河北省沧州盐山中学2025届数学高一下期末预测试题含解析.doc

河北省沧州盐山中学2025届数学高一下期末预测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比( )
A． B． C．或 D．以上都不对
2．设函数的图象为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．图象关于直线对称
C．图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在区间上是增函数
3．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论中正确的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若直线与直线平行，则的值为（ ）
A．7 B．0或7 C．0 D．4
6．已知非零向量与的夹角为，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
8．为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一个扇形的半径是，弧长是，则圆心角的弧度数为________.
12．若的两边长分别为和，其夹角的余弦为，则其外接圆的面积为______________；
13．已知x，y满足，则z＝2x+y的最大值为_____.
14．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．
15．已知函数，对于下列说法：①要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度即可；②的图象关于直线对称：③在内的单调递减区间为；④为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）.
16．己知函数，有以下结论：
①的图象关于直线轴对称 ②在区间上单调递减
③的一个对称中心是 ④的最大值为
则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量的夹角为60°，且.
（1）求与的值；
（2）求与的夹角.
18．已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数 的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，求数列的前项和；
（3）已知数列满足，若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围.
19．如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，､､分别是､､的中点.

（1）证明:直线平面；
（2）求直线与面所成角的大小；
（3）求二面角的平面角的余弦值.
20．已知函数当时,求函数的最小值.
21．已知函数（）.
（1）若在区间上的值域为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，记的角所对的边长分别为，若，的面积为，求边长的最小值；
（3）当，时，在答题纸上填写下表，用五点法作出的图像，并写出它的单调递增区间.

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参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据和可得，解得结果即可.
【详解】
由得，
所以，
所以，
所以，
解得或
故选：C.
本题考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，属于基础题.
2、B
【解析】
利用函数的周期判断A的正误；通过x=函数是否取得最值判断B的正误；利用函数的图象的平移判断C的正误, 利用函数的单调区间判断D的正误．
【详解】
对于A，f（x）的最小正周期为π,判断A错误；
对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1，∴选项B正确；
对于C，把的图象向左平移个单位，得到函数sin[2（x+）]=sin(2x+，∴选项C不正确．
对于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒为增函数，∴选项D错误；
故选B．
本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．
3、C
【解析】
试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个相交平面内的直线也可以平行，所以B不正确；垂直于同一个平面的两个平面不一定垂直，也可能平行或相交，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确.
考点：空间直线、平面间的位置关系.
【详解】
请在此输入详解！
4、B
【解析】
分别解和时条件对应的不等式即可.
【详解】
①当时，，此时，不合题意；
②当时，，可化为即，解得.
综上，的x的取值范围是.
故选：B.
本题考查了分段函数不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.
5、B
【解析】
根据直线和直线平行则斜率相等，故，求解即可。
【详解】
∵直线与直线平行，∴，∴或7，经检验，都符合题意，故选B.
本题属于基础题，利用直线的平行关系，斜率相等求解参数。
6、B
【解析】
根据条件可求出，从而对两边平方即可得出，解出即可．
【详解】
向量与的夹角为，且；
；
；
；
或0（舍去）；
．
故选：．
本题主要考查了向量数量积的定义及数量积的运算公式，属于中档题.
7、D
【解析】
直接由二倍角的余弦公式，即可得解.
【详解】
由二倍角公式得：，
故选D.
本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.
8、D
【解析】
利用等差数列的通项公式与求和公式可得，再利用，可得，，．即可得出．
【详解】
解：为等差数列的前项和，且，，．
可得，则公差．，
，则，，，
．
数列的前项和为：．
故选：．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9、D
【解析】
先求出的模长，然后由可求出答案.
【详解】
由题意，，，所以与的夹角为.
故选D.
本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题.
10、A
【解析】
根据单位向量的定义即可求解.
【详解】
,
向量的方向相反的单位向量为，
故选A.
本题主要考查了向量的坐标运算，向量的单位向量的概念，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】
直接根据弧长公式，可得．
【详解】
因为，所以，解得
本题主要考查弧长公式的应用．
12、
【解析】
首先根据余弦定理求第三边，再求其对边的正弦值，最后根据正弦定理求半径和面积.
【详解】
设第三边为，，
解得：，
设已知两边的夹角为，，那么，
根据正弦定理可知，,
外接圆的面积.
故填：.
本题简单考查了正余弦定理，考查计算能力，属于基础题型.
13、1.
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可．
【详解】
解：，在坐标系中画出图象，
三条线的交点分别是，，，
在中满足的最大值是点，代入得最大值等于1．
故答案为：1．

本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14、1
【解析】
由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．
【详解】
由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，
也可适当排序后成等比数列，
可得①或②．
解①得：；解②得：．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=1．
故答案为1．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
【思路点睛】
解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q．
15、②④
【解析】
结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案.
【详解】
①要得到的图象，应将的图象向左平移个单位长度，所以①错误；②令，，解得，，所以直线是的一条对称轴，故②正确；③令，，解得，，因为，所以在定义域内的单调递减区间为和，所以③错误；④是奇函数，所以该说法正确.
本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对的图象与性质的掌握，属于中档题.
16、②④
【解析】
根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.
【详解】
，

根据图像知：
①的图象关于直线轴对称，错误
②在区间上单调递减，正确
③的一个对称中心是 ，错误
④的最大值为，正确
故答案为②④
本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】
（1）根据，即可得解；
（2）根据公式计算求解.
【详解】
（1）由题向量的夹角为60°，所以，
，
；
（2），
所以
此题考查平面向量数量积，根据定义计算两个向量的数量积，求向量的模长和根据数量积与模长关系求向量夹角.
18、（1）；（2） ；（3）.
【解析】
（1）将点代入函数的解析式得到，令，由可求出的值，令，由得，两式相减得出数列为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的前项和；
（3）利用分组求和法与裂项法求出数列的前项和，由题意得出，判断出数列各项的符号，得出数列的最大值为，利用函数的单调性得出该函数在区间上的最大值为，然后解不等式可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）将点代入函数的解析式得到.
当时，，即，解得；
当时，由得，
上述两式相减得，得，即.
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，；
（2），，
因此，①
，②
由①②得，
所以；
（3）．
令为的前项和，
则.
因为，，，，
当时，，
令，，
令，则，
当时，，此时，数列为单调递减数列，，
则，即，
那么当时，数列为单调递减数列，此时，则.
因此，数列的最大值为.
又，函数单调递增，
此时，函数的最大值为．
因为对任意的，存在，.
所以，解得，因此，实数的取值范围是.
本题考查利用等比数列前项和求数列通项，同时也考查了错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题，解题时要充分利用数列的单调性求出数列的最大项或最小项的值，考查化归与转化思想的应用，属于难题.
19、（1）证明见解析（2）（3）
【解析】
（1）取的中点，证明为平行四边形，且，再由三角形中位线证明，最后由线面平行的判定定理证明即可；
（2）作交于点，由线面垂直关系得到直线与面所成角为，再根据是正三角形求解即可；
（3）由（2）知，平面，再证明和分别垂直于，求出直线与面所成角为，再求出和的长度即可求解.
【详解】
（1）在直四棱柱中，取的中点，连接，，，
因为，，且，所以为平行四边形，所以，
又因为､分别是棱､的中点，
所以，所以，
因为.所以､､､四点共面，
所以平面，又因为平面，
所以直线平面.

（2）因为，，是棱的中点，
所以，为正三角形，
取的中点，则，
又因为直四棱柱中，平面，所以，
所以平面，即直线与面所成角为，
所以，即，
所以直线与面所成角为.
（3）过在平面内作，垂足为，连接.
因为面，即，
且与相交于点，故且，
则为二面角的平面角，
在正三角形中，，
在中，，
∵，∴，
在中，，
，
所以二面角的余弦值为.
本题主要考查线面平行的判定、线面角和二面角的求法，考查学生的空间想象能力和对线面关系的掌握，属于中档题.
20、当时， ， 当时， ， 当时， .
【解析】
将函数的解析式化成二次函数的形式，然后把作为整体，并根据的取值范围，结合求二次函数在闭区间上的最值的方法进行求解即可．
【详解】
由题意得．
∵，
∴．
当，即时，则当，即时，函数取得最小值，且
；
当，即时，则当，即时，函数取得最小值，且
；
当，即时，则当，函数取得最小值，且
．
综上可得．
解答本题的关键是将问题转化为二次函数的问题求解，求二次函数在闭区间上的最值时要结合抛物线的开口方向和对称轴与区间的位置关系求解，体现了数形结合的应用，属于基础题．
21、（1）；（2）；（3）填表见解析，作图见解析， （）.
【解析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式可把化简为，再求出的范围后根据正弦函数的性质可得关于的方程组，解方程组可得它们的值.
（2）先求出，再根据面积求出，最后根据余弦定理和基本不等式可求的最小值.
（3）根据五点法直接作出图像，再根据正弦函数的性质可得函数的单调增区间.
【详解】
，
当时，，
则.
因为，所以，
解得，
即.
（2）由，得，
又的面积为，
所以，即，
所以，
当且仅当时，.
（3）由题意得，
填表

0

1

1

1
作图如下图：

由得（），
所以函数的单调递增区间是（）.
本题考查正弦型函数在给定范围上的最值、余弦定理、三角形中的面积公式、正弦型函数的图像与单调性以及基本不等式，本题综合性较高，为中档题.