键是能够熟练应用的变形，属于基础题.
15、
【解析】
以A,B,C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求,

∴P==.
16、．
【解析】
根据等积法可得
∴

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）根据正弦定理将边角转化,结合三角函数性质即可求得角.
（Ⅱ）先根据余弦定理求得,再由正弦定理求得,利用同角三角函数关系式求得,即可求得.即可求得的值.
【详解】
（Ⅰ）在中,由正弦定理
可得
即
因为,所以,即
又因为,可得
（Ⅱ）在中,由余弦定理及,,
有,故
由正弦定理可得
因为,故
因此,
所以,
本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,二倍角公式及正弦和角公式的用法,属于基础题.
18、（I）证明见解析；（II）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
（I）通过计算，结合，证得数列是递增数列.（II）（i）将转化为，利用迭代法证得.(ii)由（i）得，从而，即.利用裂项求和法求得，结合（i）的结论求得，由此得到当时，取得最小值．
【详解】
（I）由
所以，因为，所以，即，
所以，所以数列是递增数列．
（II）此时．
（i）所以，有
由（1）知是递增数列，
所以
所以
（ii）因为
所以
有.
由

由（i）知，所以
所以
所以当时，取得最小值．
本小题主要考查数列单调性的证明方法，考查裂项求和法，考查迭代法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且、、两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；
（2）“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”的对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可
【详解】
（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,
设“1张奖券中奖”为事件,则,
因为、、两两互斥,所以
故1张奖券中奖的概率为
（2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
所以,
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查古典概型,考查利用对立事件求概率
20、（1）；（2）．
【解析】
（1）由正弦定理化边为角，再由同角间的三角函数关系化简可求得；
（2）利用余弦定理得出的等式，由基本不等式求得的最大值，可得面积最大值．
【详解】
（1）∵，∴，又，
∴，即，∴；
（2）由（1），
∴，当且仅当时等号成立．
∴，
，最大值为．
本题考查正弦定理和余弦定理，考查同角间的三角函数关系，考查基本不等式求最值．本题主要是考查的公式较多，掌握所有公式才能正确解题．本题属于中档题．
21、当时，最大，最大值为
【解析】
设，，在中，由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：设，
在中，由余弦定理得：，
由基本不等式，，可得，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当时取等号，此时，
∴当时，最大，最大值为．
本题主要考查余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．