2024-2025学年广东省百校联盟高一数学第二学期期末经典模拟试题含解析.doc

2024-2025学年广东省百校联盟高一数学第二学期期末经典模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点，,直线的方程为，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨
3．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，则的形状是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
5．如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ）

A．
B．
C．
D．
6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知的顶点坐标为，，，则边上的中线的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值等于( )
A．2 B． C． D．
9．盒中装有除颜色以外，形状大小完全相同的3个红球、2个白球、1个黑球，从中任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；至少有一个红球 B．至少有一个白球；红、黑球各一个
C．恰有一个白球：一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；都是白球
10．某三棱锥的左视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)

A．3 B．2 C． D．1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．实数2和8的等比中项是__________．
12．若数列的前项和，满足，则______．
13．已知指数函数上的最大值与最小值之和为10，则=____________。
14．已知向量，且，则___________．
15．已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_____.
16．已知函数，，则的最大值是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，内角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求；
(2)若，，求.
18．某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，第二年是万元，第三年是万元，…，以后逐年递增万元汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用年的维修费用的和为，年平均费用为.
(1）求出函数，的解析式；
(2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？
19．已知向量，
（1）若，求；
（2）若，求.
20．已知函数.
（1）求的最小正周期，并求其单调递减区间；
（2）的内角，，所对的边分别为，，，若，且为钝角，，求面积的最大值.
21．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，分别是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
直线过定点，利用直线的斜率公式分别计算出直线，和的斜率，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．
【详解】
解：直线整理为即可知道直线过定点，
作出直线和点对应的图象如图：，，，
，，
要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，
或
即直线的斜率的取值范围是，
故选．

本题考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，属于基础题．
2、B
【解析】
根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】
买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A不正确；
13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B正确；
车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C不正确；
明天可能下雨也可能不下雨，故D不正确.
故选：B
本题主要考查必然事件的定义，属基础题.
3、C
【解析】
直接利用等差数列公式解方程组得到答案.
【详解】

故答案选C
本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型.
4、C
【解析】
利用余弦定理求出，再利用余弦定理求得的值，即可判断三角形的形状.
【详解】
在中，，
解得：；
∵，
∵，，
∴是直角三角形.
故选：C.
本题考查余弦定理的应用、三角形形状的判定，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
5、B
【解析】
从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，由此得到结论．
【详解】
∵样本A的数据均不大于10，
而样本B的数据均不小于10，
，
由图可知A中数据波动程度较大，
B中数据较稳定，
.
故选B.
6、C
【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得点的坐标．
【详解】
为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，
若将绕点顺时针旋转至，则点的横坐标为，
点的纵坐标为，故点的坐标为.
故选C.
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，考查基本的运算求解能力．
7、D
【解析】
利用中点坐标公式求得，再利用两点间距离公式求得结果.
【详解】
由，可得中点
又
本题正确选项：
本题考查两点间距离公式的应用，关键是能够利用中点坐标公式求得中点坐标.
8、D
【解析】
根据分段函数的定义域以及函数解析式的关系，代值即可.
【详解】

故选：D
本题考查了分段函数的求值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
根据对立事件和互斥事件的定义，对每个选项进行逐一分析即可.
【详解】
从6个小球中任取2个小球，共有15个基本事件，
因为存在事件：取出的两个球为1个白球和1个红球，
故至少有一个白球；至少有一个红球，这两个事件不互斥，故A错误；
因为存在事件：取出的两个球为1个白球和1个黑球，
故恰有一个白球：一个白球一个黑球，这两个事件不互斥，故C错误；
因为存在事件：取出的两个球都是白球，
故至少有一个白球；都是白球，这两个事件不互斥，故D错误；
因为至少有一个白球，包括：1个白球和1个红球，1个白球和1个黑球，
2个白球这3个基本事件；红、黑球各一个只包括1个红球1个白球这1个基本事件，
故两个事件互斥，因还有其它基本事件未包括，故不对立.故B正确.
故选：B.
本题考查互斥事件和对立事件的辨析，属基础题.
10、D
【解析】
根据三视图高平齐的原则得知锥体的高，结合俯视图可计算出底面面积，再利用锥体体积公式可得出答案．
【详解】
由三视图“高平齐”的原则可知该三棱锥的高为，俯视图的面积为锥体底面面积，则该三棱锥的底面面积为，
因此，该三棱锥的体积为，故选D.
本题考查利用三视图求几何体的体积，解题时充分利用三视图“长对正，高平齐，宽相等”的原则得出几何体的某些数据，并判断出几何体的形状，结合相关公式进行计算，考查空间想象能力，属于中等题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
所求的等比中项为： .
12、
【解析】
令，得出，令，由可计算出在时的表达式，然后就是否符合进行检验，由此可得出.
【详解】
当时，；
当时，则.
也适合.
综上所述，.
故答案为：.
本题考查利用求，一般利用来计算，但需要对进行检验，考查计算能力，属于基础题.
13、
【解析】
根据和时的单调性可确定最大值和最小值，进而构造方程求得结果.
【详解】
当时，在上单调递增 ，
，解得：或（舍）
当时，在上单调递减 ，
，解得：（舍）或（舍）
综上所述：
故答案为：
本题考查利用函数最值求解参数值的问题，关键是能够根据指数函数得单调性确定最值点.
14、
【解析】
把平方，将代入，化简即可得结果.
【详解】
因为，
所以，
，故答案为.
本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
15、 (0,1)
【解析】
画出函数f(x)在以及直线y=k的图象,数形结合可得k的取值范围.
【详解】
解:画出函数y=cosx+2|cosx|=,
以及直线y=k的图象,如图所示;

由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.
故答案为:(0,1).
本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键.
16、3
【解析】
函数在上为减函数，故最大值为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
(1)利用正弦定理化简为，再利用余弦定理得到答案.
(2)先用和差公式计算，再利用正弦定理得到.
【详解】
(1)由正弦定理，可化为，
得，由余弦定理可得，有
又由，可得.
(2)由，

由正弦定理有.
本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力.
18、（1），；（2）时，年平均费用最小，最小值为3万元．
【解析】
试题分析：根据题意可知，汽车使用年的维修费用的和为，而第一年的维修费用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前项和即可求出的解析式；将购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和除以即可得到年平均费用，根据基本不等式即可求出平均费用的最小值．
试题解析：（1）根据题意可知，汽车使用年的维修费用的和为，而第一年的维修费用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前项和公式可得：
因为购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和为，
所以年平均费用为；
（2）因为
所以当且仅当即时，年平均费用最小，最小值为3万元．
考点：本题考查了等差数列的前项和公式以的掌握，以及基本不等式的应用，同时考查了学生解决实际应用题的能力．
19、（1）3；（2）或
【解析】
（1）由，得，又由，即可得到本题答案；
（2）由，得，即，由此即可得到本题答案.
【详解】
解：（1）由，得，即，

（2）由，得，即，
又，解得或.
本题主要考查平面向量与三角函数求值的综合问题，齐次式法求值是解决此类问题的常用方法.
20、（1）最小正周期；单调递减区间为；（2）
【解析】
（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为；利用可求得最小正周期；令解出的范围即可得到单调递减区间；（2）由可得，根据的范围可求出的取值；利用余弦定理和基本不等式可求出的最大值，代入三角形面积公式求得结果.
【详解】
（1）
最小正周期：
令得：
的单调递减区间为：
单调递减区间.
（2）由得：
，解得：
由余弦定理得：（当且仅当时取等号）

即面积的最大值为：
本题考查正弦型函数最小正周期和单调区间的求解、解三角形中三角形面积最值的求解问题；涉及到二倍角公式和辅助角公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识；求解正弦型函数单调区间的常用解法为整体代入的方式，通过与正弦函数图象的对应关系来进行求解.
21、（1）证明见解析 （2）
【解析】
试题分析：（1）做辅助线，先证及四边形为平行四边形平面； （2）利用勾股定理求得
.
试题解析：（1）证明：取中点,连接，则
∵是的中点，
∴；
∵是的中点，
∴,
∴四边形为平行四边形，
∴,
∵平面,平面,
∴平面；
（2）∵,
∴,
∴