2025届江苏省灌南高级中学高一数学第二学期期末经典模拟试题含解析.doc

2025届江苏省灌南高级中学高一数学第二学期期末经典模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)
A． B．
C． D．
2．已知角的终边经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
4．等比数列的各项均为正数，且，则（）
A．3 B．6 C．9 D．81
5．在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（ ）
A．或 B．
C． D．
6．在等比数列中，，，则（）
A．140 B．120 C．100 D．80
7．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
8．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）

A．90° B．60°
C．45° D．30°
10．（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为________．
12．若为等比数列的前n项的和，，则=___________
13．已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆上存在点，它到定点的距离与到原点的距离之比为，则圆心的纵坐标的取值范围是__________．
14．已知数列的通项公式，，前项和达到最大值时，的值为______.
15．已知函数，该函数零点的个数为_____________
16．已知等差数列，若，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某销售公司拟招聘一名产品推销员，有如下两种工资方案：
方案一：每月底薪2000元，每销售一件产品提成15元；
方案二：每月底薪3500元，月销售量不超过300件，没有提成，超过300件的部分每件提成30元．
（1）分别写出两种方案中推销员的月工资（单位：元）与月销售产品件数的函数关系式；
（2）从该销售公司随机选取一名推销员，对他（或她）过去两年的销售情况进行统计，得到如下统计表：
月销售产品件数
300
400
500
600
700
次数
2
4
9
5
4
把频率视为概率，分别求两种方案推销员的月工资超过11090元的概率．
18．已知数列满足，数列满足，其中为的前项和，且
（1）求数列和的通项公式
（2）求数列的前项和.
19．在中，角，，所对的边为，，，向量与向量共线.
（1）若，求的值；
（2）若为边上的一点，且，若为的角平分线，求的取值范围.
20．如图，在三棱柱中，平面平面，，，为棱的中点.

(1)证明:；
(2)求点到平面的距离.
21．已知向量，，函数.
（1）若，，求的值；
（2）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D.
考点：函数图像
点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．
2、D
【解析】
首先计算出，根据三角函数定义可求得正弦值和余弦值，从而得到结果.
【详解】
由三角函数定义知：
，，则：
本题正确选项：
本题考查任意角三角函数的求解问题，属于基础题.
3、A
【解析】
由周期求出，按图象平移写出函数解析式，再由偶函数性质求出，然后根据正弦函数的性质判断．
【详解】
由题意，平移得函数式为，其为偶函数，∴，由于，∴．
，
，．
∴是对称中心．
故选：A.
本题考查求三角函数的解析式，考查三角函数的对称性的奇偶性．掌握三角函数图象变换是基础，掌握三角函数的性质是解题关键．
4、A
【解析】
利用等比数列性质可求得，将所求式子利用对数运算法则和等比数列性质可化为，代入求得结果.
【详解】
且

本题正确选项：
本题考查等比数列性质的应用，关键是灵活利用等比中项的性质，属于基础题.
5、C
【解析】
将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得：，即可求得.
【详解】
解：，，
由正弦定理得：

故选C.
本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.
6、D
【解析】
，计算出，然后将，得到答案.
【详解】
等比数列中，

又因为，
所以，
所以，
故选D项.
本题考查等比数列的基本量计算，属于简单题.
7、A
【解析】
.
所以选A.
本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
8、D
【解析】
先根据向量的夹角公式计算出的值，然后再根据同角的三角函数的基本关系即可求解出的值.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以.
故选：D.
本题考查坐标形式下向量的夹角计算，难度较易.注意：的夹角并不是，而应是的补角.
9、B
【解析】
连接，可证是异面直线与所成的角或其补角，求出此角即可．
【详解】

连接，因为，分别为棱，的中点，所以，又正方体中，所以是异面直线与所成的角或其补角，
是等边三角形，＝60°．所以异面直线与所成的角为60°．
故选：B．
本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所成的角，同时给出证明，然后在三角形中计算．
10、B
【解析】
根据诱导公式和两角和的余弦公式的逆用变形即可得解.
【详解】
由题：

故选：B
此题考查两角和的余弦公式的逆用，关键在于熟记相关公式，准确化简求值.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】因为从5名候选学生中任选2名学生的方法共有10种，而甲、乙、丙中有2个被选中的方法有3种，所以甲、乙、丙中有2个被选中的概率为.
12、-7
【解析】
设公比为，则，所以．．
13、
【解析】
因为圆心在直线上，设圆心，
则圆的方程为，
设点，因为，所以，
化简得，即，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，则，
即，整理得，
由，得，由，得，
所以圆心的纵坐标的取值范围是.
点睛：本题主要考查了圆的方程，动点的轨迹方程、两圆的位置关系、解不等式等知识的综合运用，着重考查了转化与化归思想和学生的运算求解能力，解答中根据题设条件得到动点的轨迹方程，利用两圆的位置关系，列出不等式上解答的关键.对于直线与圆的位置关系问题，要熟记有关圆的性质，同时注意数形结合思想的灵活运用.
14、或
【解析】
令，求出的取值范围，即可得出达到最大值时对应的值.
【详解】
令，解得，因此，当或时，前项和达到最大值.
故答案为：或.
本题考查等差数列前项和最值的求解，可以利用关于的二次函数，由二次函数的基本性质求得，也可以利用等差数列所有非正项或非负项相加即得，考查计算能力，属于基础题.
15、3
【解析】
令，可得或；当时，可解得为函数一个零点；当时，可知，根据的范围可求得零点；综合两种情况可得零点总个数.
【详解】
令，可得：或
当时，或（舍） 为函数的一个零点
当时，，
，为函数的零点
综上所述，该函数的零点个数为：个
本题正确结果：
本题考查函数零点个数的求解，关键是能够将问题转化为方程根的个数的求解，涉及到余弦函数零点的求解.
16、
【解析】
利用等差数列的通项公式直接求解.
【详解】
设等差数列公差为，由，得，
解得.
故答案：.
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）方案一概率为,方案二概率为.
【解析】
（1）利用一次函数和分段函数分别表示方案一、方案二的月工资与的关系式；（2）分别计算方案一、方案二的推销员的月工资超过11090元的概率值．
【详解】
解：（1）方案一：，；
方案二：月工资为,
所以.
（2）方案一中推销员的月工资超过11090元，则，解得，
所以方案一中推销员的月工资超过11090元的概率为；
方案二中推销员的月工资超过11090元，则，解得，
所以方案二中推销员的月工资超过11090元的概率为．
本题考查了分段函数与应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由题意可得，由等差数列的通项公式可得；由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式可得；
（2），运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和．
【详解】
解：（1）由，同乘以得，
可知是以2为公差的等差数列，而，故；
又，相减得，，
可知是以为公比的等比数列，而，故；
（2）因为，
，
，
两式相减得

．
本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．
19、 (1)32；(2)
【解析】
由两向量坐标以及向量共线，结合正弦定理，化简可得
（1）由，，代入原式化简，即可得到答案；
（2）在和在中，利用正弦定理，化简可得，，代入原式，化简即可得到，利用三角形的内角范围结合三角函数的值域，即可求出的取值范围．
【详解】
向量与向量共线
所以，由正弦定理得：.即，
由于在中，，则，
所以，由于 ，则.
（1），
.
（2）因为，为的角平分线，所以，
在中，，因为，所以，
所以
在中，，因为，所以，所以，
则，
因为，所以，所以，
即的取值范围为.
本题主要考查向量共线、正弦定理、二倍角公式、三角函数的值域等知识，考查学生转化与求解能力，考查学生基本的计算能力，有一定综合性．
20、 (1)见解析；(2)
【解析】
（1）作为棱的中点，连结，，通过证明平面可得.
（2）根据等体积法：可求得.
【详解】
(1)证明:连接，.
∵，，
∴是等边三角形.
作为棱的中点，连结，，∴.

∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
∵平面，∴.
∵，
∴是菱形.
∴.
又，分别为，的中点，
∴，∴.
又，∴平面.
又平面，∴.
(2)解:连接，
∵，，
∴为正三角形.
∵为的中点，∴.
又∵平面平面，
且平面平面，平面，
∴平面.
∴.
设点到平面，的距离.
在中，，，则.
又∵，∴，
则.
本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了等体积法求点面距，属于中档题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由，结合的范围以及平方关系得出的值，由结合两角差的余弦公式求解即可；
（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间应该包含在的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数的取值范围.
【详解】
（1）
因为，所以，即.
因为，所以
所以.
所以
.
（2）.
令，
得，
因为函数在区间上是单调递增函数
所以存在，使得
所以有，即
因为，所以
又因为，所以，则，所以
从而有，所以，所以.
本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题.