2025年山西省临汾市侯马市502学校数学高一下期末联考模拟试题含解析.doc

2025年山西省临汾市侯马市502学校数学高一下期末联考模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知,则的值为( )
A． B． C． D．
3．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（　 　）
A． B． C． D．
5．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为   
A． B． C． D．
6．已知等比数列中，，，则（ ）
A．10 B．7 C．4 D．12
7．若，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．等差数列的前项和为.若,则（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的所有棱长和为_______.

12．如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为______.

13．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，点M为△ABC内切圆的圆心，过点M作动直线l与线段AB，AC都相交，将△ABC沿动直线l翻折，使翻折后的点A在平面BCM上的射影P落在直线BC上，点A在直线l上的射影为Q，则的最小值为_____．
14．在半径为的球中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________．
15．当，时，执行完如图所示的一段程序后，______.

16．已知两个正实数x，y满足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数f (x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．
(1)若tanα＝2，求f(α)；
(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围
18．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是.

（1）求图中m的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）和中位数（四舍五入取整数）；
（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求英语成绩在的人数.
分数段
[70，80）
[80，90）
[90，100）
[100，110）
[110，120）
x：y
1:2
2:1
6:5
1:2
1:1

19．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
（Ⅰ）求证：成等差数列；
（Ⅱ）若求.
20．已知关于，的方程：表示圆.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若，过点作的切线，求切线方程.
21．已知直线的方程为，其中.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)当变化时，求点到直线的距离的最大值；
(3)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
先由题意设所求直线为：，再由直线过点，即可求出结果.
【详解】
因为所求直线与直线平行，因此，可设所求直线为：，
又所求直线过点，
所以，解得，
所求直线方程为：.
故选：D
本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的常见形式即可，属于基础题型.
2、C
【解析】
根据辅助角公式即可．
【详解】
由辅助角公式得

所以，选C.
本题主要考查了辅助角公式的应用：
，属于基础题．
3、D
【解析】
令，根据正弦型函数的性质可得，那么，可将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题．
【详解】
由题意，令，可得，，
∴，
∴原函数的值域与函数的值域相同．
∵函数图象的对称轴为，
，取得最大值为．
故选：D．
本题考查三角函数中的恒等变换、函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的使用，将问题转化为二次函数的值域问题.
4、C
【解析】
由题意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），将所求式子化为b的关系式，由基本不等式可得所求最小值．
【详解】
直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，
可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），
则
[（11﹣6b）+（9+6b）]（）
（7），
当且仅当时，即b，a，上式取得最小值，
故选：C．
【点评】
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．
5、B
【解析】
根据题意，建立与的关系，即可得到夹角.
【详解】
因为，所以，则，则，所以，所以夹角为故选B.
本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.
6、C
【解析】
由等比数列性质可知,进而根据对数的运算法则计算即可
【详解】
由题,因为等比数列,所以,
则,
故选:C
本题考查等比数列的性质的应用,考查对数的运算
7、D
【解析】
根据不等式的基本性质逐一判断可得答案．
【详解】
解：A．当时，不成立，故A不正确；
B．取，，则结论不成立，故B不正确；
C．当时，结论不成立，故C不正确；
D．若，则，故D正确．
故选：D．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
8、D
【解析】
令，根据奇偶性定义可判断出为奇函数，从而可求得，进而求得结果.
【详解】
令

为奇函数
又
即
本题正确选项：
本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，关键是能够通过构造函数的方式得到奇函数，利用奇函数的定义可求得对应位置的函数值.
9、D
【解析】
根据等差数列片段和成等差数列，可得到，代入求得结果.
【详解】
由等差数列性质知：，，，成等差数列
，即：

本题正确选项：
本题考查等差数列片段和性质的应用，关键是根据片段和成等差数列得到项之间的关系，属于基础题.
10、A
【解析】
求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
【详解】
解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A．
考点：三角函数的性质.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
取半正多面体的截面正八边形，设半正多面体的棱长为，过分别作于，于，可知，，可求出半正多面体的棱长及所有棱长和.
【详解】
取半正多面体的截面正八边形，由正方体的棱长为1，可知，易知，设半正多面体的棱长为，过分别作于，于，则，，解得，故该半正多面体的所有棱长和为.

本题考查了空间几何体的结构，考查了空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
12、
【解析】
绕旋转一周得到的几何体是圆锥，点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像，根据图像判断出圆的下顶点距离平面的距离最大，解三角形求得这个距离的最大值.
【详解】
绕旋转一周得到的几何体是圆锥，故点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像如下图所示，根据图像作法可知，当位于圆心的正下方点位置时，到平面 的距离最大.在平面内，过作，交于.在中，,.所以①.其中，，所以①可化为.
故答案为：

本小题主要考查旋转体的概念，考查空间点到面的距离的最大值的求法，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.
13、825
【解析】
以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设直线l的斜率为k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．
【详解】
过点M作△ABC的三边的垂线，设⊙M的半径为r，则r2，
以AB，BC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则M（2，2），A（0，8），
因为A在平面BCM的射影在直线BC上，所以直线l必存在斜率，
过A作AQ⊥l，垂足为Q，交直线BC于P，
设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+2，则|AQ|，
又直线AQ的方程为：yx+8，则P（8k，0），所以|AP|8，
所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，
所以，
①当k＞﹣3时，4（k+3）25≥825，
当且仅当4（k+3），即k3时取等号；
②当k＜﹣3时，则4（k+3）23≥823，
当且仅当﹣4（k+3），即k3时取等号.
故答案为：825

本题考查了考查空间距离的计算，考查基本不等式的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14、
【解析】
根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到，得到侧面积最大值为；根据球的表面积公式求得球的表面积，作差得到结果.
【详解】
设球内接正四棱柱的底面边长为，高为
则球的半径:

正四棱柱的侧面积：
球的表面积：
当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：
本题正确结果：
本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用.
15、1
【解析】
模拟程序运行，可得出结论．
【详解】
时，满足，所以．
故答案为：1．
本题考查程序框图，考查条件结构，解题时模拟程序运行即可．
16、 (-∞,1)
【解析】
由x+2y（x+2y）（）（1），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．
【详解】
两个正实数x，y满足2，
则x+2y（x+2y）（）（1）
（1+2）＝1，
当且仅当x＝2y＝2时，上式取得等号，
x+2y﹣m＞0，即为m＜x+2y，
由题意可得m＜1．
故答案为：（﹣∞，1）．
本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）[0，].
【解析】
(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x，
∴f(α)＝
＝＝＝.
(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx
＝＋＝sin(2x＋)＋，
∵≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin(2x＋)≤1，
0≤f(x)≤，∴f(x)∈[0，]．
本试题组要是考查了三角函数的运用.
18、（1）（2）平均分为，中位数为（3）140人
【解析】
（1）由题得，解方程即得解；（2）利用频率分布直方图中平均数和中位数的计算公式估计这200名学生的平均分和中位数；（3）分别计算每一段的人数即得解.
【详解】
（1）由，解得.
（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即估计平均数为．
设中位数为,则解得
（3）由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在，，的分别有60人，40人，10人，按照表中给的比例，则英语成绩在，，的分别有50人，80人，10人，
所以英语成绩在的有140人．
本题主要考查频率分布直方图的性质，考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4.
【解析】
试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.（4）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：
即2分
∴
即4分
∵
∴即
∴成等差数列. 6分
（Ⅱ）∵∴8分
又10分
由（Ⅰ）得：∴12分
考点：三角函数与解三角形.
20、（Ⅰ）；
（Ⅱ）或.
【解析】
（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件,可得关于的不等式,即可求得的取值范围.
（Ⅱ）将代入,可得圆的方程,化为标准方程.讨论斜率是否存在两种情况.当斜率不存在时,可直接求得直线方程;当斜率存在时,由点斜式设出直线方程,结合点到直线的距离即可求得斜率,即可得直线方程.
【详解】
（Ⅰ）若方程表示圆
则
解得
故实数的取值范围为
（Ⅱ）若,圆：
①当过点的直线斜率不存在时,直线方程为
圆心到直线的距离等于半径,此时直线与相切
②当过点的直线斜率存在时,不妨设斜率为
则切线方程为,即
由圆心到直线的距离等于半径可知,
解得,即切线方程为
综上所述,切线方程为或
本题考查了直线与圆的位置关系的应用,圆的一般方程与标准方程的关系和转化,属于基础题.
21、（1）见解析;（2）5;（3）见解析
【解析】
试题分析：
(1)分离系数m，求解方程组可得直线恒过定点；
(2)结合(1)的结论可得点到直线的距离的最大值是5；
(3)由题意得到面积函数： ，注意等号成立的条件.
试题解析：
（1）证明：直线方程
可化为
该方程对任意实数恒成立，所以
解得，所以直线恒过定点
（2）点与定点间的距离，就是所求点到直线的距离的最大值，即
（3）由于直线过定点，分别与轴，轴的负半轴交于两点，
设其方程为，则
所以
当且仅当时取等号，面积的最小值为4
此时直线的方程为